基于學習路徑分析的“平均數”單元整體教學

劉賢虎 章勤瓊

【摘 要】平均數這一學習單元的核心目標是理解平均數的意義以及感悟平均數的特性。平均數作為重要的代表量，其描述功能是建立在“代表”的意義之上的，即用于刻畫一組數據的集中程度，表達總體的集中狀況，在此基礎上，讓學生深刻理解平均數概念并進行運用。基于以上理解，教師對“平均數”的單元目標和學生起點進行分析，并設計了相應的學習路徑與學習任務。

【關鍵詞】學習路徑；平均數；代表量；統計

“統計與概率”是義務教育階段數學學習的重要領域之一，在小學階段包括“數據分類”“數據的收集、整理與表達”和“隨機現象發生的可能性”三個主題。其中“數據的收集、整理與表達”包括數據的收集和用統計圖表、平均數、百分數表達數據。借助生活中大量數據蘊含著的有價值的信息，利用統計圖表和統計量呈現和刻畫這些信息，讓學生形成初步的數據意識，是《義務教育數學課程標準（2022年版）》一以貫之的教學要求。

具體到平均數，它是小學階段要學習的兩個重要統計量中的一個。如何幫助學生建立對平均數的認識，凸顯其作為統計量的描述功能，實現學生對平均數的理解？下面，筆者基于對學習路徑的分析，對“平均數”這一學習單元進行整體思考和把握。

一、理解單元目標

（一）單元內容概述

平均數在北師大版教材和人教版教材中都不是單獨的單元，而是與條形統計圖等內容混合編排。下面將平均數作為一個學習單元進行對比分析。人教版教材只在四年級下冊集中編排平均數，將平均數和復式條形統計圖整合為一個單元。其中平均數部分的內容包括平均數的意義和求法、用平均數比較兩組數據的總體情況。北師大版教材把平均數分為兩個部分，其中四年級下冊第6單元“數據的表示和分析”將條形統計圖、折線統計圖和平均數編排在一起，安排的是認識平均數，五年級下冊第8單元“數據的表示和分析”將復式條形統計圖與平均數編排在一起，安排的是進一步認識平均數，體會平均數的實際意義。具體教學目標如下。

人教版教材：體會平均數的作用，能計算平均數，能用自己的語言解釋其實際意義。

北師大版教材：了解平均數的意義，會求簡單數據的平均數（結果為整數），能解決簡單的實際問題。進一步認識平均數，體會平均數的實際應用，感受數學與日常生活的密切聯系。

綜上所述，平均數的學習內容和要求主要有三個：理解平均數的意義；掌握計算平均數的方法；體會平均數的實際應用。

（二）單元核心目標

本單元核心目標是理解平均數的意義以及感悟平均數的特性。

首先，平均數作為統計量，同時具備描述功能和推斷功能，在小學階段以描述功能的學習為主，而平均數最重要的描述功能是代表性，是描述一組數據整體水平的良好代表量。“平均數教學要引導學生在熟悉的情境中理解平均數所具有的代表性，通過刻畫一組數據的集中程度表達總體的集中狀況。”因此，只有理解了平均數的代表作用，學生才能真正理解平均數的意義。

其次，是感悟平均數的特性，包括代表性、虛擬性、敏感性、區間性、公平性等。

以上目標都與平均數的“代表性”密切相關。

（三）核心目標具體化

結合以上分析，將核心目標具體化為兩點。一是理解平均數的意義。其主要內涵包含三個水平層次：認識代表量，會用一個數（總數、最高值、平均數等）代表一組數據的水平；會計算平均數，能運用移多補少或求和均分等方法；能用語言準確描述平均數是一組數據整體水平的代表量。二是感悟平均數的特性。具體包括：代表性，平均數代表一組數據的集中趨勢；虛擬性，感受平均數不是實際的值，是均分出來的；敏感性，平均數受每個數據的影響；區間性，平均數介于最大值和最小值之間；公平性，平均數是“移多補少”“求和均分”得到的數。

二、確定學習起點

學生有一定的認知基礎，在第一學段已經理解了平均分及除法運算含義。“平均分”和平均數的意義不同，但計算方法一樣，學生掌握計算方法相對容易。學生也有相關經驗，如以往的期末考試后，教師會介紹班級的平均分。

四年級學生的統計意識比較薄弱，其生活經驗相對膚淺。用統計的意義去理解“平均數”需要有一定的統計意識和一定的生活經驗，由于這兩方面的不足，影響了學生對“平均數”意義的理解。

為此，筆者試圖通過前測對上述情況作進一步的了解。前測主要針對核心目標中的“理解平均數的意義”這一內容，并根據理解平均數的意義的具體目標，制訂評價框架，劃定水平層次，再設計相應的測試題。“如果學習素材研究的數據采用的是一個個體的多次水平，這樣的數據便于在推斷的時候用，如下一次可能有幾個。而在對整體數據的水平描述上，比較合適的是采用一個群體的橫向的數據，而不是一個個體的縱向的數據。”因此，筆者在前測中采用了冬奧會滑雪比賽中不同評委打分的情境。前測題如下所示。

1.蘇翊鳴在單板滑雪男子大跳臺決賽的第二跳，4個評委打分：93、93、94、92。你認為應該用多少表示這一跳的成績？說說你的理由。

2.蘇翊鳴在決賽中的第一跳，4個評委打分：89、89、90、90。你認為應該用多少表示這一跳的成績？說說你的理由。

3.哪一跳的成績更好？寫出你是怎么比較的。

測試題中的第1題、第2題評價學生是否具有代表意識，會用什么數來代表。如果學生選擇用平均數來代表，是否會計算。第3題根據學生選擇的比較方式，如比最高分、平均數、第二跳的最低分與第一跳的最高分或一個一個數比等，及其描述的理由，評價學生是否理解平均數的概念意義。以下是前測結果（如表1）。

從前測結果看出，學生具有一定的“代表”意識，對平均數這個概念有一定的了解，接近25%的學生會求平均數，但絕大多數學生不能理解“平均數”這個概念的意義。

因此，對數據“代表”意識的已有觀念和利用平均分的認知基礎是學生研究平均數的學習起點；對平均數能代表一組數據整體水平的認識和選擇合適代表量是學生的學習難點。

三、分析學習路徑

基于以上分析，筆者對“平均數”的學習路徑做了相應的調整與優化。

首先，認識代表量和平均數。借助比賽中不同評委打分的現實情境，讓學生感受數據，讀懂數據，初步理解數據。接著讓學生嘗試畫出數據，進行數據表達，進一步思考如何用一個數描述比賽成績。有了直觀的感受，借助已有經驗，學生會想到用最高分、總分、出現次數最多的分數、平均分等來代表。最后讓他們借助代表量進行判斷（如圖1）。在此過程中，學生初步認識平均數是一組數據整體水平的良好代表量，學會用移多補少、求和均分等方法計算平均數。

其次，理解平均數的意義和特性。通過比較兩組個數不同的數據，讓學生進一步理解平均數是代表一組數據整體水平的良好代表量，同時體會平均數的虛擬性、區間性、敏感性和公平性，最后進行合理推斷，進而解決問題（如圖2）。

四、單元整體教學的思考

筆者以人教版教材為基礎，從單元整體的視角出發，對平均數的教學做出適當調整，將平均數教學分為兩節課，重點關注平均數的描述功能，適當涉及平均數的推斷功能。

1.將“代表量”作為理解平均數的著力點。學生接觸統計時最先思考的是代表量，“代表”是理解平均數意義的重要基礎，“代表性”也是平均數最重要的特性。人教版教材例1中“求平均每人收集了多少個礦泉水瓶”強調求平均數的方法，不明確是反映“描述”還是“預測”的統計意義。因此，筆者轉而將蘇翊鳴決賽中第二跳和第一跳的評委打分作為學習素材，讓學生用一個數表示這兩跳的成績。具體而言，先讓學生以一個實際存在的樣本來代表整體水平，在充分理解了這個層次的“代表”之后，再去理解實際存在的樣本都不是整體水平的平均數，而需要以一個計算出來的數值來代表平均水平的情況。如此教學，凸顯平均數的描述功能，更符合學生理解平均數的認知規律。

2.將數據理解和數據表達有效結合。解決人教版教材例2中的“踢毽比賽中男、女生隊哪個隊的成績好”這一問題時，要讓學生先理解數據。數據個數相同時，可以選擇不同的代表量進行比較；數據個數不同時，平均數成為代表一組數據總體水平的良好代表量。學生充分經歷數據理解的過程，自然決定選擇平均數進行數據表達，深刻理解平均數的代表性。接著引導學生思考：“增加一名女生，成績一定好嗎？”學生認識到增加一個不同大小的數據帶給整體水平的變化，感悟平均數的敏感性。最后讓學生通過該女生前5次的成績預測下一次的次數，再一次理解數據，進行數據表達，同時感受平均數的推斷功能。

以下為每課時的學習目標、學習任務與實施要點（如表2）。

參考文獻：

［1］章勤瓊.計算平均成績是否合適：小學階段統計量教學的一些思考［J］.教學月刊·小學版（數學），2020（1/2）：95-98.

（1.廣東省東莞松山湖中心小學

2.福建師范大學教育學院）