變式教學法在體系幾何組成分析教學中的應(yīng)用

喬朋　馬乾瑛　何俊　邢國華

摘要：在結(jié)構(gòu)力學課程平面體系幾何組成分析教學中發(fā)現(xiàn)，學生對部分關(guān)鍵概念掌握較差，影響幾何組成分析的解題正確率。為強化學生對幾何組成分析相關(guān)概念的理解，基于知識可視化和認知負荷理論，提出利用結(jié)合圖示的概念性變式教學法對虛鉸、鉸結(jié)三角形和二元體等概念進行講解的教學方法。在總結(jié)學生以往錯題的基礎(chǔ)上，增加三個概念的非概念變式和概念變式圖，可降低學生學習概念時認知負荷，促進形成長時記憶，從而使學生在學習概念初期能多角度理解概念的本質(zhì)特征、辨析概念的內(nèi)涵和外延。通過調(diào)查學習效果發(fā)現(xiàn)，結(jié)合概念性變式教學法可提高學生對體系基本組成分析重要概念的掌握程度，有助于正確地進行體系幾何組成分析。此外，概念性變式還可以培養(yǎng)學生的獨立概括概念特征的思維能力。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學；體系的幾何組成分析；變式教學法；概念性變式

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1005-2909（2023）02-0142-08

體系的幾何組成分析是結(jié)構(gòu)力學課程的重要組成部分。一方面，通過體系的幾何組成分析，可確定體系的幾何構(gòu)造是否合理、承受荷載時是否能保持幾何形狀不變。另一方面，幾何組成分析和結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析關(guān)系密切，在結(jié)構(gòu)受力分析和計算時進行幾何組成分析有助于選擇正確的計算方法和簡捷的解題途徑［1］。對學生來說，此章節(jié)的內(nèi)容和分析方法比較獨立，且概念性、技巧性較強，屬于結(jié)構(gòu)力學課程開篇的難點。關(guān)于體系幾何組成分析規(guī)則的理解和分析技巧、瞬變體系分析等，魯彩鳳等［2-6］進行了專門研究并分享了教學經(jīng)驗。在傳統(tǒng)教學過程中，教師重點對幾何組成規(guī)則、分析技巧進行講解，但在學生作業(yè)和測驗的非難題中仍有不少錯誤。通過分析發(fā)現(xiàn)，學生對幾何組成分析中一些關(guān)鍵概念的理解并不透徹，從一定程度上影響了學生對幾何組成規(guī)則的應(yīng)用和幾何組成分析方法的掌握，這些問題如不能有效解決將對后續(xù)結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析方法學習產(chǎn)生不利影響［7］。為加強學生對幾何組成分析相關(guān)概念的理解，

教學過程中使用了變式教學法，重點對幾何組成分析的幾個關(guān)鍵概念進行多角度解釋，以幫助學生理解概念，從而能夠更合理、更準確地應(yīng)用幾何組成分析規(guī)則和技巧。

一、結(jié)合圖示的變式教學法

（一）變式教學法

“變式”教學 ［7］是指，在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征。目的在于使學生了解事物的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，從而對事物形成科學概念。

在中國，變式教學法較早運用于概念的教學。在20世紀80年代，學者結(jié)合數(shù)學教學實踐對變式教學進行了系統(tǒng)、深入的實驗研究與理論分析［7-9］。研究表明，概念性變式有助于學生準確把握思維技能方法。概念性變式是依托變異理論，通過對概念的多角度理解促進對概念的確切掌握，可分為概念變式和非概念變式［10］。“概念”是人類在認識事物的過程中，把所感知的事物的共同本質(zhì)特點抽象出來并加以概括，形成概念式思維慣性。在概念描述中，必然會包含某一個或多個表示共同特點的部分，這些共同特點是判別本概念的重要依據(jù)，可稱為“關(guān)鍵特征”。相應(yīng)地，可將不屬于“關(guān)鍵特征”的其他特點成為“非關(guān)鍵特征”。概念變式是指關(guān)鍵特征不變而非關(guān)鍵特征改變的變式，用來引入概念和突出概念的本質(zhì)屬性。非概念變式則是關(guān)鍵特征改變的變式，用來解釋概念的對立面從而明確概念的外延［7］。圖1為數(shù)學中“圓的直徑”的概念性變式示例。其中，基本概念中包含“通過圓心”和“兩個端點在圓周上”這兩個關(guān)鍵特征，對應(yīng)的典型形式給出了最常見的直徑圖示。非概念變式是不滿足其中一個關(guān)鍵特征的錯誤示例，包括不通過圓心和不是兩個端點都在圓周上的情況。而概念變式為非關(guān)鍵特征的變化，即直線雖然不是水平直線、豎直或斜向，但在滿足過圓心和兩個端點都在圓周上的情況下仍是圓的直徑。

概念性變式引入直觀或具體的變式，可建立感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系。通過概念變式可突出概念的本質(zhì)屬性，通過非概念變式使概念的內(nèi)涵更加明確、外延更加清晰。盡管變式教學源于數(shù)學教學，但其思維方法也適用于物理、化學、力學等自然科學學科。變式教學形式上是在對知識進行有層次的深入加工，在獲得知識的同時提升了知識加工的能力和思維能力。通過變式教學，可促進思維技能遷移，其中的概念性變式有助于學生對思維技能方法的準確、透徹把握。

（二）知識可視化

知識可視化是用來構(gòu)建、傳達和表示復雜知識的圖形、圖像手段。應(yīng)用知識可視化可以在傳輸知識的過程中幫助學生正確地重構(gòu)、記憶和應(yīng)用知識。知識可視化常利用圖像或圖示來提高知識的有效傳播，從而提高學生學習效率。它的實質(zhì)是將內(nèi)隱知識或隱性知識外顯化，將外顯知識生動化。文字和圖示是兩種本質(zhì)不同的知識表征系統(tǒng)。從心理學上看，若僅用文字這種較抽象的方式描述一種概念，并不利于學生對知識的理解。而通過圖示將知識可視化，可以更直觀、更具體地讓學生通過視覺形式來理解事物，因為圖畫是人類表征知識最原始的模式，人類通過視覺接收的知識占80%以上。

在結(jié)構(gòu)力學教材中，介紹一個新的概念時，往往會在語言文字表述的同時也給出對應(yīng)的圖示，這有助于學生理解初次接觸的概念。然而，教材中一些較抽象、特征較多的概念僅有一種典型圖示，可使學生淺層次的了解概念，并不能保證學生對其他符合概念特征的非典型圖示的理解與應(yīng)用。因此，結(jié)合概念的變式教學法特點，提供與概念變式和非概念變式的文字說明相對應(yīng)的各種圖示，可以在應(yīng)用新的概念進行幾何組成分析之前就向?qū)W生展示出不同情況的概念應(yīng)用，更有效的向?qū)W生傳達知識，便于學生對新概念的記憶和理解。

（三）認知負荷理論

認知負荷是表示處理具體任務(wù)時加在學習者認知系統(tǒng)上的負荷多維結(jié)構(gòu)。根據(jù)認知負荷理論，工作記憶是信息加工的唯一場所，其容量小，只能同時存儲7個或加工2～3個信息單元［11-12］。認知負荷主要包括三類，即內(nèi)在認知負荷、外在認知負荷和相關(guān)認知負荷。內(nèi)在認知負荷是指工作記憶對認知任務(wù)本身所包含的概念或規(guī)則等基本成分信息元素的數(shù)量及其交互性進行認知加工活動所產(chǎn)生的負荷。當在工作記憶中同時加工處理的信息單元越多時，產(chǎn)生的內(nèi)在認知負荷就越高。外在認知負荷是指超越內(nèi)部認知負荷的額外負荷，主要為信息的呈現(xiàn)方式不當增加的負荷部分。如果采用了不恰當、不合理的教學設(shè)計，會導致學習者發(fā)生與認知加工過程沒有直接關(guān)聯(lián)的活動，從而施加給工作記憶不必要的負荷，這屬于外在認知負荷。一般認為前兩類認知負荷不能促進圖式構(gòu)建或認知形成，屬于無效認知負荷。相對而言，相關(guān)認知負荷則是有效認知負荷，指的是工作記憶對認知任務(wù)進行實質(zhì)性認知操作而承受的負荷，用于知識的重組、抽象、比較和推理等更高級有意識地認知加工。

結(jié)構(gòu)力學教學過程中，教學設(shè)計應(yīng)以提高學生的認知效率為準則，有效管理三種認知負荷，合理科學降低內(nèi)在和外在認知負荷，提高相關(guān)認知負荷，使學習者所承受的三種負荷之和不超過其工作記憶的總負荷。在介紹體系幾何組成分析的相關(guān)概念時，新的概念往往與先修課程中的概念有密切關(guān)系，但又存在新的要求或特征，教學中應(yīng)使學習者充分理解并強調(diào)新概念中的重要特征。理解新概念中的重要特征并學會應(yīng)用概念分析問題的負荷，屬于內(nèi)在認知負荷。為便于學習者理解概念，課堂教學中除了對概念進行文字描述，還輔以圖片呈現(xiàn)，再加上教師的講解，包括了多種呈現(xiàn)方式，需要合理設(shè)計課件和講授過程才能保證不過多地增加外在認知負荷。在教學過程中達到教學目標的關(guān)鍵在于如何增加相關(guān)認知負荷。

變式教學法在介紹概念、展示關(guān)鍵特征的同時，給出概念的外延和內(nèi)涵，可有效幫助學生辨析概念的本質(zhì)屬性；同時，教學中科學應(yīng)用圖示、利用知識可視化、提供變式概念和非變式概念的圖示，可使學生更容易理解教學內(nèi)容，能增加學生學習過程中的相關(guān)認知負荷。變式教學法在介紹典型形式的同時，需要學習者了解其對應(yīng)的概念變式和非概念變式的相關(guān)內(nèi)容，會使內(nèi)在認知負荷有所升高。但只要增加的變式教學內(nèi)容能使學習者通過自動化提取已經(jīng)掌握的長時記憶內(nèi)容，可以在增加相關(guān)認知負荷的同時使得內(nèi)在認知負荷增加的壓力控制在有限范圍內(nèi)，從而有效降低總的認知負荷。總之，結(jié)合圖示的變式教學法可以使學生學習新的力學概念時降低工作記憶的負荷，從而幫助學生提高學習效率、掌握新知識。

二、體系幾何組成分析的問題及原因分析

結(jié)構(gòu)力學課程中，體系的幾何組成分析包含較多抽象的力學概念，如幾何可變體系、幾何不變體系、剛片、體系的自由度、不同類型的約束等。有些概念是在理論力學和材料力學課程中要求學生熟練掌握的，有些則屬于課程出現(xiàn)的新概念。在本單元的傳統(tǒng)教學過程中，通常以幾何組成規(guī)則、規(guī)則應(yīng)用的技巧和注意問題為重點講授內(nèi)容，對出現(xiàn)的新概念一般不作過多的講解和針對練習。但從學生作業(yè)或考試相關(guān)情況來看，不少學生對虛鉸、鉸結(jié)三角形和二元體等新概念的理解存在問題，導致規(guī)則應(yīng)用或分析過程出現(xiàn)錯誤。部分學生作業(yè)的錯誤示例見表1。

認知心理學的圖式理論認為，人們根據(jù)先前反應(yīng)或經(jīng)驗進行積極組織，促使頭腦中存在對外在事物的結(jié)構(gòu)性認識，這種存在于記憶中的認知結(jié)構(gòu)或知識結(jié)構(gòu)稱為圖式。圖式包括對所認識的對象特點以及相互關(guān)系的認識，這種認識是對反復出現(xiàn)的情況概括認識，省略了細節(jié)而概括了一些相似情況的共同特點［13-14］。簡單地說，圖式是對一個整體的抽象。

結(jié)構(gòu)力學課程中，學生對虛鉸、二元體、鉸結(jié)三角形等概念的學習和理解，就是在學習者腦中形成圖式的過程。要使學生真正理解這些概念，形成圖式，就必然經(jīng)過辨識每個概念中的細節(jié)和關(guān)鍵特征，并通過與其他不符合關(guān)鍵特征的對象進行對比分析的學習過程。最終，在學生大腦中形成一種可重復的認知模式或結(jié)構(gòu)單元，即為圖式。圖式的形成，可以幫助學生建立一種模塊化、自動化且穩(wěn)定的認知過程，這種通過大腦分析、記憶編碼形成穩(wěn)定的知識屬于記憶中的“長時記憶”。簡單地說，一旦圖式形成即可建立一個概念的長時記憶，學生再次遇到這個概念時大腦會自動或流程式地找到對應(yīng)圖式，并快速作出判斷。但是，圖式在沒有“自動化”之前是不穩(wěn)定的，需要通過變換情境使學習者加強學習。一般情況下，僅學習教材上的概念，多數(shù)學生并不能形成穩(wěn)定的圖式，這種不穩(wěn)定體現(xiàn)為表1中學生作業(yè)中常見的錯誤題目。

因此，結(jié)合變式教學法的特點，作者在教學過程中將概念性變式引入體系幾何組成分析相關(guān)概念的講解，以幫助學生形成穩(wěn)定的圖式，從而更加全面、準確的理解這些概念。

三、體系幾何組成分析的概念性變式教學

（一）虛鉸的概念性變式

虛鉸概念：兩根不相連的鏈桿構(gòu)成的兩剛片之間的連接叫虛鉸。這個概念包括必須滿足的3個關(guān)鍵特征，即“兩根”“不相連”“兩剛片之間的連接”。根據(jù)概念，虛鉸的典型形式、非概念變式和概念變式如圖2所示。

根據(jù)概念，對圖2a中虛鉸的典型形式進行說明：剛片I和II之間由鏈桿1和2連接，且鏈桿1和2不相連，則A為連接剛片I和II的虛鉸。

根據(jù)虛鉸概念的3個關(guān)鍵特征，分別給出不滿足某一個關(guān)鍵特征時的非概念變式，如圖2b—圖2e所示，并分別結(jié)合各關(guān)鍵特征的變化情況進行說明。非概念變式1不滿足“兩根鏈桿連接”剛片的情況，如圖2b所示，剛片I和Ⅱ由3根鏈桿連接，則連接I和Ⅱ的是虛鉸A和鏈桿3，或虛鉸B和鏈桿1，不能認為是兩個虛鉸或僅有一個虛鉸。非概念變式2不滿足“兩根鏈桿不相連”的情況，如圖2c所示。鏈桿1、2連接在一起（交于點A），則連接剛片I和Ⅱ的是實鉸A，不是虛鉸。非概念變式3和非概念變式4不滿足“兩剛片之間的連接”的情況，如圖2d、2e所示。其中，圖2d中鏈桿1和2不是剛片I和Ⅱ之間的（直接）連接，則A不是虛鉸；圖2e中鏈桿1連接剛片I、II，鏈桿2連接剛片I、III，不是兩個相同剛片之間的連接，兩根鏈桿不是兩個剛片之間的連接，則A不是虛鉸。

最后，圖2f是虛鉸的概念性變式。剛片I和Ⅱ之間由鏈桿1和2連接，鏈桿1和2平行，交點A在無窮遠處，則連接剛片I和Ⅱ的虛鉸A在無窮遠處。雖然和典型圖示存在不同之處，但3個關(guān)鍵特征完全滿足，屬于虛鉸。

（二）鉸結(jié)三角形的概念性變式

鉸結(jié)三角形概念：三根鏈桿由不共線的三個鉸兩兩連接，組成的體系為鉸結(jié)三角形。這個概念包括必須滿足的3個關(guān)鍵特征，即“三根鏈桿”“不共線”“三個鉸兩兩連接”。根據(jù)概念，鉸結(jié)三角形的典型形式、非概念變式和概念變式如圖3所示。

根據(jù)概念，對圖3a中鉸結(jié)三角形的典型形式進行說明：鏈桿1、2、3由3個鉸兩兩連接，其中鉸A連接1和2，鉸B連接2和3，鉸C連接1和3，且三個鉸不共線，則三角形ABC為鉸結(jié)三角形。

根據(jù)虛鉸概念的3個關(guān)鍵特征，分別給出不滿足某一個關(guān)鍵特征時的非概念變式，如圖3b-3d所示，并分別結(jié)合各關(guān)鍵特征的變化情況進行說明。非概念變式1不滿足“三根鏈桿”的情況，如圖3b所示，4根桿由4個鉸連接，即使AD、BD共線，看似形成三角形圖形，但三角形ABC不是鉸結(jié)三角形。非概念變式2不滿足“不共線”的情況，如圖3c所示，鉸A、B、C在一條直線上，三角形面積蛻化為零，這時圖形ABC不是鉸結(jié)三角形。非概念變式3不滿足“三個鉸兩兩連接”的情況，如圖3d所示，桿件1、3之間是由剛結(jié)點C連接的，則三角形ABC不是鉸結(jié)三角形。

最后，圖3e、3f給出的是鉸結(jié)三角形的概念性變式。圖3e中，桿1和3由鉸C連接，雖然鉸C不在桿1的端部，三角形ABC仍可認為是鉸結(jié)三角形。圖3f中，三角形ABC已經(jīng)滿足鉸結(jié)三角形的3個關(guān)鍵特征，這時，如果還有其他桿件與鉸結(jié)三角形的某一個或多個鉸相連，則三角形ABC仍是鉸結(jié)三角形。

（三）二元體的概念性變式

二元體概念：兩根鏈桿（夾角不是180°）一端用鉸連接、另一端與其他部分連接的構(gòu)造，稱為二元體。這個概念包括必須滿足的4個關(guān)鍵特征，即“兩根鏈桿”“夾角不是180°”“用鉸連接”“另一端與其他部分連接”。根據(jù)概念，二元體的典型形式、非概念變式和概念變式如圖4所示。

根據(jù)概念，對圖4a中二元體的典型形式進行說明：鏈桿1、2由鉸B連接，另一端與其他部分連接的體系，且∠ABC≠180°，則構(gòu)造ABC為二元體。

根據(jù)虛鉸概念的4個關(guān)鍵特征，分別給出不滿足某一個關(guān)鍵特征時的非概念變式，如圖4b-4e所示，并分別結(jié)合各關(guān)鍵特征的變化情況進行說明。非概念變式1不滿足“兩根鏈桿”的情況，如圖4b所示，鉸B連接了鏈桿1、2、3共計3根桿，則構(gòu)造ABC不是二元體。非概念變式2不滿足“夾角不是180°”的情況，如圖4c所示，桿1、2由鉸B連接，但∠ABC=180°，則構(gòu)造ABC不是二元體。非概念變式3不滿足“一個鉸連接”的情況，如圖4d所示，鏈桿1、2除了由鉸B連接，還有一根桿3與桿1和2連接，則構(gòu)造ABC不是二元體。非概念變式4不滿足“另一端與其他部分連接”的情況，如圖4e所示，桿1、2通過在B端鉸結(jié)，且在B端與其他部分連接，則構(gòu)造ABC不是二元體。

最后，圖4f為二元體的概念性變式。圖4f中，鏈桿1和2由鉸B連接，另一端與其他部分連接的體系，雖然鉸B不在桿1的端部，構(gòu)造ABC仍是二元體。

（四）變式教學效果分析

體系幾何組成的上述概念對應(yīng)的典型形式一般是教材中普遍在介紹概念后給出的典型示意圖，也是學生最直接記憶或理解的概念典型形式，如果體系分析中出現(xiàn)這種典型圖示，學生一般都能正確判斷。由于體系的形狀和桿件組成方式多種多樣，學生在具體題目中遇到的往往不是概念介紹時的典型形式，如果沒有理解概念的內(nèi)涵和外延，經(jīng)常會出現(xiàn)概念性錯誤，影響體系幾何組成分析規(guī)則的應(yīng)用，進而導致結(jié)果錯誤。以往教學經(jīng)常在學生作業(yè)或測試題中出現(xiàn)錯誤后，在作業(yè)講解或習題課上進行教學反饋，從認知規(guī)律看，不利于知識的掌握。為使學生在學習概念初期就能形成完整深入的理解，可在總結(jié)常見錯題的基礎(chǔ)上，采用變式教學法教授概念，詳細介紹滿足概念要求的其他形式、給出非概念變式和概念變式的圖示，以增強學生對新概念的理解。將概念性變式引入幾何組成分析一章的教學后，學生作業(yè)和考試的錯誤有所減少。為分析教學效果，作者在學期末的教學內(nèi)容掌握情況調(diào)查中對學生掌握體系幾何組成分析一章的情況進行了調(diào)研，要求學生對本章知識點的掌握程度進行主觀評分，總分為5分。不同學年、不同方法的土木工程專業(yè)本科學生學習效果評價如圖5所示。其中，變式教學法為2020年線上、線下混合教學中初次采用變式教學法的學習效果評分。常規(guī)教學1、2、3分別為2020年線上、線下混合教學中2019年和2018年在線下教學中采用常規(guī)教學法的學生學習效果評分。

從圖5數(shù)據(jù)可看出，2020年雖然教師首次采用線上、線下混合教學方法進行結(jié)構(gòu)力學課程授課，由于應(yīng)用了變式教學法，本章知識點掌握程度評分為4.21，高于采用常規(guī)方法教學后的評分，也高于2020年其他未采用變式教學法授課的學生評分，表明該方法有利于學生對幾何組成分析相關(guān)知識點的掌握。

四、結(jié)語

源于數(shù)學教學的變式教學法也適用于結(jié)構(gòu)力學課程教學。在體系幾何組成分析部分課堂教學中，利用概念性變式對出現(xiàn)的新概念進行講授，可以幫助學生在概念學習初期多角度、全方位地理解其本質(zhì)，預(yù)防可能出現(xiàn)的概念錯誤或混淆，促進學生正確、合理地應(yīng)用幾何組成規(guī)則完成體系分析。同時，概念性變式教學，也有利于發(fā)展學生獨立概括概念特征的思維能力，可在結(jié)構(gòu)力學教學中推廣應(yīng)用。

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Application of variation pedagogy in the course of geometric construction analysis

QIAO Peng， MA Qianying， HE Jun， XING Guohua

（School of Civil Engineering， Changan University， Xian 710061， P. R. China）

Abstract：During the teaching of geometric construction analysis in structural mechanics course， it was found that students did not master several key concepts， which may cause mistakes in problem solving. In order to improve the understanding of new concepts， the conceptual variation originating from pedagogy of variation was adopted in class teaching activities， which is based on the theory of knowledge visualization and cognitive load. According to some mistakes in students homework， the graphical representations of essential variation and unessential variation of the concepts， such as virtual hinge， hinged triangle and binary system， were provided to complement the original explanation of the new concepts. Owing to the conceptual variation teaching method， the students cognitive load in learning was reduced and the long-term memory was formed more easily. Finally， the teaching effectiveness was investigated， which shown that the conceptual variation method will help students not only enhance their ability to correctly analyze the geometric construction， but also cultivate their personal perceptual ability.

Key words： structural mechanics; geometric construction analysis; pedagogy of variation; conceptual variation

（責任編輯 鄧 云）

修回日期：2021-05-30

基金項目：長安大學中央高校“雙一流”引導專項項目（300104292804）；教育教學改革項目（300106202801）

作者簡介：喬朋（1982—），男，長安大學建筑工程學院副教授，博士，主要從事鋼結(jié)構(gòu)與組合結(jié)構(gòu)橋梁研究，（E-mail）qiaopeng@chd.edu.cn。