基于信息技術(shù)對小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識培養(yǎng)的路徑探尋

戴厚祥 朱濤

［摘 ?要］ 模型意識是小學(xué)數(shù)學(xué)中一種核心的基本意識，它滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個方面，如運(yùn)算模型、方程模型、幾何圖像模型等。對小學(xué)生而言，他們幾乎每天都在進(jìn)行和模型學(xué)習(xí)有關(guān)的活動。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)（2022年版）”）將“模型思想”更名為“模型意識”，同時明確指出：“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑。”［１］良好的模型意識，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生模型意識的培養(yǎng)被情境、工具等所局限而無法得到有效實(shí)現(xiàn)。文章基于信息化大背景，融合信息技術(shù)手段，以“技術(shù)”助力數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的過程，為培養(yǎng)學(xué)生模型意識提供新路徑。

［關(guān)鍵詞］ 信息技術(shù)；模型意識；建模學(xué)習(xí)；新路徑

一、概念解讀：數(shù)學(xué)模型、模型意識與數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵

（一）數(shù)學(xué)模型

關(guān)于模型，《辭海（第七版）》是這樣描述的：與“原型”相對，即研究對象的替代品。百度詞條注釋為：依照實(shí)物的形狀和結(jié)構(gòu)按比例制成的物品。簡單來說，模型可以大體分為兩類：第一類是實(shí)物模型，常見的如汽車、地球儀、鐘表的模型等；第二類是虛擬模型，也就是為了解釋現(xiàn)象、描述規(guī)律或闡明理論等進(jìn)行的示意性描述，如數(shù)學(xué)模型、天文學(xué)模型、經(jīng)濟(jì)學(xué)模型等。

關(guān)于數(shù)學(xué)模型，存在狹義和廣義的理解。

狹義上看，數(shù)學(xué)模型就是反映事物特征或事物之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。比如，張奠宙認(rèn)為：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是反映特定的問題或事物的數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)［２］。徐利治認(rèn)為：數(shù)學(xué)模型是指參照事物的特征或數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言概括化地表達(dá)出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)［３］。

廣義上看，數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論都可以稱為數(shù)學(xué)模型。張欽在《基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究》中指出：“從廣義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)課程中所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念、命題、圖表等都可以指數(shù)學(xué)模型?！保郏矗?/p>

綜上所述，數(shù)學(xué)模型可以認(rèn)為是為了解決某一問題、達(dá)到某一目的，借助數(shù)學(xué)語言對事物本身的特征或?qū)ο蟮膬?nèi)在關(guān)系進(jìn)行表達(dá)所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型在生活中有著廣泛的應(yīng)用。比如：在認(rèn)識圓柱和圓錐時，學(xué)生借助手邊的圓柱模型進(jìn)行觀察，這是實(shí)體數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用；數(shù)學(xué)課上，教師用計算機(jī)上可以自由拖拽的虛擬的圓柱體給學(xué)生講課，這是虛擬數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用；古人甚至用數(shù)學(xué)模型解決諸如“田忌賽馬”這樣復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題?？梢?，模型存在于數(shù)學(xué)的不同種類的問題之中，有的問題與生活緊密相關(guān)，有的問題較為抽象，需要教師注意“直觀”與“抽象”的關(guān)系。數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與使用不僅可以簡化這些復(fù)雜的問題，還能準(zhǔn)確刻畫某一抽象事物或復(fù)雜事件的過程，進(jìn)而彰顯內(nèi)在的演化規(guī)律，提升學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，幫助學(xué)生搭建數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界溝通的橋梁。

（二）模型意識

模型意識是新課標(biāo)（2022年版）的“十一個核心概念”之一，從原本的“模型思想”更名為“模型意識”，并在初中階段發(fā)展為“模型觀念”。無論是“意識”還是“思想”，它們都強(qiáng)調(diào)“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”。因此，有部分學(xué)者這樣定義：“數(shù)學(xué)模型思想是指用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界所依賴的思想。”這是十年前對于“模型思想”的解釋。不難看出，這種描述的側(cè)重點(diǎn)在于“數(shù)學(xué)語言”。同時，新課標(biāo)（2022年版）中在模型意識和模型觀念中同樣都涉及了數(shù)學(xué)語言。小學(xué)階段常見的數(shù)學(xué)語言包含文字語言、符號語言、圖像語言，它具有簡潔、通用的特點(diǎn)，也正因如此，它為人們提供了與現(xiàn)實(shí)世界交流與表達(dá)的一種獨(dú)有的方式。綜上，筆者認(rèn)為小學(xué)階段的模型意識就是學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題的過程，有意識地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)或描述問題，感悟這種交流方式的意義與價值，逐步養(yǎng)成這種習(xí)慣的一種寶貴的數(shù)學(xué)意識，它也是初中方程、函數(shù)等抽象化的數(shù)學(xué)語言表達(dá)的重要基礎(chǔ)。

（三）數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模不是純粹的解題，它指的是“通過建立模型的方法來求得問題解決的數(shù)學(xué)活動過程”，一個嚴(yán)格的數(shù)學(xué)建模應(yīng)至少包含這樣幾個基本步驟（如圖1）：

結(jié)合實(shí)際，有時數(shù)學(xué)建模無須經(jīng)歷所有的環(huán)節(jié)。值得關(guān)注的是，上述過程中最重要的步驟是從數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)模型這一步，一旦模型建立錯誤，后面將前功盡棄。因而，學(xué)生需要借助過往的經(jīng)驗，在教師的引導(dǎo)下嘗試運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)語言去表達(dá)、描述、解釋等。根據(jù)實(shí)際教學(xué)，教師也可以把上述流程圖簡化為四個步驟（見表1）。

就小學(xué)階段而言，低年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模往往比較形象、具體，容易理解；中、高年級的數(shù)學(xué)建模相對比較抽象，難以理解，需要借助信息技術(shù)幫助建模。

二、現(xiàn)象掃描：數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的思維誤區(qū)

現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，模型意識本身的抽象性、建模過程的復(fù)雜與困難，導(dǎo)致教師難以掌握數(shù)學(xué)建模教學(xué)的要點(diǎn)。教師即使認(rèn)識到了模型意識的重要性，也不知道該如何滲透，即便知道了建模的一般化步驟，也不知道如何規(guī)范地開展教學(xué)，更不知道如何進(jìn)行準(zhǔn)確評估。學(xué)生在這樣的課堂中，“看似學(xué)過了”“掌握了”，卻沒有建立真正的模型意識。從筆者聽課的記錄和查閱知網(wǎng)等80余篇文章來看，當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)存在一些共性問題。

（一）建模情境選擇偏離

建模的起點(diǎn)是情境，因此情境的選擇決定了建模的結(jié)果。在建模的數(shù)學(xué)課堂中，教師都會嘗試嵌入一個情境，而這樣的情境則會面臨一些質(zhì)疑：它是否是真實(shí)的？它能貼合學(xué)生的已知經(jīng)驗嗎？它能否激發(fā)學(xué)生建模的意識？……這些問題其實(shí)都在考驗情境該如何更好地與課堂融合，以實(shí)現(xiàn)模型意識的優(yōu)化。比如筆者在一篇“乘法分配律”的實(shí)錄中看到，教師為了讓學(xué)生理解（50+35）×4和50×4+35×4這兩個算式之間的關(guān)聯(lián)，創(chuàng)設(shè)了如下情境：“上衣50元，褲子35元，李老師買了4件上衣和4條褲子，一共要付多少元？”顯然，學(xué)生在日常生活中自己購買衣服的經(jīng)驗很少，甚至幾乎沒有，因此他們很難把已有經(jīng)驗和問題情境密切聯(lián)系起來。此外，這種脫離學(xué)生生活實(shí)際的情境對學(xué)生來說也毫無吸引力，既無趣又枯燥。

建模的需求性問題關(guān)乎建模思想培養(yǎng)的動力問題，學(xué)生只有對情境感興趣才愿意自主探究。相較于被動解決問題，學(xué)生的自主探究會更為主動且高效。當(dāng)然，情境不能一味地追求激發(fā)學(xué)生的興趣，其內(nèi)容應(yīng)該緊扣模型需要解決的問題或困境，讓學(xué)生能夠自然且順利地在給定的情境下使用數(shù)學(xué)語言。建模情境中最容易被忽視的就是學(xué)生的已知經(jīng)驗。究竟什么樣的情境才真正貼合學(xué)生呢？綜上，筆者認(rèn)為優(yōu)秀的建模情境至少滿足以下要求：情境設(shè)置要“有趣”，能夠調(diào)動兒童建模的動力；情境選擇要“合理”，符合兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，同時兼顧兒童的最近發(fā)展區(qū)；情境內(nèi)容要“關(guān)聯(lián)”，能夠貼合兒童的生活實(shí)際。

（二）建模能力理解失準(zhǔn)

在建模過程中，學(xué)生有了建模的動力后，面臨的最大問題就是不會建模。其中最大的障礙就是學(xué)生的數(shù)學(xué)語言與建?；顒又g的沖突。以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)中的“和差問題”為例：“五年級一班、二班共有學(xué)生100人，一班比二班多6人，則兩個班各有多少人？”這樣的問題會出現(xiàn)在三年級下冊的數(shù)學(xué)書中，往后還有“和倍”“差倍”的問題。從實(shí)際教學(xué)來看，解決這樣的問題一般會經(jīng)歷“分析條件——依據(jù)數(shù)量關(guān)系畫線段圖——列式解答——檢驗答案”的過程（如圖2）。

學(xué)生在此之前已有的經(jīng)驗是蘇教版三年級下冊的“解決問題的策略——畫線段圖”。因此，解決“和差問題”時，需要學(xué)生熟練掌握用線段圖的語言方式來描述此類問題，如果學(xué)生無法想到用線段圖或示意圖來表征，那么他的建模就很難進(jìn)行。相反，有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生在“量”的積累下逐漸實(shí)現(xiàn)“質(zhì)”的完善，最后形成“大數(shù)=（和+差）÷2，小數(shù)=（和－差）÷2”這樣抽象的數(shù)量關(guān)系式，就可以順利完成初步的建模。在進(jìn)行建模教學(xué)中，教師要充分考慮到學(xué)生的已有經(jīng)驗，結(jié)合建模內(nèi)容，讓學(xué)生不僅有話“可”說，還要有話“能”說。

（三）信息技術(shù)水平滯后

打破課內(nèi)外的界限，如何有效運(yùn)用信息技術(shù)建模依然是當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂存在的問題。筆者曾經(jīng)在聽六年級“圓錐的體積”課中就遇到過這樣的“尷尬”。教師在給學(xué)生講解圓錐體積是等底等高的圓柱體積的三分之一時，采用的是倒水實(shí)驗，但在實(shí)驗過程中損耗了一些水，導(dǎo)致實(shí)驗未能成功，部分學(xué)生開始起哄，現(xiàn)場氣氛十分尷尬。其實(shí)這位教師是想通過實(shí)際的操作，讓學(xué)生明白三分之一是怎么來的，不過人為因素導(dǎo)致的誤差反而造成了困擾。數(shù)學(xué)教學(xué)中像這樣的實(shí)物演化的模型不在少數(shù)，因而信息技術(shù)的引入就顯得迫在眉睫，它可以規(guī)避這樣的誤差，達(dá)到理想化的模型。此外，觀察筆者所在地區(qū)當(dāng)前的課堂可以發(fā)現(xiàn)，教師在課堂中使用的信息技術(shù)較為基礎(chǔ)，常見的是用Powerpoint等演示文稿，部分地區(qū)裝備了“金陵微校”這樣的教學(xué)平臺，而像“GSP幾何畫板”這樣的軟件幾乎無人使用。信息技術(shù)的滯后對數(shù)學(xué)建模來說有著不小的影響，筆者認(rèn)為，教育信息化的發(fā)展必然會對數(shù)學(xué)建模教學(xué)起到正向的促進(jìn)作用，這一點(diǎn)在很多高校也得到了驗證，因此，小學(xué)階段要重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)建模的關(guān)聯(lián)性價值。

（四）建模評價方案單一

數(shù)學(xué)建模的結(jié)果最終是要回到真實(shí)情景中加以驗證的，因此模型的正確與否應(yīng)成為評價的重要指標(biāo)之一。但是，同一個情景可能存在不同的數(shù)學(xué)模型，比如：運(yùn)算律中a－（b+c）和a－b－c雖然形式不同，但是都能夠解決同樣的問題，因此在評價建模結(jié)果的時候不能一概而論。小學(xué)階段除了要關(guān)注結(jié)果，更重要的是關(guān)注學(xué)生經(jīng)歷建模過程時的表現(xiàn)，教師需要在建模的每一步給予學(xué)生及時的反饋，以幫助學(xué)生更好地形成模型素養(yǎng)。

三、全面解讀：信息技術(shù)在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的應(yīng)用價值

教師在傳統(tǒng)的建模教學(xué)中幾乎看不到信息技術(shù)的影子。隨著教育信息化的飛速發(fā)展，教育裝備的不斷更新，信息技術(shù)與課堂的融合由淺入深，不僅可以解決技術(shù)上的難題，而且可以加深學(xué)生對知識的理解。小學(xué)階段的教學(xué)重點(diǎn)之一就是要處理好“抽象”與“直觀”的關(guān)系，而信息技術(shù)的可視化特點(diǎn)能夠很好地解決這一問題。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂內(nèi)容常分為“數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實(shí)踐”四大板塊，建模教學(xué)滲透在不同的板塊里，下面筆者將從這四大板塊簡述信息技術(shù)與建模教學(xué)的深度融合價值。

（一）“數(shù)與代數(shù)”：數(shù)形結(jié)合，化抽象為直觀

1. 數(shù)的認(rèn)識

小學(xué)階段的“數(shù)與代數(shù)”主要包含“數(shù)與運(yùn)算”“數(shù)量關(guān)系”兩個方面。“數(shù)”主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等，“運(yùn)算”主要包括算法、算理等；“數(shù)量關(guān)系”主要是用數(shù)或符號表達(dá)數(shù)量之間的關(guān)系，常見的數(shù)量關(guān)系主要運(yùn)用于加法模型和乘法模型。

廣義地看，教師可以把一個分?jǐn)?shù)看作一個高度抽象的模型。以學(xué)生剛認(rèn)識的1/2為例，它的引入在教材中是以一個蛋糕平均分成2塊來呈現(xiàn)的，被分出來的1/2塊蛋糕可以看成是這個分?jǐn)?shù)的直觀模型（或?qū)嵨锬Ｐ停?，它既可以表示一個結(jié)果，也可以表示部分與整體的關(guān)系，但因分?jǐn)?shù)本身過于抽象，所以不利于學(xué)生理解。當(dāng)然，教師也不可能在實(shí)際教學(xué)中讓學(xué)生準(zhǔn)備一個蛋糕分一分，因此，教師一般會讓學(xué)生在學(xué)習(xí)單上畫一畫（如圖3），這是數(shù)學(xué)表征的一種方式。這樣畫一畫雖然可以展現(xiàn)學(xué)生思考的過程，但卻難以展現(xiàn)分出的結(jié)果。若學(xué)生在平板上操作，則很容易地就把圓片一分為二，然后屏幕顯示分開后的蛋糕，從過程到結(jié)果，一目了然（如圖4）。

因此，教師需要在保留分?jǐn)?shù)本質(zhì)屬性的基礎(chǔ)上，把它具象化、直觀化，才能有助于學(xué)生感知。這一點(diǎn)也是新課標(biāo)中強(qiáng)調(diào)的，教師既要處理好知識的直觀呈現(xiàn)方式，又要處理好“直觀”與“抽象”的關(guān)系。而利用信息技術(shù)就可以很好地達(dá)到這樣的效果。以筆者遇到的一道題為例：“一個分?jǐn)?shù)的分子和分母都加上1，分?jǐn)?shù)的大小不變。（ ?）（填×或√）”，單純解決這樣一個問題對于六年級的學(xué)生來說并非難事，他們可以采用下面的方式解答。

舉例子，所以填“×”。歸根結(jié)底，它本身就是一個＞的數(shù)學(xué)模型，但對于小學(xué)生來說，這樣的表達(dá)式太過抽象和復(fù)雜，分母和分子都處在變化之中。因此，筆者引入“GSP幾何畫板”軟件。這款軟件操作起來十分簡便，能夠快速構(gòu)造圖形、函數(shù)圖像等。以大小相同的圓片為例，教師依次輸入分子和分母，會呈現(xiàn)出規(guī)律的結(jié)果（如圖5）。

從圖中可以清晰、直觀地看到隨著分子和分母“同時增加1”，涂色部分的面積在不斷變大，抽象的分?jǐn)?shù)和直觀的圖像巧妙地結(jié)合在一起，做到了真正的“數(shù)形結(jié)合”，同時，學(xué)生經(jīng)歷了這一完整的變化過程，更能感悟這一數(shù)學(xué)模型的規(guī)律價值。同樣的，屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的還有對小數(shù)、百分?jǐn)?shù)等這些數(shù)的認(rèn)識與理解。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)后，形如0.80米所表示的含義、0.001這個小數(shù)的意義等抽象的問題都需要技術(shù)的參與，打破學(xué)生思維的壁壘，突破手工操作的困境，將數(shù)與形建立起聯(lián)系，助力學(xué)生的思維成長。

2. 數(shù)量關(guān)系

小學(xué)階段常見的模型分為加法模型和乘法模型，學(xué)生需要在具體情境中運(yùn)用含有符號的式子解決問題。以乘法模型為例，教師可以在低年級的課堂中這樣引入乘法模型。

（1）趣味情景，引發(fā)思考。

動畫播放：天空下起了小雨，小水滴齊刷刷地落下來，形成了美麗的雨幕。老師用相機(jī)拍了一張照片，請大家欣賞?？墒牵幸恍┬∷尾卦诹藶踉频谋澈?，有一些露在了外面，你能算出有多少小水滴在烏云外面嗎？（出示圖片，如圖6）

（2）深入交流，感知模型。

預(yù)設(shè)：2+2+2=6（加法）；3×2=6或2×3=6（乘法）。

談話：（出示圖7）調(diào)皮的烏云被風(fēng)吹走一部分，又露出一些小水滴，你能根據(jù)這道乘法算式擺一擺嗎？（出示：4×7）明確：每行7個，有4行；每列4個，有7列。

（3）自主探索，應(yīng)用模型。

（出示圖8）將全部的雨滴展示出來，讓學(xué)生像之前一樣用兩種方法在圖上表示算式。

借助課件的動畫演示和交互式白板的體驗，學(xué)生的思維從單一走向開闊。在學(xué)生初步掌握乘法模型后，課件的兩種不同呈現(xiàn)形式讓學(xué)生從兩種角度理解了乘法模型的含義。在最后自由框選小水滴的環(huán)節(jié)中，學(xué)生在數(shù)量關(guān)系的支撐下自由地探索不同的算式。

（二）“圖形與幾何”：動態(tài)演繹，從靜態(tài)到動態(tài)

小學(xué)階段“圖形與幾何”主要包括“圖形的認(rèn)識與測量”和“圖形的位置與運(yùn)動”兩大主題。相較于數(shù)的認(rèn)識，圖形較為直觀、具象。從實(shí)際學(xué)情來看，學(xué)生從實(shí)際物體中抽象出幾何圖形比較輕松，但是對于理解圖形之間的關(guān)系，在某些圖形的特征的認(rèn)識上則存在困難。

1. 圖形的認(rèn)識

以蘇教版五年級上冊“三角形的面積”為例，本節(jié)課的難點(diǎn)之一就是理解和應(yīng)用“蝴蝶模型”（如圖9）。簡單來說，就是在一個梯形內(nèi)，連接對角線，△AOD的面積等于△BOC的面積，這也是小學(xué)階段五大“幾何模型”之一。

簡單分析這個模型可以發(fā)現(xiàn)，要想讓學(xué)生理解這個模型，應(yīng)當(dāng)從“特殊”走向“一般”，即將梯形的上底和下底向兩邊延展，得到兩條平行線，在平行線之間去思考三角形的面積關(guān)系。（出示圖10）引導(dǎo)學(xué)生思考：涂色部分的三角形和哪個三角形的面積相等？為什么？以BC為底，像這樣面積相等的三角形，你還能畫出多少？這些問題旨在引導(dǎo)學(xué)生思考：在這樣的兩條平行線之間畫出來的三角形都是等底等高的，所以面積相等。在畫三角形時利用交互式白板的優(yōu)勢，學(xué)生可以盡情地畫三角形，方便且快捷，在此過程中等底等高的思想被一遍遍地強(qiáng)化，為后續(xù)研究做鋪墊。接著，利用交互式白板的功能，筆者將圖10中的點(diǎn)A設(shè)置為可以在平行線上自由拖動的點(diǎn)，將靜態(tài)的圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)的圖形，在形狀變化中讓學(xué)生思考不變的地方，即面積不變（高不變）。有了這樣的基礎(chǔ)，學(xué)生在理解圖9時就變得游刃有余，繼而可以嘗試在實(shí)際應(yīng)用中借助這個模型去解決一些復(fù)雜的問題。如圖11，學(xué)生可以增添輔助線（虛線），將△ABC的面積轉(zhuǎn)變?yōu)榇笳叫蚊娣e的一半，然后解決問題。巧妙的轉(zhuǎn)化，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生感悟到用模型解決復(fù)雜問題的價值。

2. 圖形的位置

以蘇教版的“用數(shù)對確定位置”為例，圖形的位置，在生活中就是某一事物、建筑物等的位置，它在現(xiàn)實(shí)世界有著廣泛的應(yīng)用。比如2008年北京奧運(yùn)會開幕式上的“活字表演”令人印象深刻，教師可在課上播放相關(guān)視頻，引導(dǎo)學(xué)生思考：猜一猜，張藝謀導(dǎo)演是如何指揮這么多人完成美麗的圖案的？這樣的問題，極大地激發(fā)了學(xué)生的興趣。這是利用信息技術(shù)建立起了認(rèn)知的沖突，學(xué)生在思考這一現(xiàn)象的同時，也在初步感知數(shù)學(xué)模型的存在。

（三）“統(tǒng)計與概率”：明晰意義，透數(shù)據(jù)思本質(zhì)

“統(tǒng)計與概率”是小學(xué)階段的重要內(nèi)容之一，它是學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的基礎(chǔ)，主要包括“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”。其中，平均數(shù)是統(tǒng)計中一個重要的概念模型，在計算平均數(shù)的時候，往往采用“移多補(bǔ)少”的方法。針對這一點(diǎn)，教師可以采取直觀的圖示化表達(dá)，幫助學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。例如：在唱歌比賽中，四位評委打分見表2。

教師用直方圖呈現(xiàn)后，讓學(xué)生在屏幕上拖動，進(jìn)行“移多補(bǔ)少”的操作。結(jié)果如圖12所示：

教師引導(dǎo)學(xué)生將統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)和移動完之后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，明確平均數(shù)是把原始數(shù)據(jù)進(jìn)行“移多補(bǔ)少”處理后的結(jié)果，它是一個虛擬存在的數(shù)，能夠反映這組數(shù)據(jù)的整體水平。有了這樣直觀的體悟，學(xué)生對平均數(shù)背后的統(tǒng)計意義會產(chǎn)生更清晰的認(rèn)知，強(qiáng)化了平均數(shù)的模型意義。

誠然，在計算平均數(shù)的時候還存在“先合再分”的方法，只是一般情況下，教師會把它當(dāng)作計算方法進(jìn)行講解。而有了技術(shù)的支撐，教師可以將這一過程再現(xiàn)，借助方格理解算式的意義（如圖13）。

教師將每一個評委的分?jǐn)?shù)用不同顏色進(jìn)行區(qū)分，把它們先合在一起，然后平均分給4個評委，每個評委得到的分?jǐn)?shù)都不是自己原來的分?jǐn)?shù)，而是平均分出來的結(jié)果——7分，它代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平。信息技術(shù)的支持，能夠幫助學(xué)生深層次地理解平均數(shù)這一模型的本質(zhì)，讓學(xué)生在觀察、操作、比較中感悟“移多補(bǔ)少”和“先合后分”的不同。

（四）“綜合與實(shí)踐”：實(shí)踐檢驗，還建模以生活

“綜合與實(shí)踐”要求學(xué)生在真實(shí)情景中運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決真實(shí)的問題，是模型思想的集中體現(xiàn)。相較于其他領(lǐng)域的內(nèi)容，“綜合與實(shí)踐”因其開放性、綜合性、自主性、應(yīng)用性等，要求教師要格外關(guān)注學(xué)生的主體地位。利用信息技術(shù)打造的智慧課堂可以完全適應(yīng)課程的要求。以蘇教版四年級下冊的“數(shù)字與信息”一課為例，筆者采用“金陵微?！弊鳛榇罱ㄖ腔壅n堂的平臺。

1. 課前推送，掌握學(xué)情

在執(zhí)教“數(shù)字與信息”這節(jié)課之間，筆者利用“金陵微校”平臺給每一位學(xué)生發(fā)送了一份學(xué)習(xí)單，讓學(xué)生先了解自己和父母的身份證號碼、出生年月日，所在地的郵政編碼，家庭住址的編號等，收集生活中常見的數(shù)字信息。

2. 思維參與，理解編碼

課中，筆者和學(xué)生一起交流電話號碼這樣常見的數(shù)字號碼，然后即時發(fā)送火車票、車牌號、郵政編碼三張圖片，組織學(xué)生討論“你知道這些圖片上的數(shù)字和符號表示什么意思嗎”，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)字編碼背后的意義。

3. 游戲體驗，玩轉(zhuǎn)編碼

在探究完身份證號碼所代表的信息后，筆者利用“金陵微?！敝械能浖O(shè)計了“配對”游戲：將小明一家五口的身份證全部打亂，然后一鍵發(fā)送給學(xué)生，讓學(xué)生自己在平板上操作。被打亂的編碼給學(xué)生的認(rèn)知帶來了沖突，由于有了前面正確的認(rèn)識，學(xué)生可以在判斷中強(qiáng)化對編碼順序的理解，從而對整個編碼系統(tǒng)模型有了一個整體的感知。

4. 現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，完善編碼

最后，筆者設(shè)置了一個現(xiàn)實(shí)問題：學(xué)校新進(jìn)了一批圖書，這是書單，如果你是圖書管理員，你打算怎么利用今天學(xué)習(xí)的知識對這些圖書進(jìn)行編碼？說說你的理由。模型最終還是要回到現(xiàn)實(shí)生活中去檢驗，但是考慮到小學(xué)生的生活經(jīng)驗不足，教師就鼓勵學(xué)生展開思考與設(shè)計，并同時將最終的結(jié)果和現(xiàn)實(shí)的結(jié)果進(jìn)行對比即可。

五、結(jié)語與未來展望

建模在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中無處不在，幾乎每一節(jié)課中都存在建模的學(xué)習(xí)活動。信息技術(shù)憑借自己的優(yōu)勢可以優(yōu)化建模情境、優(yōu)化建模過程、突破建模難點(diǎn)、優(yōu)化建模方式、促進(jìn)建模評價等，而這些都是傳統(tǒng)課堂所無法實(shí)現(xiàn)的。同時，新課標(biāo)（2022年版）中也指出“數(shù)學(xué)建模是一個綜合性的過程”，它的學(xué)習(xí)方式可以從“信息技術(shù)環(huán)境中的學(xué)習(xí)”展開探究。豐富的網(wǎng)絡(luò)資源會讓學(xué)生產(chǎn)生不同的學(xué)習(xí)體驗。而基于信息技術(shù)環(huán)境的學(xué)習(xí)方式則是更加深度的融合，它影響著建模學(xué)習(xí)的每一步。本文通過小學(xué)數(shù)學(xué)四大板塊中信息技術(shù)全面參與建模教學(xué)的實(shí)例分析其價值與策略，具有重要的、一定的普適意義。但針對如何從學(xué)生“學(xué)”的路徑分析建模的過程，筆者后續(xù)將繼續(xù)深入探索。

參考文獻(xiàn)：

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［３］ 徐利治. 數(shù)學(xué)方法論選講［Ｍ］.武漢：華中理工大學(xué)出版社，２００１.

［４］ 張欽.基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究［Ｄ］. 淮北師范大學(xué)，２０１５.