數學家的“數學”墓碑（上）

林革

墓碑是人們用來紀念逝去之人的標志，上面往往記載著墓主一生的經歷與功過。大到帝王將相，小到百姓庶民，去世后使用墓碑供后人景仰或祭奠，并不足為奇；耐人尋味的是，大凡數學家留下的墓志銘都言簡意賅，也最發人深省。下面，就向大家介紹幾位著名數學家的墓碑。

阿基米德的墓碑

阿基米德是古希臘杰出的數學家（圖1），也是舉世公認的最偉大的數學家之一，其貢獻大大超越了他所處的時代，因而在數學史上占有重要地位，他與牛頓、高斯三人同為歷史上最偉大的數學家。值得一提的是，阿基米德對數學的執著贏得了全世界的尊重。

公元前212年，古羅馬軍隊入侵敘拉古（又被譯為錫拉庫薩，在今意大利西西里島）。在阿基米德的傾力相助下，敘拉古城得以堅守三年之久才失陷。城破之時，75歲的阿基米德還在潛心研究畫在沙盤上的幾何圖形。破城而入的羅馬士兵闖入了阿基米德的房間，舉劍向他刺去。在生命的最后時刻，阿基米德還在大喊：“不要動我的圖！”令人遺憾的是，這位粗鄙的羅馬士兵并不認識聲名顯赫的阿基米德，刀劍揮處，偉大的數學家倒在了血泊里。

得知阿基米德被殺，統帥羅馬大軍的將軍馬塞拉斯痛惜萬分，不僅處決了兇手，而且為阿基米德舉行了隆重的葬禮，并建造陵墓，以示敬仰。137年后的公元前75年，時任西西里市政官的著名政治家、哲學家西塞羅游歷敘拉古時，慕名前往阿基米德墓，發現陵墓早已湮沒于荒草之中。眾人開出一條小路，最終發現一座墳墓，被風雨侵蝕的墓碑上只依稀可見“圓柱內切球”這個幾何圖形（圖2）。此圖形是在圓柱體內放置一個圓球，該球可謂“頂天立地”，四周碰邊。為什么阿基米德的墓碑上會刻著這樣一個圖形呢？

原來，阿基米德一生中發現了許多定理，他本人最得意的就是有關圓柱體和球的體積定理：如果在圓柱內有一個直徑與圓柱體等高的內切球，則球的表面積和體積分別等于圓柱體的表面積和體積的三分之二。阿基米德希望在他死后，把一生中最引以為豪的“球內切于圓柱”的圖形刻在自己的墓碑上。當年建造阿基米德墓時，羅馬將軍馬塞拉斯之所以這樣做，正是為了表達對阿基米德的欽佩和尊敬。

見到此圖，西塞羅非常激動，感慨不已，同時命人修復了阿基米德墓。可惜的是，2000多年的歲月流逝，使得阿基米德墓再次湮沒于歷史長河中。1965年，敘拉古一家在建的飯店挖掘地基時，挖出過一塊石碑，上面刻著一個內切于圓柱體的圓球的圖形，不過，人們并不能確定此處就是阿基米德墓。如今，我們只知道阿基米德的墓碑上刻有“圓柱內切球”幾何圖形，但并沒有找到實物。當然，這絲毫不影響這一數學定理成果廣為人知。

丟番圖的墓碑

丟番圖是古希臘著名的數學家（圖3），以高超的解題技巧著稱。他的著作《算術》是一本非常有名的數學問題集，具有高度的創造性；可惜的是，這部著作未能完整地保存下來，現僅存6卷（原書共有13卷）。《算術》一書第一次系統地使用代數符號，提出了各種不定方程的巧妙解法，在數學史上被稱為“代數的開山之作”。自畢達哥拉斯學派之后，數學的理論系統一直披著幾何的外衣；但丟番圖的數學思想完全脫離了幾何形式，將代數從中解放出來，自成體系，成為單獨的學科。這在古希臘數學史上可謂獨樹一幟。因此，丟番圖被譽為“代數學的鼻祖”。

丟番圖的著作成為包括費馬、歐拉、高斯等在內的許多數學家進行數論研究的起點。比如，著名的費馬大定理就是費馬在閱讀《算術》第二卷命題8時在頁邊寫下的批語。誰能想到，這寥寥數語竟然令跨越了幾個世紀的無數數學家折腰。

關于丟番圖的生平，后人幾乎一無所知，他唯一的簡歷是《希臘詩文選》（The Greek Anthology）中麥特羅爾寫的有關丟番圖的墓碑（圖4），上面用詩歌的形式寫成一段謎一樣的碑文，使我們可以對丟番圖的一生有一個大略了解。碑文如下：“過路的人啊！這里埋著丟番圖。下面的數字多么令人驚訝，它忠實地記錄了丟番圖一生的坎坷歷程。他生命的1/6是幸福的童年；再活了一生的1/12，他的唇上長出了細細的胡須；其后，丟番圖結婚了，可是還不曾有孩子；這樣又度過了一生的1/7。再過5年，他有了一個兒子，感到很幸福，可是這個孩子的壽命只有他父親的一半。兒子死后，這位老人在深深的悲痛中又活了4年，才結束其塵世生涯。”

顯然，該碑文實際上是一道蘊含深意的數學題，它讓人們在祭奠之時不免思索、計算丟番圖的年齡，感慨這位數學家是至死也離不開數學的“另類”。

魯道夫和欣克斯的墓碑

眾所周知，古今中外的數學家一直為了求得圓周率精度較高的準確值而不斷努力。公元前3世紀，古希臘著名學者阿基米德最先得出π≈3.14。到公元150年左右，古希臘天文學家托勒密最先給出π小數點后4位的準確值；在263年前后，我國魏晉時期的數學家劉徽利用割圓術也求得π≈3.1416。在480年前后，我國南北朝時期杰出的數學家祖沖之最早確定出π小數點后7位的準確值，即π介于3.1415926和3.1415927之間，這個數值保持世界紀錄近1000年。

直到1424年，阿拉伯數學家阿爾·卡西計算出π=3.141592653589793251596，才打破祖沖之的紀錄。16世紀，荷蘭籍德國人魯道夫·范·科伊倫加入競爭行列，他通過計算圓外切與圓內接正230邊形，將π值精確到小數點后15位。后來，他把正多邊形的邊數增加到262，于1610年算出π的35位小數，一舉創造了新的世界紀錄。這一工作幾乎耗費了魯道夫（圖5）的畢生心血，他為自己不虛此生而自豪，并留下遺言：將精確到小數點后35位的π值刻在他的墓碑上。于是，魯道夫的墓碑上銘刻著：π≈3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288（圖6）。

隨后，π的準確數值紀錄一次次被刷新：1706年，人們計算出的π的小數點后數值越過百位大關；1842年，達到了200位；1854年，突破400位……英國數學家威廉·欣克斯采用無窮級數的方法，經過20年不懈努力，于1973年將π算到驚人的707位小數。在電子計算機問世之前，這可算得上是手工演算時代的最高紀錄。欣克斯自認無人可比，并以此為榮，還囑托家人，在他死后將這一結果刻在墓碑上。此后半個世紀，人們對欣克斯的計算結果深信不疑，以致在1937年巴黎世界博覽會的發現館中，依然在最明顯的地方刻著這個π值。

令人悲哀的是，到了1945年，英國數學家弗格森發現，欣克斯的π值的第528位小數值有誤，應為4，結果誤為5，這意味著之后的數值全都是錯的。一個小小的疏忽讓欣克斯白白浪費了十多年的光陰，實在令人惋惜，但這并不能否定欣克斯在特定年代、特定環境下所做出的表率和貢獻。

萊布尼茨的墓碑

萊布尼茨是德國最著名也最重要的自然科學家、物理學家、歷史學家、哲學家，他和牛頓同為獨立發明微積分的創始人（圖7）。這位舉世罕見、才華橫溢的科學全才，對豐富人類科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻，被譽為“17世紀的亞里士多德”。

萊布尼茨生于萊比錫，自幼喪父的他博覽群書，涉獵廣泛，對語言、古典文學、史學、法律、邏輯學和哲學等諸多學科都有著濃厚的學習興趣。這使得萊布尼茨思想活躍，不盲從，有主見。年僅20歲時，他就寫出了題為《論組合的技巧》的論文，創立了關于“普遍特征”的“通用代數”，即數理邏輯的新思想。隨后，萊布尼茨還與英國數學家、物理學家牛頓分別獨立地創立了微積分學，其嚴密性與系統性比牛頓更勝一籌。他所創設的微積分符號也遠優于牛頓創設的符號，因而被數學界和數學教材普遍接受及廣泛使用。

更值得一提的是，萊布尼茨是第一位認識到二進制記數法重要性的人，并系統地提出了二進制數的運算法則。盡管歐美數學家都認為，二進制記數法的誕生應歸功于萊布尼茨，但事實上，萊布尼茨并不是這種記數法的發明人。在他之前，已經有人提出過這種記數法：17世紀初，英國代數學家哈里奧特在其未發表的手稿中提到了該方法；1670年，意大利數學家卡瓦利埃里又一次重復了這一發現。萊布尼茨重新發現二進制的時間是在1672年至1676年。1679年3月15日，他撰寫了題為《二進算術》的論文，對二進制進行了充分的論述，并建立了二進制的表示及運算。

在他看來，一切數都可以由0和1創造出來，這正可以作為《圣經》所說上帝從“無”創造“有”的象征。也就是說，從二進制中，萊布尼茨發現了“上帝創造世界”的證據。萊布尼茨的這些研究結果表明，他并未借助前人的論述和研究，而是獨立發現了二進制。正是在他的大力提倡和闡述下，二進制才逐漸被人們普遍關注。從某種意義上說，把二進制與萊布尼茨聯系在一起，也無不妥之處。

1701年，萊布尼茨將關于二進制的論文提交給法國科學院，但要求暫不發表。兩年后，也就是1703年，他將修改后的論文再次送交法國科學院，并要求公開發表。自此，二進制開始被公之于眾。如今，時代和科技的發展已經用事實證明，二進制對于200多年后計算機的發展產生了深遠的影響，萊布尼茨也因極具前瞻性的研究名垂青史。

牛頓的墓碑

伊薩克·牛頓是英國著名的物理學家、數學家（圖9），百科全書式的“全才”，在影響人類歷史人物風云榜上始終位列前茅。

1661年，牛頓考入著名的劍橋大學。1665年，從大學畢業的牛頓正準備留校繼續深造之時，恰逢鼠疫席卷英國，牛頓被迫兩次回到故鄉避災，這恰恰是牛頓一生中最重要的轉折點。在家鄉安靜的環境里，牛頓專心致志地思考數學、物理學和天文問題。在短短18個月里，牛頓就孕育形成了流數術（微積分）、萬有引力定律和光學分析的基本思想。這時的他不過23歲。

1684年，牛頓通過計算完善了1666年發現的萬有引力。1687年，他完成了人類科學史上少有的科學巨著《自然哲學的數學原理》，用數學方法建立起完整的經典力學體系，轟動全世界。法國科學家拉普拉斯評價該書為“人類智慧產物中最卓越的杰作”。

牛頓在數學方面被公認的最主要貢獻有三點：第一，為了解決運動問題，創立了一種和物理概念直接聯系的數學理論—“流數術”，這實際上就是微積分理論。在寫于1665年5月20日的一份手稿中，牛頓就提到了“流數術”。因此，他始創微積分的時間比另一位創始人—德國數學家萊布尼茨大約早10年，但其理論正式公開發表的時間比萊布尼茨晚，且二人是各自獨立地建立了微積分。第二，在二項式研究方面的成果。這項研究始于牛頓離開劍橋大學回故鄉避鼠疫前夕，他在前人研究的基礎上進一步明確了負指數的含義。牛頓研究得出的二項式級數展開式已成為研究級數論、函數論、數學分析、方程理論必不可少的有力工具。第三，1707年，牛頓的代數講義經整理后出版，定名為《廣義算術》。這本著作總結了符號代數學的成果，推動了初等數學的進一步發展。該書在方程論方面也有一些獨到的見解，其中比較著名的是“牛頓冪和公式”。

除此之外，牛頓在解析幾何中的成就同樣令人矚目，他的“一般曲線直徑”理論，在解析幾何研究領域得到廣泛重視。

牛頓之墓位于倫敦威斯敏斯特教堂的“科學家之角”。墓碑上的拉丁銘文：他用近乎神圣的心智和獨具特色的數學原則，探索出行星的運動和形狀、彗星的軌跡、海洋的潮汐、光線的不同譜調……人們為此欣喜：人類歷史上曾出現如此輝煌的榮耀（圖10）。

雅格布·伯努利的墓碑

在瑞士有這樣一個家族，從17世紀中期到18世紀后期的100多年間，涌現過8位數學家。這就是伯努利家族。雅格布·伯努利是該家族中出現的第一位數學家（圖11）。

1654年12月27日，雅格布·伯努利在瑞士的巴塞爾出生。盡管雅格布·伯努利按照父親的意愿取得了神學碩士學位，但他志不在此，而在數學上。1678年，結束了在神學院的學習后，雅格布開始學習及旅行生涯，其足跡遍及歐洲大陸的法國、德國、荷蘭和島國英國，并與各地的數學家建立了廣泛的聯系。1686年，雅格布被聘為巴塞爾大學的數學教授，并終生任此職。

作為一名專業數學家，雅格布不但在概率和微積分上取得重大成就，而且一生執著于對數螺線（也稱等角螺線，是指臂的距離以幾何級數遞增的螺線，由法國數學家笛卡爾在1638年發現）的研究，成果頗豐。他特別癡迷于對數螺線的美妙性質。經過深入研究，雅格布發現，對數螺線經過各種變換后仍然是對數螺線。比如，其漸屈線、漸伸線仍是對數螺線；自極點到切線的垂足的軌跡也是對數螺線；以極點為發光點經對數螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數螺線。

出于對對數螺線這種“萬變不離其宗”美妙特性的熱愛，雅格布曾通過文字激動地表示：“這條神奇的螺線具有奇特而又精彩的特點……它總是產生一條與自身相似、實際完全一致的螺旋，它可進可退，可被反射，可被折射……它應當用來象征在災難中堅不可摧的精神，或者象征歷盡萬變甚至死后，仍然完美如初的人體。”也正是驚嘆和欣賞數學中蘊含的這種難以言喻的美感，雅格布特意在遺囑中明確提出“將對數螺線的圖像刻在本人的墓碑上，并附拉丁語頌詞‘Eadem mutata resurgo”，以示“縱使滄海改變，重生依然故我”的不朽之意。雅格布用墓志銘的形式刻意贊美對數螺線，其實是表明了自己對數學的一往情深。

1705年8月16日，雅格布·伯努利去世。他的家人遵其遺囑，為雅格布建了墓碑并刻上他最心愛的對數螺線（圖12）。不過，造化弄人，雕刻對數螺線的的工匠不知是粗心大意，還是欠缺數學素養，竟然錯把阿基米德螺線（也稱等速螺線，是指一個點勻速離開一個固定點的同時，又以固定的角速度繞該固定點轉動而產生的軌跡）刻在了墓碑上。這實在令人遺憾和惋惜。

（未完待續）