游戲“設(shè)計”背后的奧秘

文／喻洋

同學們設(shè)計過游戲規(guī)則嗎？事實上，游戲規(guī)則的制定蘊含了豐富的數(shù)學知識，尤其與概率有很大的關(guān)聯(lián)。概率思維其實是一種數(shù)學思維，它能幫助你從不確定中找到確定性，是一種十分有效的決策工具。下面，我們結(jié)合2022年的幾道中考試題，帶領(lǐng)同學們一探究竟。

一、利用概率設(shè)計抽獎規(guī)則

例1 （2022·江蘇揚州）某超市為回饋廣大消費者，在開業(yè)周年之際舉行摸球抽獎活動。摸球規(guī)則如下：在一只不透明的口袋中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后先從中任意摸出1 個球（不放回），再從余下的2個球中任意摸出1個球。活動設(shè)置了一等獎和二等獎兩個獎次。現(xiàn)規(guī)定摸出顏色不同的兩球和摸出顏色相同的兩球分別對應不同獎次，請寫出它們分別對應的獎次，并說明理由。

【分析】從商家的立場進行考慮，一等獎的獎品更加昂貴，為了體現(xiàn)其稀缺性，一等獎的獲獎率應該低于二等獎。該游戲規(guī)則需要摸球兩次，可以用樹狀圖法不重復、不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，最終選擇概率更低的摸球方案為一等獎。

解：畫樹狀圖如下。

二、利用概率設(shè)計游戲鏢盤

例2 （2022·江蘇徐州）將一枚飛鏢任意投擲到如圖1 所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）。

圖1

【分析】飛鏢是一款具有挑戰(zhàn)性的游戲，設(shè)計者將鏢盤劃分為陰影和非陰影兩部分。我們根據(jù)幾何概率可以預估將一枚飛鏢任意投擲于陰影部分的概率，即陰影區(qū)域的面積與總面積的比值。

解：如圖2，我們可以將整個圖形分割成圖2 中的小三角形。設(shè)每個小三角形的面積為a，則陰影的面積為6a，正六邊形的面積為18a，所以將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為。故選B。

圖2

三、利用概率設(shè)計摸球方案

例3 （2022·山東青島）學校想請一位同學作為代表分享獲獎心得。小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰獲勝誰分享。游戲規(guī)則如下：

甲口袋裝有編號為1、2 的兩個球，乙口袋裝有編號為1、2、3、4、5 的五個球，兩口袋中的球除編號外都相同。小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數(shù)，則小雪獲勝。

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平。

【分析】設(shè)計雙人游戲，關(guān)鍵是確保規(guī)則的公平性。評估游戲是否公平可以通過列表或畫樹狀圖的方法求出規(guī)則中雙方贏得游戲的概率，然后再比較這些概率的大小。若概率相等，則游戲公平；若概率不相等，則該游戲不公平。

解：我們可以先用列表法將所有可能發(fā)生的結(jié)果列出來，所有可能的結(jié)果如下：

甲乙_____________________________________1_____________________________________2 1 2 3 4 5（1，5）（2，5）（1，1）（2，1）（1，2）（2，2）（1，3）（2，3）（1，4）_______（2，4）_______