函數易錯題歸因分析

聶青青

函數是高中數學的重要組成部分，是高考考查的核心內容，函數教學一直是高中數學的重點和難點.從知識視角來說，函數概念較為形式化和抽象，特別是函數的單調性、奇偶性、周期性結合起來至于具體或抽象的函數中，學生較難整體把握.從數學科核心素養視角看，學生如果對函數的概念未真正理解，對函數單調性、奇偶性、周期性等性質不能熟練運用，不能用函數的觀點看問題，出錯是很正常的.對于易錯題，對錯因進行系統的整理和反思是很必要的，可以防止重復犯同樣或類似的錯誤．

考生出錯的原因很多，但典型錯誤就那幾種.函數的三大類型的易錯題，錯因都很相似，為提高考生解題的防錯意識，幫助考生正確全面地解答函數問題，舉例進行剖析．

一、概念不清致錯

研究函數繞不開的就是函數的定義域，高中階段用集合的觀點定義函數，函數的定義域確定就是一非空數集.學生在面對含參數的問題并對參數進行分類討論時，屢犯的錯誤有很大一部分都是忽視定義域非空，復合函數研究時也會忽視函數的定義域.根本原因就是概念不清，對函數的定義域和對應法則的實質理解不到位．

1.忽視定義域為非空集合

例1.記函數f（x）=2-x+3x+1的定義域為A，g（x）=lg［（x-a-1）（2a-x）］（a≤1）的定義域為B．

（1）求A；

（2）若BA，求實數a的取值范圍．

錯解：（1）由2-x+3x+1≥0，得x-1x+1≥0，

∴x<-1或x≥1，即A=（-∞，-1）∪［1，+∞）．

（2）由（x-a-1）（2a-x）>0，得（x-a-1）（x-2a）<0．

當a+1=2a即a=1時，B=φ，滿足BA；

當a+1>2a即a<1時，B=（2a，a+1），

要使BA，則2a≥1或a+1≤-1．

又a≤1，∴12≤a≤1或a≤-2，

∴滿足BA的a的取值范圍是（-∞，-2）∪［12，1］．

錯因剖析：由函數的概念知，函數的定義域為非空集合，所以錯解中a=1時，B=φ是不合適的，應舍去.正解：（-∞，-2）∪［12，1）．

2.研究復合函數單調性忽視定義域

例2.已知函數f（x）=lg（x2-4x-5）在（0，+∞）單調遞增，則a的取值范圍是（）

A. （-∞，-1］

B. （-∞，2］

C. ［2，+∞）

D. ［5，+∞）

錯解：令g（x）=x2-4x-5，易知g（x）在［2，+∞）上單調遞增，

由復合函數的單調性知f（x）在［2，+∞）上單調遞增，

∴a≥2，選C．

錯因剖析：研究f（x）=lg（x2-4x-5）的單調性，忽視其定義域應為x|x2-4x-5>0=（-∞，-1）∪（5，+∞）．

正解：f（x）=lg（x2-4x-5）的定義域為（-∞，-1）∪（5，+∞），

由復合函數的單調性知f（x）在（5，+∞）上單調遞增，

∴a≥5，選D．

3.混淆原函數與復合函數的定義域

例3.已知函數f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函數g（x）=［f（x）］2+f（x2）的最大．

錯解：g（x）=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=log23x+6log3x+6=（log3x+3）2-3，

∵1≤x≤9，∴0≤log3x≤2，

∴當x=9即log3x=2時，g（x）的最大值為22．

錯因剖析：錯解混淆了函數的定義域，誤認為g（x）的定義域仍為f（x）的定義域．

正解：函數f（x）的定義域為［1，9］，故g（x）的定義域應滿足1≤x≤9且1≤x2≤9，

∴x∈［1，3］，∴log3x∈［0，1］．

當x=3即log3x=1時，g（x）的最大值為13．

4.忽視函數具備奇偶性的前提是定義域關于原點對稱

例4.若函數f（x）=k-2x1+k·2x在定義域上為奇函數，則實數k的值為．

錯解：∵函數f（x）為奇函數，∴f（0）=0即k-11+k=0，∴k=1．

錯因分析：f（0）=0是函數f（x）為奇函數的既不充分也不必要條件，錯解忽視了這一點；另外討論f（x）的奇偶性應優先考慮函數的定義域．

正解：（方法一）當k≥0時，f（x）的定義域為R，

則f（-x）+f（x）=0即k-2-x1+k·2-x+k-2x1+k·2x=0，

整理得（k2-1）（22x+1）（1+k·2x）·（k+2x）=0，

∴k2=1，又k≥0，∴k=1．

當k<0時，f（x）的定義域為x|x≠log2（-1/k），

要使f（x）具備奇偶性，則-1k=1，所以k=-1，

此時f（x）=2x+12x-1，f（-x）=2-x+12-x-1=1+2x1-2x=-f（x）．

綜上，滿足題意的實數k的值為-1或1．

（方法二）先不討論定義域，用函數的奇偶性定義，x∈D都有f（-x）+f（x）=0，

即k-2-x1+k·2-x+k-2x1+k·2x=0，整理得（k2-1）（22x+1）（1+k·2x）·（k+2x）=0，

∴k2=1，得k=±1（其中k=1時定義域為R，k=-1時定義域不含0）．

若此時不檢驗k=±1是否都能使f（x）為奇函數，答案也是正確的．

筆者發現，考生認為自己用了定義法了，無需再檢驗，但這種做法是不正確的，如題：

（變式）已知函數g（x）=ln1+ax1+x為奇函數，求實數a的值．

錯解：x∈D都有g（-x）+g（x）=0，得ln1-ax1-x+ln1+ax1+x=0，

整理得（a2-1）x2=0，∴a2-1=0即a=±1．

如果不再繼續檢驗a=±1是否都能使得g（x）為奇函數，則將出現錯誤.

因為a=1時g（x）=ln1+x1+x=0其定義域為x|x≠-1，顯然不是奇函數．

所以，在已知函數的奇偶性求參數的值時，一定要優先考慮定義域，若不考慮定義域而用定義法，則需檢驗結果是否都符合題意．

5.不能精確求出實際問題中的自變量的取值范圍

例5.在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中線AD的長為y，AB的長為x，建立y與x的函數關系式，并指出其定義域．

錯解：在△ADB與△ADC中，利用余弦定理cos∠ADC=1+y2-（3-x）22y以及cos（π-∠ADC）=1+y2-x22y，

∴1+y2-（3-x）2+1+y2-x2=0，解得y2=x2-3x+72．

又y>0，∴y=x2-3x+72，

易知x2-3x+72>0恒成立，

∴其定義域為x|x>0且3-x>0=x|0

錯因剖析：錯解中只考慮三條邊均為正，忽視了三角形應滿足任意兩邊之和大于第三邊（實際上滿足這個條件也相當于滿足了任意兩邊之小于第三邊，無需重復考慮），不能精確定位實際問題中自變量的取值范圍．

正解：在△ABC中，依題中條件顯然有AB+AC>BC，還應滿足AB+BC>AC以及AC+BC>AB，

即x+2>3-x且2+（3-x）>x，

∴12

二、審題不清致錯

在知識已經定位的條件下審題決定著解題的成敗，審題不清的真正原因是沒有正確把握概念、性質，一線教學中，教師應重視概念的教學，對于考生易混淆的卡點，需設置不同的問題進行區分．

1.混淆“函數的定義域為R”與“函數的值域為R”

例6.已知函數f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域為R，求實數a的取值范圍．

錯解：要使f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域為R，則應滿足3ax2+（2a+1）x+1>0恒成立，

故a>0，

Δ=（2a+1）2-12a<02-32

錯因剖析：錯誤原因是把問題與命題“已知函數f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的定義域為R，求實數a的取值范圍”相混淆.一般地，對于這個問題，若定義域為R，則轉化為不等式3ax2+（2a+1）x+1>0恒成立；若值域為R，則應轉化為g（x）=3ax2+（2a+1）x+1的值域包含（0，+∞）．

正解：要使f（x）=lg［3ax2+（2a+1）x+1］的值域為R，則g（x）=3ax2+（2a+1）x+1的值域包含（0，+∞），即g（x）的函數值要取到所有正數．

當a=0時，g（x）=x+1能取到（0，+∞）；

當a≠0時，須有a>0，

Δ=（2a+1）2-12a≥00

2.混淆“有意義”與“定義域”

例7.若函數f（x）=lg（1-a2x）的定義域是（1，+∞），求a的取值范圍．

錯解：依題意知，當x∈（1，+∞）時，1-a2x>0恒成立，∴a<2x恒成立．

又函數y=2x在x∈（1，+∞）上的值域為（2，+∞），

∴a≤2．

錯因剖析：錯解混淆了“有意義”與“定義域”的概念，函數的定義域是指使函數有意義的所有自變量的集合，而使得函數有意義的自變量的范圍可能只是定義域的一個子集．

正解：函數f（x）=lg（1-a2x）的定義域是（1，+∞），

即不等式1-a2x>0的解集是（1，+∞）．

∵1-a2x>02x>ax>log2a，

∴log2a=1，a=2，

因此a的取值范圍是單元素集{2}．

3.混淆“自對稱”與“互對稱”

例8.函數y=f（x+1）與函數y=f（3-x）的圖像關于直線 對稱．

錯解：設x1=x+1，x2=3-x，依題意可得f（x1）=f（x2）且x1+x22=2，

∴函數y=f（x+1）與函數y=f（3-x）的圖像關于直線x=2對稱．

錯因剖析：此例是兩個函數圖像的對稱問題，錯解把問題（互對稱）與“函數f（x）滿足f（x+1）=f（3-x），則f（x）圖像關于直線 對稱”（自對稱）混淆.實際上y=f（x+1）與y=f（3-x）是兩個不同的函數，此例討論的是函數的“互對稱”問題．

正解：函數y=f（x+1）的圖像是由函數y=f（x）的圖像向左平移1個單位得到，

函數y=f（3-x）的圖像為函數y=f（x）的圖像關于y軸對稱，

即y=f（-x），再向右平移3個單位得到，即y=f［-（x-3）］=f（3-x）．

設點A（x，y）在函數y=f（x）的圖像上，點A（x，y）向左平移一個單位得到A′（x-1，y）；

點A（x，y）關于y軸對稱再向右平移3個單位得到A″（-x+3，y）．

易看出點A′（x-1，y）與A″（-x+3，y）關于直線x=1對稱，

故函數y=f（x+1）與函數y=f（3-x）的圖像關于直線x=1對稱．

三、直覺思維致錯

直覺思維在數學解題中經常使用，特別是選擇題或填空題只求結果不求過程.為了快速解決問題，避開繁雜的計算及邏輯推理，很大一部分考生也會憑直覺覺做題.憑直覺得出的結論未必可靠，直覺思維覺也要件;建立在扎實的基礎積累和嚴格的邏輯思維之上，因此未必每次憑感覺做題都能幸運.“憑感覺”僅看到了問題的表象，并未深入研究問題的本質．

1.解析式變形不到位

例9.已知函數f（x）=log2（x2+1-x），判斷函數的奇偶性．

錯解：∵x2+1-x≥0恒成立，

∴x∈R，又f（-x）=log2（x2+1+x），

顯然f（-x）≠f（x）且-log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x）即-f（x）≠f（-x），

∴f（x）既不是奇函數也不是偶函數．

錯因剖析：一線教學中，有很大一部分考生不具備“式感”，只看表象就認為-log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x）或者log2（x2+1-x）≠log2（x2+1+x），實則運算能力不足，對解析式的變形不到位，對于對數函數運算性質的特殊性沒有“特意”分析．

正解：∵（x2+1-x）（x2+1+x）=1，

∴f（-x）=log2（x2+1+x）=log2（x2+1-x）-1

=-log2（x2+1-x）=-f（x）．

又f（-x）=f（x）不恒成立，

∴f（x）為奇函數．

2.數形結合中作圖過于粗糙

例10. 當k∈（0，12）時，方程|1-x|=kx的實數解的個數為 ．

錯解：作y=|1-x|和y=kx（0

易看出兩曲線在x>0時有且僅有兩個交點，

∴原方程僅有兩個不同的實數解．

錯因剖析：實際上考生作圖過于粗糙（圖一是軟件作圖截取部分），忽略了正比例函數的增長速度會比冪指數為12的冪函數的增長速度更快，y=kx（0

正解：（方法一）分析函數的變化趨勢，精確作出兩個函數的圖像，可知方程有三個實數解．

（方法二）由|1-x|=kx，得|1-x|=k2x2．

當x∈［0，1）時，原方程可化為x-1=k2x2，Δ=1-4k2，其中k∈（0，12）.

所以方程在x∈［0，1）有一個實數解，同理可驗證方程在x∈［1，+∞）有兩個實數解，從而原方程共有三個實數解．

類似的易錯題還有：（1）函數f（x）=lgx-sinx的零點個數為 個;

（2）函數y=x2的圖像與y=2x的圖像的交點個數為 個．

針對以上錯誤類型，在平時的教與學中，應重視基礎知識，立足課本，在對比中應用各種函數的性質，對概念定義應“咬文嚼字”，注意其限制條件；重視數學方法的應用，提高作圖、識圖、用圖能力；重視錯題的歸類整理，考生對于某些易錯題往往一錯再錯，究其原因是沒有探究出錯的根本原因，因此要重視對錯題的歸類整理．

從某種意義上說數學就是解題，減少錯誤也是提高成績的一種重要方式.特別是函數部分，函數思想、數形結合、轉化、分類討論等數學思想都有涉及.適量訓練時必要的，在日常教學中，要減少機械訓練的量，并提高不斷糾錯的質，才能站在更高的角度看問題．

責任編輯徐國堅