巧用一題多變 深挖課本習題

陳曉鳳

摘 ? 要：數學學科的學習有其特殊性，必須通過數學作業來落實所學知識點。完成具有指導性、啟發性、典型性等特點的課本習題是學生對所學概念進一步理解鞏固的重要手段，也是基本技能培養、基本應用方法啟迪、基本思想深化拓展的最實用、最有效的工具。因此，研究改編課本習題，充分挖掘課本習題所承載的知識點，讓課本習題發揮最大功效顯得尤為重要。

關鍵詞：拓展概念；改變條件；改變結論；數字延伸至字母；改編課本題

作為當代合格的中學生，高質量完成數學作業是其學習的主要任務。作業是學校教育教學環節中檢查學生對所學知識掌握情況的重要工具，也是課堂教學環節的有效補充。數學學科教學的特殊性，通過數學作業鞏固所學知識點顯得尤為重要。現代化社會中，網絡快速發展，獲取信息的渠道變得多樣，使得出一份練習變得相對簡單。毫無選擇性的作業，耗費孩子們太多的課后美好時光，損害了學生的身心健康。這樣鋪天蓋地的作業給孩子們帶來了巨大的負擔，而且無法真正達到溫故而知新的目的。讓孩子的美好童年時光留下了陰影，也不利于孩子的心理健康發展。

中共中央辦公廳，國務院辦公廳于2021年7月24日在《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》中提出，“雙減”是指全面壓減作業總量和時長，減輕學生過重作業負擔。尤其著重指出要求分類明確作業總量。如何精準地設置孩子課后作業，提高作業質量，最大限度地發揮作業的效果，是每一位數學教師都應該思考的問題。

長期以來由于從各個渠道收集題目太容易，再加上導學案的使用，以至于不少教師把課本習題給丟棄了。但是，課本習題大多都是專家組的教師們仔細研究認真挑選出來的，是具有較高實用性的。而且歷年來中考題、質檢題有不少也是出自課本習題或者是課本習題的改編題。所以研究改編課本例習題，充分挖掘課本習題所承載的知識點，讓課本習題發揮其最大功效顯得尤為重要。以下就教學中對課本習題所做的一些處理談談自己的一些做法。

1 ?通過拓展概念來進行習題改編

絕對值是七年級上冊內容中不易理解的一個知識點，給學生的學習帶來很大困擾。課本針對絕對值這個知識點設計了如下的習題：

例1（課本七年級上冊第15頁第5題）：寫出下列各數的絕對值：

-125，+23，-3.5，0，，-，-0.05.

上面的數中哪個數的絕對值最大？哪個數的絕對值最小？

課本的這道習題考查的是絕對值的基本概念。要求學生會準確求出正數、負數及0的絕對值。從數字的角度理解一個正數的絕對值是它本身；一個負數絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

例2（課本七年級上冊第15頁第12題）：如果x=2，那么x一定是2嗎？如果x=0，那么x等于幾？如果x=-x，那么x等于幾？

課本的這道題考查的是對絕對值基本概念逆向理解。

從數軸上看： a表示數a的點到原點之間的距離。x=2表示到原點的距離為2，原點右邊的數2到原點的距離為2，原點左邊的數-2到原點的距離也為2，所以x=2或-2。到原點的距離為0的點就只有原點本身，所以x=0時，x=0。x=-x表示的是相反數等于本身，即0的相反數還是0，所以x=0。

學生如果能準確回答出上述幾個問題，那么學生對絕對值的基本概念已經掌握。教師不妨在此基礎上做更進一步地拓展：

例3：從數軸上看：a 表示數a的點到原點之間的距離，類似地a-2表示數α的點到表示數2的點之間的距離.一般地a-b表示數a的點到表示數b的點之間的距離。

（1）在數軸上，若表示數x的點與表示數-1的點之間的距離為3個單位長度，則x= ? ? ? ? ? ?；

（2）對于任何有理數x，式子x+2+x-4 有最_____（大或小）值，該值為________；

（3）利用數軸，求方程x-2+x+4=6的所有整數解的和

這樣，學生在掌握絕對值基本概念的基礎上，把到原點的距離拓展為到任意一個點的距離。學生通過畫數軸體會距離的概念，掌握用數形結合的方法來解決數學問題。在這個過程中，培養了學生的思考能力，動手操作能力，解決數學問題的能力，并且拓展了學生的思維。

2 ?通過改變題目滿足的條件來進行習題改編

初中教學中一元二次方程與二次函數這兩個知識點有著千絲萬縷的聯系，因此，學好這兩部分知識對初中代數的學習非常重要。

例4（課本九年級上冊第25頁第8題）：利用一面墻（墻的長度不限），用20米長的籬笆怎樣圍成一個面積為50的矩形場地？

課本的這道題考查的是用一元二次方程解決實際問題。為了更充分地利用這道題，可以嘗試把條件進行如下改變：

把圍成一個面積為50的矩形場地分別改為：

（2）圍成一個面積為32的矩形場地；

（3）圍成一個面積為60的矩形場地。

并設計了以下幾個活動：

活動1：根據題意分別列出方程；

活動2：將每個方程化成一元二次方程的一般形式，分別指出二次項系數，一次項系數及常數項；

活動3：不解方程判斷每個方程的根的情況；

活動4：請你選擇合適的方法解方程；

活動5：你能求矩形面積的取值范圍嗎？

前面的1-4個活動，讓學生對一元二次方程的概念、解法、解法的合理選擇、根的判別式以及根的合理性等知識點進行進一步的復習與鞏固，更加全面深入地理解以上所有知識點。活動5可以結合課本九年級上冊第57頁第7題進行。

例5：用一段長為20米的籬笆，圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，（1）墻長為18米時，這個矩形的長寬各為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？

把知識點由一元二次方程提升為二次函數的動態問題。其中由于銜接的需要，把題目中籬笆的長由30米修改成20米。

課本的這道題考查的是運用二次函數的最值問題解決實際問題。為了更充分地利用這道題，可以把條件進行如下改變：把（1）中的墻長為18米改為（2）墻長為8米。

解：設BC邊長為x米，矩形菜園的面積為S平方米。

S=·x

=-（x-20x+10-100）

=-（x-10）+50（0

∵a=-<0，

∴當x=10時，S=50.

∴當BC=10米，AB=5米時，

菜園的面積最大，最大面積為50平方米。

S=·x

=-（x-20x+10-100）

=-（x-10）+50（0

∵當x<10時，S隨x是增大而增大，

∴當x=8時，S=-（8-10）+50=48.

∴當BC=8米，AB=6米時，

菜園的面積最大，最大面積為48平方米。

課本原題考查的是二次函數的頂點在自變量取值范圍內，在頂點處取得最值。由于a=-<0開口向下，所以頂點處取得的是最大值。改變條件后，頂點不在自變量取值范圍內，這時要結合二次函數的增減性來判斷，此時最高點在x=8的位置。把二次函數最值問題的不同處理方式都進行了對比練習，加深了學生對知識點的理解，培養了學生分析問題，解決問題的能力。

3 ?通過改變題目求解的結論進行習題改編

證明三角形的全等，可以讓我們進一步得到線段、角度和面積相等，這是初中幾何證明中非常重要的工具。三角形全等再結合圖形變換平移、軸對稱及旋轉可以組合成許多有趣的題目。

例6（課本九年級上冊76頁第5題）：如圖1，△ABC和△ECD都是正三角形，且點B、C、D在一條直線上。△EBC可以看作是△DAC怎樣地變化得到？說明得到△EBC的過程。

△DAC無論是平移、翻折或旋轉得到△EBC，這兩個圖形之間始終必須滿足全等，為幫助學生順利找到方向，我們不妨先給學生設個臺階，先完成下題：

（1）如圖2，△ABC和△ECD都是正三角形，且點B，C，D在同一條直線上。請找出與△DAC全等的三角形，并說明理由。

先引導學生通過SAS證明出△DAC≌△EBC，從而得出△DAC經過旋轉得到△EBC。

再問：（2）線段AD與BE有什么關系？

由△DAC≌△EBC得出：AD=BE。

教師緊接著又問：

（3）若△ABC保持不動，將△ECD繞著點C旋轉，在旋轉的過程中，AD與BE是否始終相等？請說明理由。

這樣將一個靜止的幾何問題進一步轉化為一個動態的問題，成為一個探究題。學生首先要能夠把旋轉過程的幾種典型位置畫出來，如圖1-1至圖1-6。

再根據不同的圖形選擇合適的方法證明，從而發現旋轉的過程AD=BE恒成立。

這樣通過不斷地更換求解的結論，把一道簡單的三角形全等的證明題層層遞進成一道幾何探究題，讓一道課本題發揮出它的最大功效。

4 ?通過由數字延伸至字母的變化來進行習題改編

例7（課本七年級上冊140頁第9題）：如圖2，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線。

（1）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？

這道題主要是角平分線這個概念的鞏固練習。題（1）已知兩個小角度數通過“角平分線”及“角的和”求出大角度數。題（2）已知大角及一個小角度數，通過“角平分線”及“角的差”求出另一個小角度數。在孩子們鞏固練習完“角平分線”、“角的和”及“角的差”等基本知識點后，我們不妨做如下改編：

如圖2，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線。

（1）如果∠BOC=40°，∠COD=30°，那么∠AOE是多少度？

（2）如果∠BOD =70°，那么∠AOE是多少度？

（3）如果∠BOD =a，那么∠AOE是多少度？

（1）∵OB平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠BOC=80°。

∵OD平分∠COE，

∴∠EOC=2∠COD=60°。

∴∠AOE=∠AOC+∠EOC=140°。

題（1）仍然是已知兩個小角具體度數，通過“角平分線”求出對應的大角度數，再利用“角的和”，求出兩個大角度數的和。

（2）∵OB平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠BOC。

∵OD平分∠COE，

∴∠EOC=2∠COD。

∴∠AOE=∠AOC+∠EOC

=2∠BOC+2∠COD

=2（∠BOC+∠COD）

=2∠BOD

=140°。

（3）∵OB平分∠AOC，

∴∠AOC=2∠BOC。

∵OD平分∠COE，

∴∠EOC=2∠COD。

∴∠AOE=∠AOC+∠EOC

=2∠BOC+2∠COD

=2（∠BOC+∠COD）

=2∠BOD

=2a

題（2）條件改成已知兩個小角的和的度數，這時不能再像題（1）那樣分別求出每個小角對應的大角度數，而應該把這兩個小角度數和看成是一個整體，求出這兩個小角的度數和，再求出大角和的度數。

題（3）的處理方法與題（2）差不多，只不過題（3）進一步地把兩個小角和的度數變成了以字母的形式呈現。這樣改編以后使題目變得更有梯度，由具體數字延伸至字母，最后體現數學幾何推理的整體思想。讓學生的幾何推理能力，思維能力都得以訓練提升。

學生可以通過數學學習鍛煉自己的思維，提升自己的思維能力，從而達到磨練意志的目的，成為一名全面發展的人才。具有指導性、啟發性、典型性等特點的課本習題，能幫助孩子們對概念進行進一步理解鞏固，也是基本技能培養、基本應用方法啟迪、基本思想深化拓展的最實用、最有效的工具。因此，讓課本習題在教學中充分發揮它的作用，進行多角度、全方位、深層次的思維分化，就能極大地激發學生的創造性思維，激發智慧火花，提高學生的數學學習意識，把教師和學生從沉重的作業海洋中解放出來，真正減輕教師教學和學生學習的沉重負擔。充分挖掘課本習題，削減學生沉重作業負擔，讓學生有更多的時間發展自己各個方面的才能，使德智體美勞全面發展。這才是當代教師應該研究思考的重要領域。