基于Carreau流變模型的圓柱滾子軸承熱混合潤滑分析*

何文卓 劉曉玲 朱鵬娟 周亞林

(青島理工大學機械與汽車工程學院 山東青島 266520)

圓柱滾子軸承是最為常見的滾子軸承，其主要特點是負荷能力大、摩擦因數小、回轉精度高，被廣泛應用于各類低速重載工況下的大型設備中。隨著機械設備向著高速、重載的方向發展，軸承的工作條件也越來越惡劣，使得實際工況中潤滑油往往呈現出顯著的非牛頓特性[1-2]。CUPU等[3]基于Power Law流變模型研究穩態等溫線接觸條件下軸承性能參數變化對壓力和膜厚的影響。尹昌磊等[4]基于Newton和Ree-Eyring流體，對線接觸等溫和熱彈流潤滑進行了數值分析，研究了潤滑油的流變性對線接觸彈流潤滑油膜黏度的影響，以及在不同滑滾比下壓力、膜厚及溫度的分布規律。上述研究均表明潤滑油的剪切稀化行為對軸承接觸表面潤滑摩擦特性的影響不可忽略。

近些年來，以Carreau為代表的冪函數流變模型逐漸興起，人們發現該流變模型更能反映彈流潤滑的油膜特征，因此對于Carreau流變模型的研究越來越廣泛[5]。劉劍平等[6]采用Carreau流變模型和Ree-Eyring流變模型，對線接觸彈流潤滑進行了數值分析，結果表明與Ree-Eyring流變模型相比，Carreau流變模型的理論分析結果更能反映剪切稀化流體的實際彈流油膜厚度，并且冪函數形式的流變模型更能反映剪切稀化流體的流變特性。楊萍等人[7]在Carreau流變模型的基礎上，推導出了新的冪函數流變模型，并進行了熱彈流潤滑分析。

上述對接觸表面彈流潤滑的研究雖考慮了潤滑油的非牛頓特性，但假設接觸副表面是光滑的，并沒有考慮表面粗糙度的影響，而表面粗糙度會對潤滑狀態產生重要影響，甚至會導致潤滑失效。且在實際工程中，軸承的接觸副大都處于混合潤滑狀態。對于其混合潤滑的研究，REN等[8]提出了考慮粗糙表面的三維線接觸混合潤滑模型。ZHU等[9]基于確定性模型改進了線接觸混合潤滑模型，針對軸承等關鍵傳動零部件，考慮了表面粗糙度等工程實際問題。周江敏等[10]研究了表面粗糙度及熱效應對非牛頓混合潤滑的影響，基于平均流量模型，考慮表面粗糙度以及熱效應，建立線接觸非牛頓混合潤滑模型，探討了表面粗糙度對膜厚、膜厚比、平均摩擦因數、載荷比及溫度分布的影響，并與等溫解進行比較。

綜上所述，已有對接觸表面潤滑的研究多基于Ree-Eyring非牛頓流體，因此，本文作者基于Carreau流變模型，考慮表面粗糙度的影響及軸承實際的混合潤滑狀態，求解非牛頓流體熱混合潤滑問題，探討滑滾比、卷吸速度和載荷對軸承潤滑特性的影響，并與牛頓流體數值解進行對比，為進一步優化軸承參數提供潤滑理論依據。

1 數值計算模型

1.1 圓柱滾子軸承運動分析

圖1所示為軸承的結構示意圖[11-12]。圖中，ω為內圈角速度，ωj為滾子自轉角速度，ωc為保持架的角速度，Di為內滾道直徑，Do為外滾道直徑，Dm為節圓直徑，Dr為滾子直徑，Fr為徑向載荷，Qo為受載滾子最大法向載荷，φj為受載滾子中心線與徑向載荷作用線之間的夾角，Qj為φj位置上滾子所受的法向載荷。

圖1 軸承結構示意Fig.1 Schematic of cylindrical roller bearing

軸承外圈固定，內圈轉動。假設圓柱滾子軸承做勻速運轉，其中，滾子的速度為

(1)

內圈的速度為

(2)

圓柱滾子與內圈的接觸副可以等效為圖2所示2個圓柱的線接觸模型，u1、u2為兩接觸表面的切向速度(m/s)，曲率半徑分別為R1、R2。當量半徑R與曲率半徑R1、R2的幾何關系為

圖2 幾何關系Fig.2 Geometric relation

(3)

1.2 混合潤滑基本方程

采用Carreau流變模型[5]，等效黏度方程為

(4)

在全膜潤滑時載荷由油膜承擔，而在混合潤滑時，粗糙峰和潤滑油膜共同承載[13]，所以總壓力p是油膜壓力ph與粗糙峰壓力pa之和：

p=ph+pa

(5)

文中，粗糙峰接觸壓力pa、接觸副的摩擦力F及平均摩擦因數fc的表達式和文獻[10]一致。

圖3所示是粗糙表面接觸模型，u1、u2是固體1、2的運動速度，ht表示實際油膜厚度，h表示2個粗糙表面中線構成的名義膜厚。

圖3 粗糙表面接觸模型Fig.3 Rough surface contact model

(1)Reynolds方程

由Patir和Cheng平均流量模型[14]，推導出廣義平均Reynolds方程：

(6)

其中：

式中：φx為壓力流量因子；ue為卷吸速度，ue=(u1+u2)/2；hT為兩固體表面的平均間隙；ρ為潤滑油的密度。

hT的表達式[15]可寫為

(7)

壓力流量因子φx的表達式[14]為

(8)

廣義平均Renynolds方程的邊界條件為

(9)

式中：xin、xout表示計算域的邊界。

(2)密壓密溫、黏壓黏溫關系

用Tait狀態方程[16]描述潤滑油的密壓密溫關系

[1-ε(T-T0)]

(10)

黏壓黏溫關系[16]

(11)

式中：η0為潤滑油環境黏度(Pa·s)；V是流體質點體積(m3)；V0為環境體積；Vocc為占有體積；B是無量綱常數。

(3)載荷平衡方程

載荷平衡方程的表達式為

(12)

載荷比的表達式為

(13)

(4)油膜名義厚度

油膜名義厚度h由下式求得：

(14)

式中：h00表示兩表面的變形量；R為兩固體的綜合曲率半徑；E′為兩固體的綜合彈性模量。

(5)能量方程

溫度T可由油膜能量方程求得：

(15)

式中：c表示潤滑油的比熱容；k表示潤滑油的熱傳導系數；u表示油膜流速；Qa是由粗糙峰引起的單位體積熱量。

(16)

式中：us表示2個粗糙峰接觸時的滑動速度，us=|u1-u2|；fa表示粗糙峰接觸時的摩擦因數。

(6)固體熱傳導方程

固體1、2的能量方程：

(17)

式中：c1、c2分別表示固體1、2的比熱容；ρ1、ρ2分別表示固體1、2的密度；k1、k2分別表示固體1、2的熱傳導系數。

固體1、2表面滿足如下的熱流量連續條件：

(18)

2 數值方法

在數值計算中，采用多重網格法求解油膜壓力，采用多重網格積分法求解膜厚方程中的彈性變形，采用逐列掃描法求解油膜溫度。網格層數為6，最高層網格節點數為961個節點。壓力和溫度的收斂精度為1×10-4，載荷的收斂精度為1×10-3。程序的計算采用文獻[17]的方法，如圖4所示。其中，ω1、ω2、ω3分別為壓力、膜厚和溫度松馳因子。

圖4 計算程序流程Fig.4 Flow of calculation program

3 計算結果及分析

表1 潤滑油參數Table 1 The parameters of lubricating oil

滑滾比定義為ζ=(u1-u2)/ue，在ζ=0.05、W=1×10-4(pH=0.91 GPa)、Ue=1×10-11時，得到了Carreau流變模型的熱混合潤滑條件下的壓力、膜厚，并與相同工況下的牛頓流體進行了比較，如圖5所示。可以看出，Carreau流變模型在混合潤滑狀態下的壓力與牛頓流體的差別很小，膜厚略低于牛頓流體。

圖5 Carreau非牛頓流體與牛頓流體壓力及膜厚的 比較(ζ=0.05，W=1×10-4，Ue=1×10-11)Fig.5 Comparisons of pressure and film thickness between Carreau non-Newtonian and Newtonian fluids for ζ=0.05，W=1×10-4 and Ue=1×10-11

3.1 滑滾比的影響

在W=1×10-4、Ue=5×10-11條件下，基于軸承實際，選取較小滑滾比，且滑滾比在0.00～0.08之間變化，求解在混合潤滑狀態下，不同滑滾比時Carreau非牛頓流體的油膜最高溫度、最小膜厚、平均摩擦因數等參數，并與牛頓流體數值解進行對比。如圖6所示。

圖6 不同流變模型油膜最高溫度、最小膜厚和平均摩擦因數隨滑滾比變化的趨勢Fig.6 Variations of maximum film temperature(a)，the minimum film thickness(b)，and average friction coefficient(c)with slide-roll ratio in different rheological models

圖6(a)給出了在不同滑滾比下，Carreau非牛頓流體和牛頓流體油膜最高溫度的變化。可知，隨著滑滾比的增加，Carreau非牛頓流體和牛頓流體最高油膜溫度均增加，主要是因為隨著滑滾比的增加，剪切發熱增加，逐漸取代了壓縮功在熱效應中的主導作用。同時，Carreau非牛頓流體中的剪切發熱要低于牛頓流體剪切發熱，因此，Carreau非牛頓流體油膜溫度要低于牛頓流體油膜溫度。由圖6(b)可知，最小膜厚都隨著滑滾比的增大而減小，主要是因為壓縮功和剪切熱的存在而導致的油膜溫度升高，黏度降低，膜厚變薄。在小滑滾比下，Carreau非牛頓流體最小膜厚低于牛頓流體的最小膜厚，且減小的趨勢與牛頓流體相比較為平緩。由圖6(c)可知，當滑滾比ζ=0時，Carreau非牛頓流體與牛頓流體平均摩擦因數相差較小。隨著滑滾比的增大，平均摩擦因數也在增大。這是由于界面滑動速度的增加導致油膜厚度降低，使剪切應力增大，總的摩擦力增大，載荷不變，因此平均摩擦因數增大。

3.2 卷吸速度影響

在上述模型中，滾子與內圈的平均速度可視為卷吸速度。在ζ=0.05、W=1×10-4條件下，卷吸速度在0.2～1.0 m/s之間變化，求解混合潤滑狀態下不同卷吸速度時的數值解，并將油膜最高溫度、膜厚比λ(λ=hmin/σ)、載荷比與牛頓流體數值解進行對比。

圖7所示為壓力隨卷吸速度的變化。可看出在載荷一定時，隨著卷吸速度的增大，油膜壓力ph逐漸增大，固體接觸壓力pa逐漸減小，總壓力p變化不大。

圖7 Carreau非牛頓流體壓力隨卷吸速度變化的趨勢(ζ=0.05，W=1×10-4)Fig.7 Variations of Carreau non-Newtonian fluid pressure with entrainment velocity for ζ=0.05 and W=1×10-4：(a)oil film pressure；(b)asperity pressure；(c)total pressure

圖8給出的是油膜厚度隨卷吸速度變化的趨勢。可以看出隨著卷吸速度的增大，油膜厚度明顯增大。卷吸速度越小，潤滑膜厚越小，這是因為剪切變稀的非牛頓性使得流體的黏度隨著剪應變率的提高而變小，要承受同樣的載荷，潤滑劑的膜厚需要變得更薄來增加承載能力。

圖8 Carreau非牛頓流體油膜厚度隨卷吸速度變化的趨勢(ζ=0.05，W=1×10-4)Fig.8 Variations of oil film thickness of Carreau non-Newtonian fluid with entrainment velocity for ζ=0.05 and W=1×10-4

圖9(a)給出了不同卷吸速度下，2種流體油膜最高溫度的變化。可知，非牛頓流體最高油膜溫度整體上低于牛頓流體；在卷吸速度較小時，兩者溫度差值不大，在卷吸速度較大的時候，兩者的差值逐漸增大，且都隨著卷吸速度的增大而增大，這是因為隨著卷吸速度的增大，對潤滑油的壓縮和剪切使得潤滑油的溫度明顯上升。由圖9(b)可知，膜厚比隨著卷吸速度的增大而增大，而且增大的趨勢基本相同。又因為σ不變，所以它們的膜厚也在增大。當卷吸速度較小時，兩者的膜厚比沒有太大的差別。由圖9(c)可知，隨著卷吸速度的增大，兩者的載荷比逐漸減小。這是因為兩者的膜厚都在增大(見圖9(b))，這讓接觸的粗糙峰變少，粗糙峰承受的載荷減小，總載荷不變，從而載荷比也在變小。又因為非牛頓流體的膜厚整體上小于牛頓流體的膜厚，所以它的載荷比要大于非牛頓流體的載荷比。2種流體膜厚變化的趨勢大致一樣，使得載荷比的變化趨勢也大致相同。

圖9 不同流變模型油膜最高溫度、膜厚比和載荷比隨卷吸速度變化的趨勢Fig.9 Variations of oil film maximum temperature(a)，film thickness ratio(b)，and the load ratio(c)with entrainment speed in different rheological models

3.3 載荷影響

由Hertz接觸理論可知，接觸區的載荷與最大Hertz壓力有關，因此文中考慮最大Hertz壓力的影響，在ζ=0.05、Ue=2×10-11條件下，求解最大Hertz壓力在0.3～1.8 GPa之間變化時混合潤滑狀態下不同載荷時的數值解，并將油膜最高溫度、膜厚比、載荷比與牛頓流體數值解進行對比。

圖10所示為總壓力p、油膜壓力ph及固體接觸壓力pa隨最大Hertz壓力的變化趨勢。可知隨著最大Hertz壓力的增大，三者都逐漸增大。

圖10 Carreau非牛頓流體壓力隨最大Hertz壓力變化的趨勢(ζ=0.05，Ue=2×10-11)Fig.10 Variations of Carreau non-Newtonian fluid pressure with maximum Hertzian pressures for ζ=0.05 and Ue=2×10-11：(a)total pressure；(b)oil film pressure；(c)asperity pressure

圖11給出的是油膜厚度隨最大Hertz壓力變化的趨勢。可以看出隨著最大Hertz壓力的增大，油膜厚度逐漸減小，這是為了承受更多的載荷。

圖11 Carreau非牛頓流體油膜厚度隨最大Hertz壓力變化的趨勢(ζ=0.05，Ue=2×10-11)Fig.11 Variatione of oil film thickness of Carreau non Newtonian fluid with maximum Hertzian pressures for ζ=0.05 and Ue=2×10-11

圖12(a)給出了最高油膜溫度隨最大Hertz壓力的變化。可以看出，當最大Hertz壓力較小時，2種流體的油膜溫度相差不大。在最大Hertz壓力變大的過程中，兩者的差值逐漸增大，而且牛頓流體油膜溫度上升趨勢更為明顯。由圖12(b)可知，膜厚比都隨著最大Hertz壓力的增大而減小，而且最大Hertz壓力對2種流體膜厚比的差值沒有太大的影響。當最大Hertz壓力較小時，兩者的膜厚比沒有太大的差別。由圖12(c)可知，隨著最大Hertz壓力的增大，兩者的載荷比逐漸減小。這是因為在混合潤滑中，總載荷由油膜和粗糙峰共同承擔，隨著最大Hertz壓力的增大，油膜壓力和固體接觸壓力都在增大，油膜壓力增大的幅度遠高于固體接觸壓力增大的幅度(如圖10所示)，這使得粗糙峰承受的載荷在總載荷中占比減小，因此載荷比也變小。同時Carreau非牛頓流體的膜厚整體上小于牛頓流體的膜厚，粗糙峰承受的載荷更多，所以它的載荷比要大于牛頓流體的載荷比。

4 結論

(1)在圓柱滾子軸承中，隨著滑滾比的增大，油膜溫度整體上升，膜厚下降趨勢平緩，平均摩擦因數增大，與牛頓流體相比，Carreau非牛頓流體的油膜溫度、膜厚及平均摩擦因數都較小。

(2)隨著卷吸速度的增大，油膜壓力上升，固體接觸壓力下降，使得載荷比減小；而隨卷吸速度的增大，油膜溫度和膜厚比上升；Carreau非牛頓和牛頓流體的膜厚比和載荷比的變化趨勢相似。

(3)隨著最大Hertz壓力的增大，油膜壓力和固體接觸壓力都在升高，油膜壓力上升的幅度比固體接觸壓力上升的幅度大，使得載荷比下降；而隨最大Hertz壓力的增大，油膜溫度增大，膜厚比減小。2種流體的膜厚和載荷比隨最大Hertz壓力的變化趨勢大致相同。