高中數學數形結合思想應用綜述

高慧明

數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質．

數形結合思想在高考試題中主要有以下幾個?？键c：

（1）集合的運算及Venn圖；

（2）函數及其圖像；

（3）平面向量

（4）數列通項及求和公式的函數特征及函數圖像；

（5）方程（多指二元方程）及方程的曲線；

（6）對于研究距離、角或面積的問題，往往涉及直線與圓、立體幾何、圓錐曲線等，利用幾何圖形或形數轉換求解；

（7）對于研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖像求解（函數的零點、頂點是關鍵點），做好知識的遷移與綜合運用．

數形結合思想常用模型：一次、二次函數圖像；“對勾函數”應用單調性或基本不等式；三角函數圖像和性質；斜率公式；兩點間的距離公式（或向量的模、復數的模）；點到直線的距離公式等．

【方法歸納】

1.運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則.在數形結合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應．

（2）雙方性原則.既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯．

（3）簡單性原則.不要為了“數形結合”而數形結合.具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖像時應設法選擇動直線與定二次曲線．

2.數形結合思想是解答數學試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發揮著“奇特功效”，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度.具體操作時，應注意以下幾點：

（1）準確畫出函數圖像，注意函數的定義域；

（2）用圖像法討論方程（特別是含參數的方程）的解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩個函數的圖像，由圖求解；

（3）在解答題中數形結合思想是探究解題的思路時使用的，不可使用形的直觀代替相關的計算和推理論證．

【應用舉例】

應用一：研究圖形的形狀、位置關系、性質等

1.函數圖像與性質應用問題：即通過函數圖像來分析和解決函數問題的方法，對于高中數學，函數貫穿始終，因此這種方法是最常用的，破解此類題的關鍵點：

①分析數理特征，一般解決問題時不能精確畫出圖像，只能通過圖像的大概性質分析問題，因此需要確定能否用函數圖像解決問題；

②畫出函數圖像，畫出對應的函數、轉化的函數或構造函數的圖像；

③數形轉化，這個轉化實際是借助函數圖像將難以解決的數理關系明顯化；

④得出結論，通過觀察函數圖像得出相應的結論．

2.熟練掌握函數圖像的變換：由函數圖像的變換能較快畫出函數圖像，應該掌握平移（上下左右平移）、翻折（關于特殊直線翻折）、對稱（中心對稱和軸對稱）等基本轉化法與函數解析式的關系．

【例1】函數fx=x2+1sinx在區間-π2，π2的圖像大致為（）

A.

B.

C.

D.

【解析】∵fx=x2+1sinx，定義域為R，又f-x=x2sin-x=-x2sin x=-fx，

∴fx為奇函數，圖像關于原點對稱，可排除BC.

又fπ2=π24+1sinπ2=π24+1>0，可排除A，故選：D．

注：函數圖像的識辨可從以下方面入手：

（1）從函數的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數的值域，判斷圖像的上下位置；

（2）從函數的單調性，判斷圖像的變化趨勢；

（3）從函數的奇偶性，判斷圖像的對稱性；

（4）利用函數值考察特征點，排除不合要求的圖像；

（5）應用導數研究函數的性質，考察圖像升降的快慢、極值點，發現圖像差別.利用上述方法排除、篩選選項．

【例2】如圖，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x.將動P到A、B兩點距離之和表示為的函數f（x），則y=f（x）的圖像大致為（）

【解析】由已知得，當點P在BC邊上運動時，即0≤x≤π4時，PA+PB=tan2x+4+tan x；

當點P在CD邊上運動時，即π4≤x≤3π4，x≠π2時，

PA+PB=1tanx-12+1=

1tanx+12+1，

當x=π2時，PA+PB=22；

當P點AD在邊上運動時，即3π4≤x≤π時，PA+PB=tan2x+4-tan x，從點P的運動過程可以看出，軌跡關于直線x=π2對稱，且fπ4>fπ2，且軌跡非線型，故選B．

【例3】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段A1D1上的點，過點E作垂直于B1D的平面截正方體，其截面圖形為M，下列命題中正確的是．

① M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是12，78；②M的面積最大值為334；③M的周長為定值．

【解析】如圖所示，B1D⊥平面A1B1C1，B1D⊥平面ACD1，

①當點E與A1或D1重合時，M為正△A1BC1或正△ACD1，

周長為32，面積為32，在平ABCD面上投影面積為12.

②當點E與A1（D1）不重合時，設D1E=t（0

∴EJ=2t，EF=2（1-t），∴EF+EJ=2（1-t）+2t=2，

同理可得：FG+GH=2，HI+IJ=2，故M的周長為定值32．

M的面積為S1=12×2+2t×62（1-t）+122+2（1-t）×62t=32（-2t2+2t+1），

當時t=12，S1取得最大值334．

M在平面ABCD上投影的面積S2=1-12（1-t）2-12t2=-t2+t+12∈12，34.

由①②知M在平面ABCD上投影的面積取值范圍是12，34.

M的面積最大值為334，M的周長為定值32.故答案為：②③.

應用二：構建函數模型并結合其圖像求參數的取值范圍

【例4】已知函數f（x）=

x3，x≥0

-x，x<0若函數g（x）=f（x）-kx2-2x（k∈R）恰有4個零點，則k的取值范圍是（）

A.-∞，-12∪（22，+∞）

B.-∞，-12∪（0，22）

C.（-∞，0）∪（0，22）

D.（-∞，0）∪（22，+∞）

【解析】注意到g（0）=0，所以要使g（x）恰有4個零點，只需方程|kx-2|=f（x）|x|恰有3個實根即可，令h（x）=f（x）|x|，即y=|kx-2|與h（x）=f（x）|x|的圖像有3個不同交點．

因為h（x）=f（x）x=x2，x>0

1.x<0

當k=0時，此時y=2，如圖1，y=2與h（x）=f（x）|x|有2個不同交點，不滿足題意；

當k<0時，如圖2，此時y=|kx-2|與h（x）=f（x）|x|恒有3個不同交點，滿足題意；

當k>0時，如圖3，當y=kx-2與y=x2相切時，聯立方程得x2-kx+2=0，

令Δ=0得k2-8=0，解得k=22（負值舍去），所以k>22．

綜上，k的取值范圍為（-∞，0）∪（22，+∞）.故選：D．

圖1圖2

圖3

【例5】已知當0

A.（ln2+1，+∞）

B.（ln2-1，+∞）

C.（12，+∞）

D.（ln2-1，0）

【解析】不等式2ln xx<2a+1-12ax，可看作函數fx=2ln xx，gx=-12ax-4+1，在區間0，2上，fx的圖像在gx圖像下方.f′x=21-ln xx2，所以fx在0，e上遞增，在e，+∞上遞減，所以fx在x=e時取得極大值也即是最大值，且x>1時，fx>0.gx圖像過點4，1.f2=ln2，f′2=1-ln22，所以過B2，1-ln22的fx的切線方程為y-ln2=1-ln22x-2，點A4，1在切線上，gx也過點A4，1.畫出fx，gx在區間0，2上的圖像如下圖所示，由圖可知，-12aln2-1. 故選：B.

【例6】（2022·浙江省桐鄉第一中學高二開學考試）若函數f（x）=m-x2+2lnx在1e，e上有兩個不同的零點，則實數m的取值范圍為 ．

【解析】令f（x）=m-x2+2ln x=0，則m=x2-2ln x，令g（x）=x2-2ln x，

則由g′（x）=2x-2x=2（x-1）（x+1）x，在1e，1上g′（x）<0，g（x）遞減，在1，e上g′（x）>0，g（x）遞增.

且［g（x）］min=g（1）=1，g1e=2+1e2，g（e）=e2-2.∵2+1e2<3，e2-2≥5，∴g1e

作出函數g（x）的圖像，如下圖所示：

所以函數f（x）在1e，e上有兩個零點，則實數m的取值范圍為1，2+1e2.

應用三：構建函數模型并結合其圖像研究量與量之間的大小關系

【例7】函數的圖像如圖所示，則下列結論成立的是（）

A.a>0，b>0，c<0

B.a<0，b>0，c>0

C.a<0，b>0，c<0

D.a<0，b<0，c<0

【解析】由f（x）=ax+b（x+c）2及圖像可知，x≠-c，-c>0，則c<0；

當x=0時，f（0）=bc2>0，所以b>0；

當y=0，ax+b=0，所以x=-ba>0，所以a<0．

故a<0，b>0，c<0，選C．

應用四：構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式

【例8】如圖，已知兩個單位向量OA，OB，且它們的夾角為π3，點C在以O為圓心，1為半徑的AB上運動，則CA·CB的最小值為（）

A.32－3

B.0

C.32－32

D.－32

【解析】以O為坐標原點建立如圖坐標系，則由已知得B1，0，A12，32．

由點C在以O為圓心，1為半徑的AB上運動可設Ccosθ，sinθ，θ∈0，π3．

∴CA·CB=12-cos θ，32-sin θ·（1-cos θ，-sinθ）=cos2θ-32cosθ+sin2θ-32sinθ+12=32-3sinθ+π3.

由θ∈0，π3，知θ+π3∈π3，2π3，

∴sinθ+π3∈32，1，

因此，當sinθ+π3=1時，CA·CB有最小值32-3．

故選：A．

應用五：構建幾何模型研究代數問題

在解決問題的過程中對題目中的一些代數式進行幾何意義分析，將其轉化為與幾何結構相關的問題，通過解決幾何問題達到解決代數問題的目的.此方法適用于難以直接解決的抽象問題，可利用圖形使其直觀化，再通過圖形的性質快速解決問題.破解此類題的關鍵點：

①分析特征，一般從圖形結構、性質等方面分析代數式是否具有幾何意義；

②進行轉化，把要解決的代數問題轉化為幾何問題；

③ 得出結論，將幾何問題得出的結論回歸到代數問題中，進而得出結論．

【例9】已知集合A=x，yx2+y2=4，B=x，yy=2，則集合A∩B中元素的個數為（）

A.3

B.2

C.1

D.0

【解析】因為圓心（0，0）到直線y=2的距離d=2=r，

所以直線y=2與圓x2+y2=4相切，

所以A∩B的元素的個數是1，故選：C．

【例10】已知平面向量，，滿足||=2|-|=2|-|=2||=2，則·的取值范圍是（）

A.＼[1，2＼]

B.1，92

C.12，2

D.12，92

【解析】由題意||=2，||=1，|-|=|-|=1，設OA=，OB=，OC=.

不妨設C（1，0），如圖，則點A在以原點為圓心2為半徑的圓O上，點B在以C為圓心，1為半徑的圓上，滿足|AB|=1，圓C方程是（x-1）2+y2=1．

設B（x，y），則·=（x，y）·（1，0）=x，

當B在圓C上運動時，|AB|min=2-|OB|，

由題意圓O上存在點A，使得|AB|=1，

∴|AB|min=2-|OB|≤1，

∴|OB|≥1，即x2+y2≥1.

由x2+y2=1，（x-1）2+y2=1.

解得x=12，

y=±32.

∴x≥12，

由圖可知x≤2.即12≤x≤2．

∴·∈12，2.故選：C．

應用六：構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值等問題

1在解析幾何的解題過程中，通常要數形結合，挖掘題中所給的代數關系式和幾何關系式，構建解析幾何模型并應用模型的幾何意義求最值或范圍； 常見的幾何結構的代數形式主要有：

①比值——可考慮直線的斜率；

②二元一次式——可考慮直線的截距；

③根式分式——可考慮點到直線的距離；

④根式——可考慮兩點間的距離．

2圓錐曲線數形結合法：是根據圓錐曲線中許多對應的長度、數式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數形結合思想，快速解決某些相應的問題.破解此類題的關鍵點：

①畫出圖形，畫出滿足題設條件的圓錐曲線的圖形，以及相應的線段、直線等；

②數形求解，通過數形結合，利用圓錐曲線的定義、性質、直線與圓錐曲線的位置關系、圓與圓錐曲線的位置關系等進行分析與求解；

③得出結論，結合題目條件進行分析，得出所要求解的結論．

3破解圓錐曲線問題的關鍵是畫出相應的圖形，注意數和形的相互滲透，并從相關的圖形中挖掘對應的信息進行研究.直線與圓錐曲線的位置關系的轉化有兩種：

①通過數形結合建立相應的關系式；

②通過代數形式轉化為二元二次方程組的解 的問題進行討論．

【例11】已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為π3，向量滿足2-4·+3=0，則-的最小值是（）

A.3-1

B.3+1

C.2

D.2-3

【解析】設=x，y，=1，0，=m，n，則由非零向量與的夾角為π3，得·=·cosπ3，

∴x=12x2+y2，即y=±3x，x>0.

由2-4·+3=0，得m2+n2-4m+3=0，

∴m-22+n2=1，

∴-=x-m2+y-n2表示圓m-22+n2=1上點到射線y=±3x，x>0上點的距離，

∴-的最小值為圓心2，0到射線y=±3x，x>0的距離232=3減去半徑1，為3-1.故選：A．

【例12】已知函數f（x）=x3+x，fy2-2y+3+fx2-4x+1≤0，則當y≥1時，yx+1的取值范圍是（）

A.14，34

B.14，1

C.1，32-3

D.13，+∞

【解析】由題意可知，f（x）的定義域為-∞，+∞，

由f（x）=x3+x，得f′（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R單調遞增，

f（-x）=-x3+（-x）=-（x3+x）=-f（x），

所以f（x）為奇函數，

fy2-2y+3+fx2-4x+1≤0有

fy2-2y+3≤-fx2-4x+1=f-x2+4x-1，

∴y2-2y+3≤-x2+4x-1，整理得（x-2）2+（y-1）2≤1，y≥1時，即（x，y）的取值區域如下圖陰影部分所示：

∴yx+1表示直線y=k（x+1）在過圖中陰影部分的點時斜率k=yx+1，

即問題轉化為直線與陰影區域有交點時，k的取值范圍，當與半圓相切，k取最大值，

而此時圓心（2，1）到y=k（x+1）的距離d=|3k-1|1+k2=1，得k=34；

當交半圓于右端點（3，1）時，k取最小值為14，所以k的取值范圍14，34.故選：A．

應用七：構建方程模型或函數模型，結合其圖像研究零點的范圍與個數問題

討論方程的解（或函數零點）的問題一般可以構造兩個函數，將方程解的個數轉化為兩條曲線的交點個數.構造函數時，要先對方程進行變形，盡量構造兩個比較熟悉的函數．

【例13】已知點P是橢圓x212+y29=1上的任意一點，過點P作圓C：x2+y-12=1的切線，設其中一個切點為M，則PM的取值范圍為（）

A.3，4

B.3，15

C.15，4

D.3，23

【解析】設Px，y，則PM2=PC2-MC2=x2+y-12-1=1-y29×12+y-12-1=-13y+32+15，

因為-3≤y≤3，所以3≤PM2≤15，即3≤PM≤15，

故選：B.

【例14】已知fx=ex-x+1，x≤a

-x2+x+2，x>a恰好有三個零點，則實數a的取值范圍是 ．

【解析】當x≤-1時，y=ex+x+1，y′=ex+1>0，故在（-∞，-1］上單調遞增；

當x>-1時，y=ex-x-1，

由y′=ex-1=0可得x=0，

當-1

當x>0時，y′>0，所以y=ex-x-1在（-1，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，且ymin=e0-1=0，

作出函數y=ex-x+1=ex+x+1，x≤1

ex-x-1，x>1（x∈R）的圖像，

在同一坐標系內再作出y=-x2+x+2=-x2-x+2，x≤0

-x2+x=2，x>0（x∈R）的圖像，

由圖像可知要使fx=ex-x+1，x≤a

-x2+x+2，x>a恰好有三個零點，

即函數f（x）的圖像與x軸有三個交點， 只需0≤a＜2，

故答案為：［0，2）．

應用八：數形結合，根據不等式恒成立求參數或解不等式

構建函數模型，分析函數的單調性并結合其圖像特征研究量與量之間的大小關系、求參數的取值范圍或解不等式．

【例15】已知函數f（x）=2x-x-1，則不等式f（x）>0的解集是（）

A.（-1，1）

B.（-∞，-1）∪（1，+∞）

C.（0，1）

D.（-∞，0）∪（1，+∞）

【解析】因為fx=2x-x-1，所以fx>0等價于2x>x+1，在同一直角坐標系中作出y=2x和y=x+1的圖像如圖.

兩函數圖像的交點坐標為（0，1），（1，2），不等式2x>x+1的解為x<0或x>1．

所以不等式f（x）>0的解集為：（-∞，0）∪（1，+∞）．

故選：D．

【例16】已知函數fx是定義在-4，0∪0，4上的奇函數，當x∈0，4時，fx的圖像如圖所示，那么滿足不等式fx≥3x-1的x的取值范圍是（）

A.-1，-2∪0，1

B.-4，-2∪0，1

C.-4，-2∪2，4

D.-1，0∪2，4

【解析】f（x）為-4，0∪0，4上的奇函數，

所以如圖，畫出f（x）在［-4，0）的圖像，得點（-2，-89）、點（1，2）在f（x）上，

畫出y=3x-1的圖像，得到其漸近線為y=-1，且在第一象限與f（x）的圖像交點為（1，2），

要解不等式f（x）≥3x-1，則結合圖像，需f（x）的圖像在y=3x-1圖像的上方，從而解得：x∈［-4，-2］∪［0，1］.故選：B．

【例17】已知函數fx=x2，x<0

-x2，x≥0若x∈R，fmx2+9f4-3x≤0恒成立，則實數m的取值范圍為（）

A.21，+∞

B.13，+∞

C.2716，+∞

D.15，+∞

【解析】因為fx=x2，x<0

-x2，x≥0所以函數圖像如圖所示.

由函數圖像可知函數為定義域R上單調遞減的奇函數，當x≥0時fx=-x2，則f3x=-3x2=-9x2=9fx，

當x<0時fx=x2，則f3x=3x2=9x2=9fx，

所以f3x=9fx.

因為x∈R，fmx2+9f4-3x≤0恒成立，即x∈R，fmx2≤-9f4-3x=9f3x-4=f9x-12恒成立，

所以mx2≥9x-12恒成立，即mx2-9x+12≥0恒成立，

當m=0，顯然不成立，

當m≠0時，則m>0，

Δ=81-48m≤0，解得m≥2716，即m∈2716，+∞.

故選：C．

相關練習：

1.函數y=4xx2+1的圖像大致為（）

A.

B.

C.

D.

2.在△ABC中，∠C=π2，AC=BC=2，M為AC的中點，P在線段AB上，則MP·CP的最小值為．

3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點，則三棱錐A-NMD1的體積為．

4.斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則AB=．

答案與提示：

1.由函數的解式可得：f-x=-4xx2+1=-fx，則函數fx為奇函數，其圖像關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當x=1時，y=41+1=2>0，選項B錯誤. 故選：A．

2.如圖：以線段AB的中點為坐標原點，線段AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，

則M22，22，C（0，2），設Px，0，-2≤x≤2，

則MP·CP=x-22，-22·x，-2=x-22x+1=x2-22x+1，

當x=24時，MP·CPmin=242-22×24+1=78．

故答案為：78．

3. 因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為BB1、AB的中點

所以VA-NMD1=VD1-AMN=13×12×1×1×2=13

故答案為：13.

4. ∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點F坐標為F（1，0）.

又∵直線AB過焦點F且斜率為3，

∴直線AB的方程為：y=3（x-1），代入拋物線方程消去y并化簡得3x2-10x+3=0．

解法一：解得x1=13，x2=3，所以：

|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3·|3-13|=163.

解法二：Δ=100-36=64>0，設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=103，

過A，B分別作準線x=-1的垂線，設垂足分別為C，D，

如圖所示．

|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163．

故答案為：163．

【本文系北京市教育科學“十三五” 規劃課題“基于核心 素養的高中數學核心概念課堂教學的反思與重構研究”（編號： CDDB19238） 階段性研究成果】

責任編輯 徐國堅