重構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化單元整體教學(xué)的路徑

鄒偉

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系。學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是由數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化而來的，所以塑造良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的物質(zhì)基礎(chǔ)就是有效的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計就是要把數(shù)學(xué)學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生頭腦里的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師要以單元中起統(tǒng)攝作用的關(guān)鍵概念和數(shù)學(xué)思想為核心，將單元離散的、斷裂的知識點(diǎn)進(jìn)行梳理、歸納和整合，讓知識呈現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)和體系，重新劃分教學(xué)時序與進(jìn)程，啟發(fā)和指導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，逐步內(nèi)化為學(xué)生自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。下面以 “長方體和正方體”單元為例，談?wù)勗鯓舆\(yùn)用單元整體教學(xué)設(shè)計，重構(gòu)小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

一、學(xué)習(xí)主題一致性分析

“長方體和正方體”屬于“圖形的認(rèn)識與測量”內(nèi)容，具體涵蓋長方體的認(rèn)識和測量兩個主題內(nèi)容，兩者之間具有密切關(guān)聯(lián)，具有本質(zhì)的一致性特征。

（一）圖形的認(rèn)識一致性分析

圖形的認(rèn)識指的是舍棄現(xiàn)實(shí)世界中的具體實(shí)物的物質(zhì)屬性，將其抽象成幾何體，甚至舍棄其空間的延伸，抽象成幾何圖形。圖形的認(rèn)識主要研究圖形的抽象和圖形的特征。圖形的認(rèn)識離不開圖形的抽象。圖形的抽象實(shí)質(zhì)是在現(xiàn)實(shí)空間根據(jù)物體的特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，得到研究的對象的過程，學(xué)生通過圖像的抽象和想象可以實(shí)現(xiàn)三維立體與二維平面間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展空間觀念。圖形的特征實(shí)質(zhì)是研究圖形的要素和各要素之間的關(guān)系。

長方體和正方體的認(rèn)識包含長方體和正方體的特征及展開圖兩項(xiàng)內(nèi)容。教師要使學(xué)生經(jīng)歷長方體和正方體的直觀抽象過程，認(rèn)識面、棱、頂點(diǎn)及長、寬、高（或棱長）各要素和各要素之間的關(guān)系；在認(rèn)識長方體的特征基礎(chǔ)上認(rèn)識長方體、正方體的展開圖并根據(jù)展開圖想象出相應(yīng)的立體圖形。因此，長方體認(rèn)識的內(nèi)容核心是長方體的特征。學(xué)生經(jīng)歷圖形的認(rèn)識可以進(jìn)一步增強(qiáng)幾何直觀，發(fā)展空間觀念。

（二）圖形測量的一致性分析

測量是對圖形某種幾何屬性的量化，本質(zhì)是確定圖形的大小，是用“數(shù)+單位”進(jìn)行量化表達(dá)的過程。“長方體和正方體的測量”包含理解體積和容積的意義、統(tǒng)一度量體積單位的必要性、體積和容積單位、體積和容積單位間換算及面積、體積的計算。可以理解為度量的意義、度量的單位、度量的計算，實(shí)質(zhì)都是先確定一個度量單位，再數(shù)有多少個度量單位的過程。因此，圖形測量的核心概念是度量。學(xué)生在經(jīng)歷理解度量意義和統(tǒng)一度量單位的過程中逐步發(fā)展量感，在經(jīng)歷表面積和體積的推導(dǎo)和計算過程中則進(jìn)一步發(fā)展推理意識。

（三）圖形的認(rèn)識與測量一致性分析

圖形的認(rèn)識與測量是從圖形的定性描述到定量刻畫，從圖形的直觀感知到圖形度量認(rèn)知的過程。圖形的認(rèn)識是對物體形狀的抽象圖形進(jìn)行表示，重點(diǎn)是認(rèn)識圖形的特征。對圖形特征的把握直接影響圖形測量的學(xué)習(xí)。圖形的測量離不開對圖形的認(rèn)識，圖形測量的過程與結(jié)果都與具體圖形的特征密切相關(guān)。新課標(biāo)在第三學(xué)段圖形的認(rèn)識與測量的教學(xué)提示中明確指出，引導(dǎo)學(xué)生通過對立體圖形的測量，從度量的角度認(rèn)識立體圖形的特征。度量是圖形認(rèn)識和測量的核心，圖形的認(rèn)識是研究度量對象的過程，圖形的測量是圖形量化的結(jié)果。

長方體和正方體特征的學(xué)習(xí)是長方體和正方體度量意義、單位及計算學(xué)習(xí)的前提，學(xué)生立足度量的意義、單位及計算可以加深對圖形特征的理解。具體而言，學(xué)生掌握了棱和面的特征將有助于長方體和正方體展開圖的認(rèn)識，為表面積、體積的理解和計算提供了基礎(chǔ)。因此，圖形的認(rèn)識與測量的概念核心是度量。學(xué)生經(jīng)歷長方體和正方體的認(rèn)識和測量探究過程，可以進(jìn)一步形成量感、空間觀念、幾何直觀和推理意識（如表1）。

二、單元整體教學(xué)內(nèi)容分析

“長方體和正方體”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域中“圖形的認(rèn)識與測量”學(xué)習(xí)主題。圖形的認(rèn)識主要研究圖形的抽象和圖形的特征。圖形的認(rèn)識要求包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認(rèn)識；二是對圖形各要素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識。教材對于長方體和正方體的認(rèn)識分兩個階段進(jìn)行編排。

第一階段是在一年級上冊的初步認(rèn)識，主要是直觀感知，通過實(shí)物和模型學(xué)會直觀辨認(rèn)長方體、正方體、圓柱、球等立體圖形，形成初步的空間觀念。第二階段是六年級上冊“再”認(rèn)識，重點(diǎn)是理性分析、刻畫特征，能依據(jù)特征來判斷，能夠做出圖形框架或模型并想象圖形的樣子。圖形的測量是對圖形的定量研究，本單元中涉及的圖形的可測量屬性包括表面積、體積。

新課標(biāo)指出，空間與幾何領(lǐng)域承載的最重要價值就是培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。而空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識。能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體，想象并表達(dá)物體的空間方位和相互之間的位置關(guān)系，感知并描述圖形的運(yùn)動和變化規(guī)律。空間觀念有助于理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

一個抽象，兩個想象，兩個描述，聚焦了培養(yǎng)空間觀念的方法和路徑。教材選擇長方體和正方體作為學(xué)生認(rèn)識立體圖形的起點(diǎn)，符合數(shù)學(xué)知識本身發(fā)展的邏輯順序，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生更好地以數(shù)學(xué)的眼光觀察和了解周圍世界，形成初步的空間觀念，同時，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他立體圖形打下堅實(shí)的基礎(chǔ)。

從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容看，本單元分兩個板塊編排：一是長方體和正方體認(rèn)識，主要是研究圖形的特征；二是長方體和正方體的測量，主要是度量的概念（體積、容積的概念）、度量單位及換算（體積容積的單位），和度量的計算（表面積、體積）。筆者通過分析單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，制定如下學(xué)習(xí)層級（如表2）。

三、關(guān)鍵內(nèi)容教學(xué)分析

（一）關(guān)鍵內(nèi)容

一是長方體和正方體單元的關(guān)鍵內(nèi)容：長方體和正方體的特征，體積（容積）的意義以及長方體和正方體的體積。

二是長方體和正方體認(rèn)識的關(guān)鍵內(nèi)容：長方體和正方體的特征，知道長方體和正方體的面、棱、頂點(diǎn)以及長、寬、高（或棱長）的含義，明確棱的長度決定面的大小，從而掌握長方體和正方體的基本特征。

（二）教學(xué)分析

1.在單元中的地位

長方體和正方體的認(rèn)識，讓學(xué)生從認(rèn)識平面圖形到認(rèn)識立體圖形，是學(xué)生空間觀念發(fā)展的一次飛躍，而長方體和正方體是由長方形和正方形圍成的，是最基本、最常見的立體圖形。因此，長方體和正方體的認(rèn)識是學(xué)生認(rèn)識立體圖形的起點(diǎn)，也為后面學(xué)習(xí)長方體、正方體的表面積和體積奠定知識基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的前概念

低年級學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識長方體和正方體，能夠辨別長方體和正方體；中年級學(xué)生已經(jīng)理解并掌握平面圖形的特征以及其周長和面積的計算方法，并認(rèn)識常用的長度單位和面積單位。學(xué)生對長方體和正方體的認(rèn)識以整體感知為主，對“點(diǎn)、線、面”的特點(diǎn)并不是十分清楚，有些學(xué)生認(rèn)知層次仍停留在半直觀、半抽象的狀態(tài)。對圖形基本要素的認(rèn)知中，學(xué)生對面的關(guān)注度最高，其次是線，再次是點(diǎn)。而六年級的學(xué)生的認(rèn)知順序正處于“面—線—點(diǎn)”的時期。調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能夠自覺地從長方體棱、面、頂點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)行分析，但是缺少各要素關(guān)聯(lián)的分析，學(xué)生的空間觀念需要進(jìn)一步培養(yǎng)。

四、關(guān)鍵課時教學(xué)設(shè)計

（一）初步感知，建立表象

學(xué)生齊讀課題：長方體和正方體的認(rèn)識。

師：長方體和正方體形狀的物體在生活中隨處可見。瞧，屏幕中哪些物體是正方體形狀，哪些物體是長方體形狀（學(xué)生結(jié)合實(shí)際物體指認(rèn)）？

師：生活中還有哪些物體是正方體或長方體形狀的？

生：快遞包裝盒既有長方體又有正方體。

師：指認(rèn)長方體和正方體我們早在一年級就學(xué)過，今天我們來進(jìn)一步認(rèn)識它們。

（二）多元感知，認(rèn)識長方體的特征

1.切物成體，認(rèn)識長方體的要素

師：老師這里有一個土豆，我們把它切成一個長方體。請你用數(shù)學(xué)眼光觀察，沿著豎直的方向切一刀下去，此時產(chǎn)生一個——平面（板書面）。

師：把平面向下，再豎直切一刀，此時你有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：又產(chǎn)生一個新的面和一條邊。

師：這條邊在哪里？請指出來。它是怎么產(chǎn)生的？

生：在兩個面相交處。

師：像這樣，兩個面的相交線叫作“棱”（板書棱）。

師：繼續(xù)切第三刀，此時你又有什么新的發(fā)現(xiàn)？

生：又產(chǎn)生了一個新的面，兩條新的棱，還多了一個點(diǎn)。

師：這個點(diǎn)在哪里？請指出來。這個點(diǎn)是有幾條棱相交而成的？

生：在三個棱相交處。

生：像這樣，三條棱相交的點(diǎn)叫作“頂點(diǎn)”（板書頂點(diǎn)）。

師：如果繼續(xù)這樣再切三次，就會切成一個長方體。

2.用眼觀察，整體感知要素的數(shù)量

師：我們在切長方體的過程中，認(rèn)識了長方體的各部分名稱。請拿出準(zhǔn)備的長方體物體，先獨(dú)立看一看、數(shù)一數(shù)長方體分別有幾個面，幾條棱，幾個頂點(diǎn)，然后和身邊同學(xué)交流你是怎么數(shù)的。

生：長方體有6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)。

師：長方體有6個面，你能利用你手中的長方體數(shù)給大家看看嗎？12條棱，8個頂點(diǎn)呢？

3.動手操作，認(rèn)識長方體各要素間的關(guān)系

（1）搭一搭，探究棱和棱、棱和頂點(diǎn)之間的關(guān)系

師：請拿出材料盒，選擇合適的材料，4人一小組搭一個長方體，看看長方體還有什么特征。

學(xué)生每4人一個小組，各準(zhǔn)備一個材料盒，里面有若干根小棒和接頭。

【活動要求】

搭一搭：小組合作搭一個長方體的框架。

數(shù)一數(shù)：搭建長方體一共用了多少根小棒？有幾種顏色？分別是多少根？

看一看：相同顏色的小棒擺放的位置和長短之間有什么關(guān)系？棱和頂點(diǎn)之間有什么關(guān)系？

學(xué)生動手操作，小組討論，全班交流。

師：搭建長方體一共用了多少根小棒？顏色和數(shù)量上你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：有3種顏色的小棒，每種顏色各有4根，一共有12根小棒。

師：相同顏色的小棒擺放的位置和長短之間有什么關(guān)系？

生：相同顏色的棱位置是相對擺放的，它們的長度相等。

師：除此之外你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：不同長度的三條棱交于同一個頂點(diǎn)。

師：通過搭小棒我們知道長方體有12條棱，可以分為三組，相對的棱相等，三條棱交于一個頂點(diǎn)。

（2）補(bǔ)一補(bǔ)，探究面與面之間、面和棱之間的關(guān)系

師：現(xiàn)在給搭建好的長方體補(bǔ)上面，請選擇合適的面補(bǔ)一補(bǔ)，你是怎么選擇的？

生：一共需要6個面，根據(jù)棱的長短確定面的大小。

師：相對的面之間有什么關(guān)系？

生：相對的面相同。

師：你是怎么知道的？

生：棱相等，面相同。

師：在補(bǔ)面的過程中，長方體的面之間、面和棱之間有怎樣的關(guān)系？

生：相對的面相等，面和棱之間有密切的關(guān)系，棱的長短關(guān)系決定面的大小關(guān)系。

師：回顧剛才探究的過程，關(guān)于長方體的特征你知道了哪些？

生：我不僅知道了長方體面、棱、頂點(diǎn)的數(shù)量分別是6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)；還知道了長方體面之間、棱之間、面和棱之間的關(guān)系。也就是長方體相對的面相等、相對的棱相等，因?yàn)橄鄬Φ睦庀嗟龋韵鄬Φ拿嬉簿拖嗟取?/p>

4.動腦想象，發(fā)展空間觀念

師：我們把搭建的長方體畫在圖紙上。如果擦掉一條棱，你還能想象出原來長方體的樣子嗎？再擦掉一些呢？接著擦下去，只保留這樣3條棱呢？

生：可以在頭腦中對長方體進(jìn)行還原。

師：仔細(xì)觀察這三條棱在位置上有什么特點(diǎn)？

生：相交于一點(diǎn)。

師：像這樣相交于同一個頂點(diǎn)的三條棱的長度，水平方向的分別叫作長、寬，豎直方向的叫作高。

（三）自主遷移，認(rèn)識正方體

1.變換圖形，豐富圖形的認(rèn)知

師：在操作中我發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)搭出了一個特殊的長方體。請你說一說你是怎樣搭成這個長方體的？比較一下，這個特殊長方體和剛才的長方體之間有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生：相同點(diǎn)是這種長方體也有12條棱，6個面，8個頂點(diǎn)。相對的面相同和相對的棱相等。不同點(diǎn)是其中上下底面的8條棱相等，豎直方向的4條棱相等；其中上下2個底面都是相同的正方形，前后、左右4個面都是相同的長方形。

師：你是怎樣知道上下8條棱相等，豎直方向的棱相等的？面呢？

生：我們可以結(jié)合操作過程說明棱之間、面之間、棱和面之間的關(guān)系。

2.再次變換，認(rèn)知正方體的特征

師：現(xiàn)在把長方體變化一下，有什么發(fā)現(xiàn)（多媒體動態(tài)演示逐漸變短）？

生：是正方體。正方體有6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)。12條棱都相等，6個面都相同。

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生：12條相等的棱統(tǒng)一叫棱長，正方體的棱長都相等，所以6個面都是相同的正方形。

師：對比長方體和正方體的特征，你認(rèn)為它們之間有怎樣的關(guān)系？

生：正方體是特殊的長方體。

師：如果在這樣一個集合圈里表示長方體，正方體怎樣表示？

學(xué)生畫集合圖如下：

（四）借助想象，發(fā)展空間觀念

1.想象猜物

教師出示練習(xí)：請根據(jù)長、寬、高的數(shù)據(jù)，想象它是什么物體。

（1）長24厘米，寬17厘米，高0.7厘米

A. 《新華字典》 ? B. 數(shù)學(xué)書 C.文具盒

（2）長10米，寬2.5米，高3米

A. 教室 B. 公共汽車 C.立式空調(diào)

（3）棱長是6厘米的正方體

A. 魔方 B. 粉筆盒 C.骰子

2.立面成體

教師出示練習(xí)：一個長6 cm，寬4 cm的長方形，把它向上平移5 cm，你能想象出平移后的立體圖形是什么形狀嗎？

綜上可以看出，單元整體教學(xué)設(shè)計有利于優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)方式，可以將單元零散的知識點(diǎn)串成有序的知識鏈，織成緊密的知識網(wǎng)；有利于提升學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維能力，基于聯(lián)系觀的單元整體教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生思維的深刻性，拓展思維的廣度；有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，通過積極溝通已學(xué)舊知，整合單元知識網(wǎng)絡(luò)，以此促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重建。

課題項(xiàng)目：本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期立項(xiàng)課題“具身認(rèn)知視域下小學(xué)數(shù)學(xué)隱喻性表征的實(shí)踐研究”研究成果。課題編號：2021JY14-L210。

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）