考慮參數不確定性的驅動電機振動特性分析*

呂 輝，姜 帥，魏政君，曹懿莎

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州 510641；2.廣西科技大學，廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，柳州 545006；3.中汽檢測技術有限公司，廣州 510530）

前言

隨著新能源汽車行業的迅速發展，電動車成為國內外汽車行業的研究熱點。為適應汽車復雜的運行工況，電動車驅動電機向著輕量化、高轉矩密度、高功率密度等方向發展，這使得驅動電機的振動噪聲問題日益突出，影響用戶的駕乘體驗［1］。因此，在驅動電機早期設計開發過程中，需要對驅動電機進行振動特性分析，以抑制電機振動噪聲，提高整車NVH性能。

電機振動可以分為機械振動和電磁振動兩方面。機械振動由軸承摩擦和轉子不平衡等因素引起，電磁振動由作用在結構上脈動的電磁力波引起。相較于機械振動，電磁振動更加突出且不易消除和抑制，是電機振動的主要來源［2］。電磁力波可分解為徑向電磁力波和切向電磁力波：脈動的徑向電磁力波會引起驅動電機沿徑向的振動；而脈動的切向電磁力波會引起電機轉矩波動，從而使電機和支架發生側向振動。目前，針對徑向電磁力波的研究主要集中在分析徑向電磁力波與電磁振動的關系、徑向電磁力波的求解計算等方面：呂長朋等［3］研究認為空載時零階徑向電磁力引起的振動是電機振動的主因；左曙光等［4］建立了有限元模型計算電機的徑向電磁力波，并進行了靈敏度分析；劉慧娟等［5］以徑向電磁力波為電磁激勵源，分析了電機的振動噪聲特性；Fakam等［6］考慮永磁體磁導率和轉子形狀等因素，采用有限元法和解析法混合求解電機的氣隙磁場和徑向電磁力波。針對轉矩波動的研究主要有兩個方面：空載下的轉矩波動和負載下的轉矩波動［7］。空載下轉矩波動又稱為齒槽轉矩，而轉矩波動通常指的是負載下的轉矩波動，二者需要綜合考慮從而達到抑制電機振動的目的。目前，針對轉矩波動和齒槽轉矩的研究主要集中在分析切向電磁力波與齒槽轉矩和轉矩波動的關系、電機齒槽轉矩和轉矩波動優化方法等方面：蘭華［8］研究認為，只有零階切向電磁力波才能對齒槽轉矩或轉矩波動產生貢獻；張立軍等［9］研究了由切向電磁力引起的定子齒部切向變形和轉矩波動對電磁振動的影響；羅玉濤等［10］以轉矩波動等為優化目標對驅動電機結構進行了優化設計。從上述分析可以看出，電機振動特性分析主要是徑向電磁力波、轉矩波動和齒槽轉矩的分析。

上述關于驅動電機振動的分析，多為確定性分析，即其中的結構和材料等參數均視為確定參數。實際上，受制造裝配誤差、工作溫度變化等因素的影響，汽車結構的參數往往存在不確定性。例如制造誤差可能造成電機定轉子或永磁體的尺寸波動，裝配誤差可能造成氣隙寬度的變化，高轉速工況下電機溫度升高可能導致永磁體磁性能的變化。這些不確定因素在數值上可能非常小，但多個不確定因素相互耦合就有可能導致電機振動性能發生很大的變化［11］。采用傳統的確定性分析方法對驅動電機的振動特性進行分析，可能會導致分析結果產生較大誤差。近幾年，作者課題組已將參數不確定性模型應用在汽車動力總成懸置系統［12-13］、制動器系統［14-15］的動力學特性研究，并取得了一些成果，這些研究成果表明考慮汽車結構參數的不確定性能使系統響應分析更加合理。因此，有必要對電機振動特性進行不確定性分析。

鑒于此，本文提出了一種考慮電機參數不確定性的振動特性分析方法。首先，基于神經網絡代理模型建立驅動電機振動特性的響應模型；然后，結合泰勒級數展開和中心差分法，推導了一種求解驅動電機振動特性不確定響應的高效分析方法；最后，通過算例驗證方法的有效性。分析方法能為后續開展系統振動特性的優化設計奠定基礎。

1 驅動電機振動特性理論分析

以徑向電磁力密度峰值、轉矩波動和齒槽轉矩峰值來衡量驅動電機的振動性能。

1.1 徑向電磁力密度

根據電機學原理，忽略飽和作用時，空載氣隙磁場為

式中：f(θ，t)為永磁同步電機空載的氣隙磁動勢；θ為空間機械角；t為時間；轉子磁場諧波次數μ=(2r+1)p，r=0，1，2，…；λ(θ，t)為氣隙磁導；Bμ為轉子磁場的μ次諧波磁密的幅值為平均氣隙比磁導為第k次諧波比磁導；ω1為基波旋轉角速度；p為極對數；Z1為定子槽數。

三相電流通過繞組的負載工況下，繞組電流產生的定子磁場為

式中：Bv為定子磁場的v次諧波磁密的幅值；定子磁場諧波次數v=(6s+1)p，s=0，± 1，± 2，…；φ為定子繞組電流的相位。

負載工況下氣隙磁場為空載氣隙磁場和繞組電流產生的定子磁場之和，即

根據麥克斯韋應力張量理論，徑向氣隙電磁力密度為

式中：μ0為真空磁導率；br和bt分別為負載工況下的徑向和切向氣隙磁密。

1.2 轉矩波動

在電機負載工況下，轉矩波動來源于齒槽轉矩、磁阻轉矩諧波分量和永磁轉矩諧波分量。氣隙中的切向電磁力可由麥克斯韋應力張量法計算：

故輸出轉矩計算公式為

式中：C是氣隙中以轉子中心為圓心、半徑為R的任意圓；L是轉子的軸向長度。

轉矩波動為

式中：Tmax、Tmin和Tavg分別是一個周期內輸出轉矩的最大值、最小值和均值。

1.3 齒槽轉矩

齒槽轉矩是由定子齒和轉子永磁體相互作用的切向電磁力產生的轉矩，它疊加在輸出轉矩上，是轉矩波動的一部分［16］。電機空載工況下的轉矩波動完全來源于電機齒槽轉矩。

與電機輸出轉矩計算類似，齒槽轉矩計算公式為

式中bmr和bmt分別是空載工況下的徑向和切向氣隙磁密。

2 考慮參數不確定性的振動特性分析

工程實際中，汽車驅動電機可能存在這樣的不確定情形：定子、永磁體等的結構尺寸由于方便測量，可以獲得較為充足的樣本信息，適合采用隨機變量描述；電機氣隙寬度、永磁體材料磁性能等參數由于不易實際獲取，缺乏足夠的樣本數據，宜視為未知但有界的區間變量。

假設電機中存在m個隨機變量，組成隨機向量x=[x1，x2，…，xm]T；同時還存在n個區間變量，組成區間向量y=[y1，y2，…，yn]T。為便于分析，以F(x，y)、W(x，y)和T(x，y)分別表示隨機與區間混合不確定情形下汽車驅動電機的徑向電磁力密度峰值、轉矩波動和齒槽轉矩峰值。

對于制造誤差等導致的隨機參數，其分布往往符合正態分布［17］。不妨設隨機變量xi(i=1，2，…，m)服從均值為、標準差為的正態分布。對于隨機向量x，分別用xμ、xσ和V(x)表示其均值、標準差和方差。

輸入參數為服從正態分布的隨機變量時，系統的輸出為概率統計參數確定的隨機響應。而對于隨機與區間混合不確定情形，系統的輸出變為概率統計參數在某一區間的隨機響應。即要求解出驅動電機振動特性輸出均值和標準差的上下界，才能完全獲得混合不確定情形下的驅動電機振動特性響應。

為求解F(x，y)、W(x，y)和T(x，y)的混合不確定響應，以下提出了泰勒級數展開-中心差分法（Taylor series expansion-central difference method，TSE-CDM）和蒙特卡洛法（Monte Carlo method，MCM）兩種方法。

2.1 泰勒級數展開-中心差分法

以驅動電機徑向電磁力密度峰值F(x，y)為例，TSE-CDM 求解F(x，y)混合不確定響應的過程如下。

首先暫時忽略區間不確定性，僅考慮隨機變量的影響，對F(x，y)進行隨機不確定分析。假設所有隨機變量之間相互獨立，將F(x，y)在隨機變量的均值處進行1階泰勒展開［18］，忽略余項，可得

進而，F(x，y)的均值E(F)和方差V(F)為

重新考慮區間不確定性，則式（10）和式（11）所求得均值和方差是區間變量的函數。假設模型的所有區間變量之間相互獨立，將E(F)和V(F)在區間變量的中點處進行1階泰勒展開，忽略余項，可得

由于F(x，y)為關于x、y的隱函數，可通過引入中心差分法計算上式中的偏導數值，得

將式（18）～式（20）3 個方程同時代入式（14）～式（17）中，即可求得混合隨機區間不確定模型下的徑向電磁力密度峰值F(x，y)的均值和方差的上界及下界，將方差的上界和下界分別開方就得到標準差的上界σ+(F)和下界σ-(F)。類似地，也可求得W(x，y)和T(x，y)的混合不確定響應。

2.2 蒙特卡洛法（MCM）

以驅動電機徑向電磁力密度峰值F(x，y)為例，基于蒙特卡洛抽樣求解F(x，y)混合不確定響應的過程如下。

（1）按照已知的概率分布，對隨機向量x進行p次抽樣，生成p組隨機向量樣本，記為X={x(1)，x(2)，…，x(p)}。對區間向量y在區間范圍內進行q次均勻抽樣，生成q組區間向量樣本，記為Y={y(1)，y(2)，…，y(q)}。

（2）取Y的第b組數據y(b)(b=1，2，…，q)，分別與X中每一組隨機向量x(a)(a=1，2，…，p)組合，形成p組輸入參數。分別將每組輸入參數代入F(x，y)中，共得到p個徑向電磁力密度峰值，計算這p個徑向電磁力密度峰值的均值E(b)(F)和標準差σ(b)(F)。

（3）重復步驟（2）q次，獲得q組E(1)(F)，…，E(q)(F)和q組σ(1)(F)，…，σ(q)(F)的值，進而篩選出均值的上下界、標準差的上下界，分別記為E+(F)、E-(F)、σ+(F)和σ-(F)。

上述蒙特卡洛法分析過程如圖1所示。

圖1 蒙特卡洛法流程圖

同理，上述步驟也可求得W(x，y)和T(x，y)的混合不確定響應。采用蒙特卡洛法求解振動特性的混合不確定響應，須進行p×q次計算。當抽取的樣本數目足夠多時，可以獲得非常精確的響應結果。因此，蒙特卡洛法可以作為TSE-CDM 的參考，驗證后者方法的有效性。

3 振動特性響應近似模型

驅動電機振動特性的不確定分析需要計算大量次數的振動響應，大規模地調用有限元模型將不可避免地導致分析計算效率低下。而代理模型技術運用相對簡單的模型代替耗時的有限元模型，能大幅提高分析效率。常用的代理模型有響應面模型、克里金模型、神經網絡模型等。其中，神經網絡模型對非線性模型擬合能力強，有良好的容錯率、穩定性、自組織和自適應能力，能夠很好地擬合電機振動特性。因此本文引入神經網絡模型構建振動特性的代理模型，進而提高不確定性分析效率。

以具有兩個隱藏層的神經網絡為例，模型輸入為驅動電機中的不確定參數，模型輸出為驅動電機的振動特性，其結構如圖2 所示。每個神經元接受來自前一層神經元不同權重的值，經激活函數處理后向下一層傳遞。圖2 中x=[x1，x2，x3，x4]T為神經網絡輸入參數；第i(i=1，2，3)層中，w(i)為第i-1層到第i層的權重矩陣；b(i)為第i-1 層到第i層的偏置；z(i)為第i層的凈輸入；a(i)為第i層的輸出。

圖2 神經網絡結構圖

令a()0=x，則神經網絡信息傳遞公式［19］為

式中fi為第i層的激活函數。常用的激活函數有Sigmoid函數、Tanh函數、ReLU函數等。

損失函數表示模型預測值和真實值之間的差異，回歸問題中常采用均方誤差（mean squared error，MSE）作為損失函數，表達式為

式中：n為樣本總數為第k個樣本預測值；yk為第k個樣本真實值。

損失函數是神經網絡參數w(i)和b(i)的函數，因此神經網絡的訓練是尋找使損失函數最小的w(i)和b(i)的過程。訓練迭代的基礎方法為梯度下降法，使用反向傳播算法可高效地計算梯度，這里不再贅述。

4 算例分析

4.1 驅動電機電磁有限元模型

使用ANSYS Electronics Desktop 電磁仿真軟件可求解驅動電機振動特性。以某內置式永磁同步電機為例，其基本參數如表1 所示。在進行有限元仿真計算時，電機模型通常會被簡化成2D 或3D 模型，網格劃分如圖3所示。

表1 電機的研究參數

圖3 網格剖分

分別進行驅動電機2D 有限元模型和3D 有限元模型額定工況下的電磁有限元仿真。在定子繞組上施加三相電流激勵，得到徑向電磁力密度在氣隙圓周上的空間分布，如圖4（a）所示，輸出轉矩一個周期內的波動如圖4（b）所示，齒槽轉矩如圖4（c）所示。

圖4 有限元仿真結果對比

從圖4可以看出，2D和3D模型的仿真結果具有較好的一致性。仿真結果存在差異的原因可能在于2D 模型中存在永磁體端部效應等造成的計算誤差。而針對徑向電磁力密度峰值、轉矩波動和齒槽轉矩峰值的計算，2D 和3D 模型的相對差值在5%以內。在計算效率方面，使用同一臺計算機，2D 模型的有限元仿真耗時在1 min 以內，而3D 模型的仿真耗時長達數小時。

因此，使用驅動電機2D 模型進行有限元仿真求解振動特性，在滿足計算精度的同時，計算效率遠遠高于3D 模型，故后續采用2D 有限元模型構建振動特性代理模型。

4.2 驅動電機振動特性代理模型

為有效構建神經網絡模型作為代理模型，首先使用最優拉丁超立方試驗設計方法在參數研究范圍組成的空間內采樣，研究參數及研究范圍如表2 所示。隨后，抽取1 000 組最優拉丁超立方樣本點，分別代入到電機2D有限元模型，求解出對應的徑向電磁力密度峰值F、轉矩波動W和齒槽轉矩峰值T。最后根據得到的1 000組結果數據構建神經網絡模型，其中訓練集、測試集和驗證集分別占70%、15%和15%。

表2 參數初始值與抽樣范圍

為避免輸入變量數值差異性較大導致訓練效果不佳，需在訓練前進行數據歸一化處理，將所有數據縮放到0 和1 之間。對隱藏層層數和隱藏層神經元個數不同組合得到的不同神經網絡模型分別進行訓練，比較損失函數最終收斂值的大小，最終采用含一個隱藏層、隱藏層神經元數目為12 的3 層神經網絡模型作為振動特性的代理模型。訓練過程中的損失函數迭代如圖5 所示，訓練完成后神經網絡模型在測試集上的預測結果如圖6所示。

圖5 損失函數迭代圖

圖6 神經網絡模型預測結果

從圖5 可以看出，經過29 次迭代，訓練集、測試集和驗證集的均方誤差收斂到7×10-4。從圖6 可以看出，神經網絡模型計算的預測值相對誤差較小。其中徑向電磁力密度峰值的測試集平均相對誤差為0.09%，轉矩波動的為0.6%，齒槽轉矩峰值的為0.1%，滿足精度要求。因此，構建的神經網絡模型預測能力和泛化能力均較強，可用于電機振動特性的不確定性分析。

4.3 不確定性情形下驅動電機振動特性分析

考慮參數的不確定性，將定子槽形參數和永磁體結構參數視為服從截斷正態分布的隨機變量（即忽略掉概率極小的樣本），均值為各參數的初始值，標準差為相應均值的0.83%，這樣使參數取值范圍為圍繞均值上下波動±2.5%，即均值±3倍標準差；將氣隙寬度、永磁體相對磁導率和永磁體矯頑力視為區間變量，區間中點為各參數初始值，區間半徑為各區間中點的5%。不確定參數分布類型和取值如表3和表4所示。

表3 隨機變量均值及標準差 mm

表4 區間變量取值邊界

采用第2 節中提出的TSE-CDM 和MCM 對驅動電機的振動特性進行混合不確定性分析。蒙特卡洛法在抽樣次數足夠多時能達到非常高的計算精度，故很多研究將其作為參考方法，用于驗證其他數值方法的有效性［20］。使用MCM 求解時，對隨機變量和區間變量分別抽取104個樣本，即調用神經網絡模型計算108次，才能得到收斂的輸出響應。兩種方法求解得到的混合不確定響應如表5所示。

表5 不確定響應結果對比

由表5 可知，對于驅動電機振動特性不確定響應的求解，除轉矩波動的標準差下界外，TSE-CDM的求解誤差均在5%以內，而轉矩波動的標準差下界的求解相對誤差在10%以內，這說明TSE-CDM有著較高的求解精度，能滿足一般工程需求。轉矩波動的標準差下界求解誤差較大，這說明轉矩波動的標準差對混合不確定參數的變化更加敏感。計算效率方面，使用同一臺計算機，TSE-CDM 的求解時間為6 s，MCM 的求解時間為370 s，可以看出TSECDM的求解時間遠小于MCM。

綜上所述，考慮參數不確定性對驅動電機振動特性進行分析時，采用TSE-CDM 在保證計算精度的前提下有效提高了計算效率。因此，該方法可有效地應用于后續研究中。

由于驅動電機的振動特性為概率統計參數在某一區間的隨機變量，故可基于“3σ”原則計算徑向電磁力密度峰值的最大值E+(F)+3σ+(F)、轉矩波動的最大值E+(W)+3σ+(W)和齒槽轉矩峰值的最大值E+(T)+3σ+(T)。考慮參數不確定性振動分析和確定性振動分析的結果對比如表6所示。

表6 確定性和不確定性分析對比

由表6 可以看出，在不確定參數的影響下，系統振動特性響應的最大值要大于確定性分析的結果。隨機和區間不確定性均較小時，齒槽轉矩峰值的最大值超出確定性分析結果41.41%，轉矩波動的最大值超出18.75%，徑向電磁力密度峰值的最大值超出2.93%。可見，混合不確定性對齒槽轉矩峰值影響最大，對轉矩波動的影響次之，對徑向電磁力密度峰值的影響最小。這點在工程中值得重點關注。

本文提出的考慮參數不確定性的驅動電機振動特性分析方法，能有效求得系統的不確定響應，為后續開展系統振動特性的優化改進奠定了必要基礎。

5 結論

（1）構建的驅動電機振動特性神經網絡模型預測能力和泛化能力均較強，徑向電磁力密度峰值的預測集平均相對誤差為0.09%，轉矩波動的為0.6%，齒槽轉矩峰值的為0.1%。

（2）泰勒級數展開-中心差分法能對含隨機和區間混合不確定性的驅動電機振動特性的混合不確定響應進行有效分析，在保證精度的前提下大大提高分析效率。該方法能為后續優化設計奠定必要基礎。