歸納思維的理論探析及其在小學數學中的應用

陳蒨 徐文彬

【摘 要】歸納思維是數學發現和創造的基本方法，同時也是解決數學問題的重要思想方法。歸納思維是通過對某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結論的思維方法。歸納思維可分為不完全歸納和完全歸納。教師基于對歸納思維的理論探析和小學數學教育教學的實踐，探索了歸納思維在數與代數、圖形與幾何、統計與概率領域的應用。

【關鍵詞】歸納思維；數學思維；小學數學

歸納思維是數學思維的基本方法之一，在數學研究和數學學習中有著豐富且獨特的應用。高斯曾經說過，運用歸納思維可以萌發出極漂亮的新的真理［1］。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在核心素養主要表現部分強調了要“能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論”。由此可見，在數學教學中，歸納思維至關重要。本文將從理論的角度對歸納思維進行深度剖析，并基于教學實踐探析歸納思維在小學數學中的應用。

一、問題的提出

引例：仔細觀察下面的式子，你有什么發現？

6=3+3

8=3+5

10=3+7=5+5

12=5+7

14=3+11=7+7

16=3+13=5+11

……

分析：觀察這些等式，這些等式左邊都是偶數，右邊都是兩個奇質數的和，這就是著名的“哥德巴赫猜想”。1742年，德國數學家哥德巴赫就是運用歸納思維提出了這個著名的猜想：任何一個大于4的偶數都是兩個奇質數之和。

通過“哥德巴赫猜想”這一引例，我們可以看到歸納思維的重要性。其實，數學史上很多假說和猜想都是運用歸納思維提出的，比如著名的“四色猜想”“費馬猜想”“梅森猜想”等。那么歸納思維的內涵究竟是什么？歸納思維有哪些類別？歸納思維在小學數學中又有哪些應用呢？下面將對歸納思維進行理論剖析，并通過數學教學實踐對歸納思維在小學數學中的應用進行探析。

二、歸納思維的理論探析

歸納思維是數學發現和創造的基本方法，同時又是解決數學問題的重要思想方法。下面將從歸納思維的內涵和歸納思維的類別兩方面展開對歸納思維的理論探析。

（一）歸納思維的內涵

歸納思維是通過對某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結論的思維方法。歸納思維的認識依據在于同類事物的各種特殊情形中蘊含的同一性和相似性。［2］116歸納思維具有以下特征：一是歸納思維必須把實踐歸入思維的過程，以各種感性的、具體的材料作為思維的前提，要從具體的、個別的事物中概括出一般；二是歸納思維推出的結論具有或然性，要使之成為可靠的結論需要嚴格的證明和實踐的檢驗；三是歸納思維是個體從感性認識上升到理性認識的工具，個體在感性認識的基礎上，通過歸納思維獲得新概念、新判斷或新理論。［3］

（二）歸納思維的類別

歸納思維有多種分類方法，根據考查對象的范圍是涉及了某類事物的一部分還是全體，可把歸納思維分為兩種類別：不完全歸納和完全歸納。

1.不完全歸納

不完全歸納是根據某類事物的部分對象具有（或不具有）某種屬性而得出該事物的全體也具有（或不具有）這種屬性的思維方法。［2］117其推理形式如圖1。不完全歸納又稱經驗歸納，由于僅根據所考查的部分對象就得出一般性的結論，因此，常常帶有想象、猜測等主觀臆斷的成分，所以得出的結論具有或然性。

不完全歸納是激發創造性思維的基本方法，推動著數學的發現和發明。古往今來，很多數學家都是運用不完全歸納的思維方法來提出猜想的，比如引例中的“哥德巴赫猜想”。小學數學中也經常用到不完全歸納，常見的“找規律填數”就是根據有限項（部分對象）具有的某種共同的屬性，從而運用不完全歸納得出規律，再把得出的規律用到未知項（未知對象）中。此外，不完全歸納在“探索規律（如間隔排列、釘子板上的多邊形等）”“2、3、5的倍數特征”“運算律”“字母表示數”“圖形的性質與特征（三角形/多邊形內角和、三角形三邊關系等）”“可能性”等相關內容中有著廣泛的應用。

2.完全歸納

完全歸納是根據某類事物的每個對象都具有（或不具有）某種屬性而推出該類事物的全體具有（或不具有）這種屬性的思維方法。［2］118完全歸納的推理形式如圖2。由于這一思維方法考查了某類事物的所有對象或一切特殊情況，所以得出的結論必定是正確的，因而是一種嚴格推理。

完全歸納有助于概括和證明，能得到正確的結論。上面提到的“四色猜想”就是運用完全歸納證明的。［4］小學數學中用到的完全歸納比較少，主要與分類討論相結合。比如，要得出“兩個加數奇偶性相同，和一定是偶數”這一結論，便可以分為兩類分別討論，一類是“兩個加數均為奇數，和一定是偶數”，另一類是“兩個加數均為偶數，和一定為偶數”，如此便可運用完全歸納得出結論。

特別要指出的是，不完全歸納和完全歸納都屬于歸納推理，只是推理的強度不同。而“數學歸納法”雖然名字里面有歸納，但它并不屬于歸納推理，而屬于演繹推理。原因有二：其一，完全歸納不能用于無窮集合；其二，數學歸納法是典型的三段論，其基礎是自然數列的性質，也就是皮亞諾公理中提到的自然數的后繼性［5］。

三、歸納思維在小學數學中的應用

數學家舒爾指出，在數學研究中，歸納思維起著重要的作用。［6］波利亞也提出，數學是學習歸納思維最合適的材料。［7］由此可見，歸納思維能推動數學的發展，數學的學習也能推動個體歸納思維的發展。小學數學中滲透著很多有關歸納思維的內容，下面將從數學教學實踐的角度，討論歸納思維在“數與代數”“圖形與幾何”和“統計與概率”領域的應用。

（一）“數與代數”領域的應用

小學數學中，“數與代數”領域中很多內容都滲透著歸納思維，較為典型的有“探索規律（如找規律填數、間隔排列、有趣的乘法計算等）”“運算律”“2、3、5的倍數特征”“用字母表示數”等相關內容。下面以“間隔排列”為例進行分析說明。

課例1：間隔排列

蘇教版教材三年級上冊《間隔排列》是一節探索規律的課。圖3呈現了小兔與蘑菇、木樁與籬笆、夾子與手帕的排列。觀察每排兩種物體的排列，它們有什么特點？比較每排兩種物體的數量，你有什么發現？

【教學片段1】

師：請大家說一說你的發現。

生：小兔的只數比蘑菇的個數多1，木樁的根數比籬笆的塊數多1，夾子的個數比手帕的塊數多1。

師：還有補充嗎？這三組數據有沒有什么共同點？

生：每排第一種物體都比第二種物體多1。

師：是啊，反過來，每排第二種物體都比第一種物體少1。也可以說，每排兩種物體的數量相差1。

師：每排兩種物體的數量為什么會相差1呢？

……

教學分析：教學片段1呈現了“探索間隔排列規律”的學習過程。可以看到，間隔排列規律的初步得出需要學生對三組數據進行觀察、分析，基于三組數據的共同屬性，運用不完全歸納來思考。《間隔排列》這節課體現了歸納思維和演繹思維的結合。在教學片段中，僅根據三組數據運用不完全歸納得出的“每排兩種物體的數量相差1”這一結論不一定是正確的，還需要通過演繹思維來驗證或證明。于是教師及時追問“為什么兩種物體的數量會相差1”，引導學生進一步思考，并讓他們用圈一圈、連一連等操作把兩個相鄰的不同物體看成一組，結果最后有1個多余，從而證明了這一結論的正確性。這節課的教學就是要引導學生通過歸納思維來發現規律，再通過演繹思維來證明規律，這是數學發現與發明的重要方法。

（二）“圖形與幾何”領域的應用

小學數學中，“圖形與幾何”領域也有很多內容的教與學都需要運用歸納思維，比較典型的有“圖形與幾何”中的“規律（如釘子板上的多邊形、表面涂色的正方體等）”“圖形的特征與性質（如三角形三邊關系、三角形/多邊形的內角和）”等相關內容。下面以“三角形的內角和”為例進行分析說明。

課例2：三角形的內角和

蘇教版教材四年級下冊“三角形的內角和”中，教材呈現了一個例題的主題圖（如圖4）。這個內容旨在引導學生探究三角形的內角和。

【教學片段2】

師：今天我們一起來研究三角形的內角和。我們可不可能研究完所有三角形的內角和是多少？你認為要研究三角形的內角和，只需要研究哪幾種三角形的內角和就可以了？

生：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。

（教師引導學生通過量一量、算一算等活動，分別研究提供的直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內角和。）

（生提出猜想：三角形的內角和都是180°。）

師：怎樣驗證大家的猜想？

（小組合作，運用不同的方法驗證并交流。學生提出度量驗證、剪拼驗證、折拼驗證等方法。）

師：剛才大家驗證了那么多不同的三角形，有沒有窮盡所有不同的三角形？

生：沒有。

（教師借助幾何畫板演示，任意變化三角形驗證其內角和。最后，教師介紹帕斯卡的證明方法。）

教學分析：“三角形的內角和”這一內容充分體現了歸納思維的應用。第一，把三角形分成直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形來研究體現了完全歸納的思維。第二，在量一量、算一算等活動中提出猜想“三角形的內角和是180°”，這個過程充分運用了不完全歸納的思維。第三，全班通過度量、剪拼、折拼等方法驗證不同的三角形，雖然驗證了四五十個不同的三角形，但仍然是極其有限的，對猜想的驗證仍然屬于不完全歸納。第四，利用幾何畫板任意拖動三角形的頂點改變其形狀、大小，不管如何變化，三角形的內角和始終為180°，這樣驗證的不同三角形的個數從有限趨向于無限，歸納思維的運用也從不完全歸納趨向于完全歸納，因此更加有說服力。第五，帕斯卡的證明是嚴謹的數學證明，屬于演繹推理，能完全證明猜想的正確性。這一內容的教學，既滲透了歸納思維，又滲透了演繹思維，歸納思維用于發現結論，演繹思維用于證明結論的正確性。

（三）“統計與概率”領域的應用

邏輯學指出，概率通常是指應用于推理的歸納概率。［8］賴欣巴哈關于概率基礎的描述指出，概率被定義為無限一般事件序列的性質，由于不知道無限事件序列的極限，所以只能根據這些序列的有限初始段進行歸納推理，從有限推斷無限。［9］所以概率中體現著歸納思維。小學數學中，“統計與概率”領域中“隨機現象發生的可能性”這部分內容中滲透著概率，同樣也滲透著歸納思維。下面以《可能性》為例分析歸納思維的應用。

課例3：可能性

蘇教版教材四年級上冊《可能性》中，教材呈現了兩道例題的主題圖（如圖5）。《可能性》這一課引導學生在摸球、摸牌等游戲中認識可能性，感受可能性有大有小。

【教學片段3】

（教師組織全班學生分小組進行摸牌游戲，學生匯報后用表格呈現各小組數據。）

師：仔細觀察每個小組的摸牌結果，結合你們組摸牌的情況，說說你的想法。

生：每個小組都是摸到紅桃的次數多，說明摸到紅桃的可能性大。

生：每個小組摸到紅桃的次數都差不多是摸到黑桃次數的3倍，所以摸到紅桃的可能性是摸到黑桃可能性的3倍。

師：為什么摸到紅桃的可能性會比摸到黑桃的可能性大呢？

……

教學分析：《可能性》一課體現了歸納思維的應用。教學片段3中呈現的是摸牌游戲的教學過程。在全班學生參與摸牌游戲后，得到每個小組摸到紅桃、黑桃的數據并以表格的形式呈現，引導學生觀察數據再說想法，這一過程其實就是引導學生根據各小組的數據，通過歸納思維得出關于可能性大小的判斷。要注意的是，這種根據歸納思維得出的結論只是學生對可能性大小的一種初步的感知，所以教師一定要追問“為什么摸到紅桃的可能性比摸到黑桃的可能性大”，以此來引導學生進一步說理。這種歸納思維與演繹思維的結合能讓學生對可能性有更加清晰的認識，也為后續概率的學習奠定了基礎。

小學數學中歸納思維的應用是比較淺層次的，大多是不完全歸納。盡管如此，歸納思維仍然發揮著巨大的作用，學生通過觀察、歸納去探索、發現甚至創造。數學課堂中歸納思維的應用還進一步促進了學生歸納思維的發展，同時結合演繹思維對歸納結果進行驗證、證明，還發展了學生的理性精神和科學精神。當然，數學思維的發展應貫穿于個體數學學習的全過程、全階段，甚至人的一生。希望本文對歸納思維的理論分析和實踐探索能給廣大數學教育工作者帶來一些啟發。

參考文獻：

［1］波利亞.數學與猜想：數學中的歸納和類比（第一卷）［M］.李心燦，王日爽，李志堯，譯.北京：科學出版社，2001：64.

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［3］侯敏義.數學思維與數學方法論［M］.長春：東北師范大學出版社，1991：83.

［4］戴維斯，赫什，馬奇索托.數學經驗：學習版［M］.王前，譯.大連：大連理工大學出版社，2013：343.

［5］胡重光.數學歸納法與匹亞諾公理［J］.數學理論與應用，2005（4）：152-154.

［6］鄭毓信.數學思維與小學數學［M］.南京：江蘇教育出版社，2008：53.

［7］周春荔.數學思維概論［M］.北京：北京師范大學出版社，2012：72.

［8］任曉明，熊立文，黃閃閃，等.歸納邏輯教程［M］.天津：南開大學出版社，2012：47.

［9］黃海，桂起權.漢斯·賴欣巴哈概率歸納邏輯思想的再解讀［J］.自然辯證法研究，2020，36（11）：92-98.

（1.南京師范大學課程與教學研究所

2.江蘇省常州市武進區實驗小學）