共軛梯度最小二乘法和奇異值分解法識別移動荷載對比研究

摘 要：【目的】移動荷載識別（MFI）技術是通過采集橋梁動態響應來識別橋上動態車載時程的。由于車橋系統矩陣是不適定的，MFI需要求解這一典型結構動力學第二類逆問題。【方法】本研究通過對比研究共軛梯度最小二乘（CGLS）法和奇異值分解（SVD）法識別移動荷載的效果特征，總結CGLS法和SVD法識別移動荷載的適用范圍。CGLS法為典型的迭代線搜索法，SVD法為直接正則化法，通過MATLAB軟件數值模擬對比CGLS法與SVD法識別移動荷載的效果差異。【結果】CGLS法除上下橋時的誤差較大外，其他時段具有較好的參考價值，而SVD法在僅有單車軸在橋上時誤差小。【結論】CGLS法識別多軸荷載更具優勢，SVD法能有效識別單軸荷載。

關鍵詞：移動荷載識別；共軛梯度法；奇異值分解法

中圖分類號：TP391? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1003-5168（2023）08-0027-04

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2023.08.006

Comparative Study on Moving Force Identification by Conjugate

Gradient Least Squares and Singular Value Decomposition

CAO Yujie

（School of Civil Engineering and Communication，North China University of Water Resources and Electric Power，Zhengzhou 450045，China）

Abstract： [Purposes] Moving force identification obtains vehicle load time history by the dynamic response of the bridge. Since the vehicle-bridge system matrix is ill-posed， it is necessary to solve the typical second-class inverse problem of the structural dynamics. [Methods] In this study， the effect characteristics of conjugate gradient least squares method and singular value decomposition method in MFI are compared， and the applicable scope of CGLS method and SVD method in identifying movingforce is summarized.? CGLS method is a typical iterative line search method， and SVD method is a direct regularization method. CGLS method and SVD method are compared by MATLAB software. [Findings] CGLS method performs well except on getting into or out of the bridge; SVD method has small error when only single axle is on the bridge. [Conclusions] CGLS method has advantages in identifying multiaxial load， SVD method can effectively identify uniaxial load.

Keywords： MEI; CGLS;SVD

0 引言

車輛荷載是橋梁動荷載的重要組成部分，研究真實車輛荷載信息對已有橋梁健康監測和橋梁設計具有重要意義［1］。傳統停車稱重法不僅干擾正常交通，還要布設路面稱重裝置，該方法成本較高，容易對橋梁造成損壞。橋梁動態稱重是將橋梁整體作為稱重工具，通過測量車輛過橋時橋梁動力響應來間接識別車重。該方法不用安裝稱重裝置，可避免對橋面鋪裝層造成破壞，通過在梁底部或支座附近安裝傳感器，不干擾交通，且成本低。移動荷載識別（MFI）不同于僅能估測靜態車重的影響線類方法［2］，其能獲取車輛通過橋梁時的荷載動態時程。

建立MFI基本數學模型的方法有時域法（TDM）、頻時域法、有限元法、狀態空間法等。在橋梁動態響應不受噪聲干擾的前提下，采用TDM來識別移動荷載時，能有效獲取動荷載的時變特征，但當響應受到噪聲干擾時，使用TDM識別移動荷載的結果受噪聲干擾嚴重［3］。

逆問題具有不適定性是阻礙移動荷載識別技術發展的難點。這是因為響應中包含微小噪聲，所識別出的移動荷載會產生誤差。為此，國內外研究者提出一系列方法來抵抗不適定性，用于獲取高精度、高抗噪性的解。有以經典Tikhonov正則化為基礎的正則化方法，如L1范數正則化法；以系數矩陣分解為基礎的算法，如奇異值分解法（SVD）和預處理最小二乘QR分解法；也有從解的表達入手的基函數法（BFM），這類方法更多考慮荷載先驗信息，通過簡化求解，最終識別精度受設置的基函數影響［4］。

采用不同的方法求解MFI，得到的識別結果有不同特征。目前，對不同類型求解方法來求解識別移動荷載特點的對比分析較少。本研究使用MATLAB軟件進行數值模擬，對比基礎的CGLS法與奇異值分解法（SVD）、改進截斷奇異值分解法（MTSVD）識別雙軸荷載的效果差異。在已知不同荷載先驗信息的前提下，選擇合適的算法類型進行求解。

1 移動荷載識別理論基礎

本研究采用歐拉-伯努利簡支梁為橋梁模型，如圖1所示。將二軸車簡化為兩個保持恒定距離的時變力[f（t）]，這一恒定距離即為車軸距，兩個時變力以固定速度[c]沿直線運動。

采用TDM建立基本數學模型，移動荷載作用下t時刻測點響應[bt]的計算見式（1）。

[bt=0thgτ， t-τfτ] （1）

式中：[gt=ct]為t時刻荷載作用位置；[h（x，t）]為t時刻單位脈沖激勵在x處作用時產生的響應。加速度響應、彎矩響應、位移響應、應變響應都可用這種形式來表達。

響應[b]在時間軸上，離散表示見式（2）。

[b=?t∑kj=1hgj?t，t-j?tfj?t? ? j=0，… ， k]

（2）

式中：k為時間區間（0， t］被等分的份數；[?t=t/k]為離散的小時間區間；[j?t]為第j個離散時間點。

在時間區間[0，T]內有m個采樣點，可建立m個線性方程，見式（3）。

[A1A2?Am×ft=b1b2?bm] （3）

線性方程組可表示為矩陣方程形式，見式（4）。

[Ax=b] （4）

式中：[A]為車橋系統矩陣，[A∈Rm×n]；b為橋梁響應向量，[b∈Rm×1]；x為離散的移動荷載向量，[x∈Rn×1]。

通過上述步驟，可將移動荷載識別的數學模型簡化為線性方程組進行求解。

2 共軛梯度法和系數矩陣分解法

2.1 共軛梯度最小二乘法

共軛梯度法屬Krylov子空間法。每一次迭代的搜索方向[d]或方程殘差向量[r]張成空間是一個Krylov子空間[Km]，殘差向量[r=b-Ax]。子空間[Km]的表達見式（5）。

[Km=span b，Ab，…， Am-1b]

[=span r0，r1，…， rm-1] （5）

[=span d0，d1，…， dm-1]

CGLS法求解移動荷載識別方程[Ax=b]基本步驟［5］如下。

選定初始解向量[x0]，設置為0向量，殘差[rj=b-Axj]，搜索方向為[dj]，初始搜索方向為[d0=ATr0=ATb]，迭代次數[j=1，2，…]，直到解收斂才停止迭代。

每次迭代內容如下。

①步長更新。相關計算公式見式（6）至式（8）。

[αj=ATrj-122Adj-122]? ? ? ? ? ?（6）

[xj=xj-1+αjdj-1] （7）

[rj=rj-1+αjAdj-1] （8）

②方向更新。更新方法見式（9）。

[dj]=[ATrj+βjdj-1] （9）

其中，方向更新系數[βj=Arj22Arj-122]。

CG法識別移動荷載的正則化參數為迭代次數，即由迭代次數來直接決定 CGLS 法的正則化效果。

2.2 奇異值分解法

系數矩陣分解法有QR分解法、SVD法等，在SVD法的基礎上，還有截斷奇異值分解法、改進截斷奇異值分解法（MTSVD）等。接下來將簡述SVD法的基本步驟。

使用SVD法來識別移動荷載時，先對系統矩陣[A∈Rm×n]進行奇異值分解，見式（10）。

[A=UΣVT=∑ni=1uiσivTi] （10）

式中：[Σ=diag（σ1，σ2，…，σn）]為奇異值對角陣；[U=（u1，u2，…，um）]、[V=（v1，v2，…，vn）]為列正交矩陣，[UTU=I]，[VTV=I]。

將奇異值矩陣中奇異值從大到小排列，即[σ1≥σ2≥…≥σn]，其中[σn]為車橋系統矩陣A的第n個奇異值。[σ1σn]為系統矩陣A的條件數，條件數能體現系統矩陣病態性程度，條件數越低，則矩陣不適定性也越低，解的誤差范圍就越小；條件數越高，則矩陣不適定性也越高，解的誤差范圍就越大。

截斷奇異值分解（TSVD）法是在SVD法的基礎上，通過截斷系統矩陣的小奇異值來降低系統矩陣的條件數，從而獲得更高精度的解［6］，提高移動荷載的識別精度。

3 數值模擬

為了觀察CGLS算法、SVD算法的有效性和差異，進行數值模擬試驗。簡支梁參考圖1所示的歐拉伯努利簡支梁進行搭建，只考慮豎向變形，假設橋梁變形在材料彈性范圍內。橋梁參數設置如下，梁長L=40 m、梁單位長度密度[ρ]=12 000 kg/m、梁抗彎剛度EI=1.27914×[1011] N·[m2]。車輛參數設置如下，車輛車軸軸距為8 m、車速c=40 m/s。以1/4和1/2梁跨處的橋梁彎矩和1/4梁跨處豎向加速度響應為輸入數據，噪聲水平為5%，采樣頻率為200 Hz，分析頻率為0～50 Hz。車輛荷載時間函數見式（11）［7］。

f1（t）=20［1+0.1sin（10[π]t）+0.05sin（40[π]t）］ kN （11）

f2（t）=20［1-0.1sin（10[π]t）+0.05sin（50[π]t）］ kN

1/2梁跨處彎矩響應和加速度響應如圖2所示。

將車輛移動荷載離散向量[x]帶入識別移動荷載的系統方程[Ax=b]的正過程中，求出理論橋梁響應，在理論響應信號中添加5%的噪聲來模擬實測響應，將噪聲污染后的響應[b]輸入到系統中進行求解。

真實荷載與使用SVD法和CGLS法識別出的結果如圖3所示。在車輛上橋和車輛下橋階段，SVD法識別效果良好，幾乎與真實荷載的時程曲線完全符合，在僅有單車軸在橋上的時段內能有效還原真實移動荷載。與之相反的是，CGLS法在車輛上下橋時間段內所識別到的荷載要明顯小于真實荷載，但在其他時間段，CGLS法識別結果仍保持在真實荷載附近，但起伏程度更大，如參考Tikhonov正則化法，對其解施加光滑約束，可提高其識別精度。基礎SVD法在噪聲干擾下識別誤差很大，抗噪性差，這是由系統矩陣不適定性造成的。

4 結語

CGLS法在識別上下橋移動荷載時誤差較大，其他時段的波動幅度較小，對CGLS法的改良應從加強對解的額外約束入手，使荷載時間曲線更加平滑。SVD法在車輛單軸在橋上時能有效還原真實荷載。SVD法對噪聲敏感，可從提高系統矩陣的抗不適定性入手進行改良，如減小條件數，但要盡可能減少系統的信息損失。在識別單軸荷載時，可選擇SVD類法，在識別多軸荷載時，CGLS法更有優勢。

參考文獻：

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收稿日期：2022-12-15

作者簡介：曹雨婕（1996—），女，碩士生，研究方向：橋梁移動荷載識別。