檢測(cè)誤差對(duì)半球諧振陀螺進(jìn)動(dòng)因子的影響分析

韓世川,林翠平,陳婷婷,雷 霆,卜繼軍

(1.中國電子科技集團(tuán)公司 第二十六研究所,重慶 400060;2.固態(tài)慣性技術(shù)重慶市工程實(shí)驗(yàn)室,重慶 401332;3.重慶市固態(tài)慣性技術(shù)企業(yè)工程技術(shù)研究中心, 重慶 401332)

0 引言

半球諧振陀螺(HRG)是基于哥氏效應(yīng)的振動(dòng)陀螺,通過檢測(cè)諧振子振型的變化來測(cè)量載體的角速率和角度。當(dāng)一個(gè)振動(dòng)的軸對(duì)稱殼體繞其對(duì)稱中心軸旋轉(zhuǎn)時(shí),環(huán)向振型相對(duì)殼體呈比例進(jìn)動(dòng),這種現(xiàn)象稱為布萊恩(Bryan)效應(yīng)。

工作于全角模式的半球陀螺,激勵(lì)諧振子處于四波腹駐波振動(dòng)狀態(tài),當(dāng)外界載體帶動(dòng)陀螺基座旋轉(zhuǎn)時(shí),受哥式力的作用,駐波角位置相對(duì)于基座將發(fā)生進(jìn)動(dòng)。通過檢測(cè)駐波進(jìn)動(dòng)角度實(shí)現(xiàn)載體轉(zhuǎn)動(dòng)角度的測(cè)量,駐波進(jìn)動(dòng)角度與外界載體轉(zhuǎn)動(dòng)角度之比稱為進(jìn)動(dòng)因子α,α僅與諧振子物理形狀相關(guān)。實(shí)際工作中,半球諧振陀螺由于電極間隙誤差、電路增益誤差及電極非正交耦合誤差等檢測(cè)誤差的存在,將導(dǎo)致進(jìn)動(dòng)因子的周向一致性退化。電極間隙誤差與前級(jí)電路增益誤差統(tǒng)稱為增益誤差,電極非正交耦合誤差統(tǒng)稱為耦合誤差。本文通過理論推導(dǎo)了增益誤差和耦合誤差對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的影響,并提出了校正這兩類誤差的方法,通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該方法的有效性。

1 理想半球陀螺進(jìn)動(dòng)因子推導(dǎo)

理想半球諧振子以基爾霍夫-李雅夫假設(shè)為基礎(chǔ)[1-2],建立理想諧振子殼體動(dòng)力學(xué)模型,即諧振子的密度、厚度、半徑、彈性模量和泊松比都是常數(shù),與圓周角無關(guān),求解薄殼表面任意質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

如圖1所示(圖中θ,β,R為球形坐標(biāo)),半球諧振子以角速度Ω繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn),R為諧振子曲面上任一質(zhì)點(diǎn)A的中曲面半徑,假設(shè)諧振子壁厚均勻不變,只有沿對(duì)稱軸z軸有輸入角速度,即Ωx=Ωy=0。

圖1 薄殼諧振子球面坐標(biāo)示意圖

對(duì)于理想系統(tǒng),內(nèi)力和科里奧利力均不做功,系統(tǒng)能量保持不變,利用布勃諾夫-伽遼金法對(duì)理想半球諧振子的任意質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解,得到理想諧振子二階固有振型的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:m0為等效質(zhì)量;p1(t)、p2(t)是諧振子質(zhì)點(diǎn)位移在Ln[cos(nβ),sin(nβ)]空間的正交分解;c0為等效剛度;b為等效阻尼。且:

(2)

(3)

(4)

(5)

式中U(θ),W(θ)為不可拉伸薄殼n階固有振型的瑞利函數(shù)。

式(1)是一個(gè)典型的二階彈性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程,忽略了外力和系統(tǒng)阻尼的存在,且認(rèn)為彈性系統(tǒng)完全對(duì)稱,其動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

根據(jù)式(2)、(4)可得到陀螺進(jìn)動(dòng)因子的理論式為

0.277

(7)

式(1)、(7)是針對(duì)理想型諧振子,其進(jìn)動(dòng)因子僅與球殼形狀有關(guān),當(dāng)諧振子材料為熔融石英玻璃材料時(shí),具有很好的穩(wěn)定性,可用駐波的進(jìn)動(dòng)信息得到外界載體的角速率。

2 全角模式下進(jìn)動(dòng)因子的影響因素

為方便計(jì)算,可將半球陀螺的振動(dòng)方程表示為向量形式,不考慮阻尼和頻差的周向不均勻,即:

(8)

(9)

(10)

式(8)的解可表示為

(11)

式中:a(t)為主振動(dòng)幅度;q(t)為正交振動(dòng)的幅值;θ(t)為主振動(dòng)波腹與p1方向的夾角,即駐波方位角。

將式(11)代入式(8)可得:

(12)

(13)

式中A為2×2的增益矩陣[3]。檢測(cè)誤差包括增益誤差和耦合誤差,分別對(duì)應(yīng)矩陣Ad和矩陣Ae,則矩陣A可表示為兩者的乘積:

(14)

式中:a11,a22分別為x、y軸的檢測(cè)增益誤差;a12、a21為x、y軸檢測(cè)信號(hào)間的通道耦合誤差。

將式13代入式(8)有:

(15)

陀螺實(shí)際工作過程中,a為主振動(dòng)幅度,正交振動(dòng)通過施加與主振動(dòng)相位一致的正交控制力得到了有效的抑制,q=0,陀螺的振動(dòng)位移可表示為

p(t)=av(t)cos(ωnt)

(16)

將式(16)代入式(15)可得:

(17)

(18)

通過式(17)、(18)可知,進(jìn)動(dòng)因子隨駐波方位角的變化將會(huì)影響半球陀螺的性能,同時(shí)也會(huì)造成幅度、正交控制施力的角度誤差。

3 全角模式控制電路與算法

基于現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(FPGA)+數(shù)字信號(hào)處理(DSP)+模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)+數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)全角模式控制電路[5]主要包括緩沖放大電路、兩路模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)采樣、輸入解調(diào)、數(shù)字濾波、數(shù)字直接數(shù)字頻率合成器(DDS)、輸出調(diào)制、兩路數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)控制等功能模塊,其功能模塊如圖2所示。

圖2 全角模式控制電路框圖

根據(jù)Lynch給出的廣義振動(dòng)陀螺模型[6]可知,理想振動(dòng)陀螺無外部輸入時(shí),90°和45°電極作為檢測(cè)電極,探測(cè)到的信號(hào)分別表示為

x=acos(2θ)cos(ωτ+φ′)-

qsin(2θ)sin(ωτ+φ′)

(19)

y=asin(2θ)cos(ωτ+φ′)+

qcos(2θ)sin(ωτ+φ′)

(20)

式中:a為陀螺的主振動(dòng)幅度;q為陀螺的正交振動(dòng)幅度;ω為陀螺振動(dòng)頻率;φ′為振動(dòng)的初始相位。

通過在FPGA內(nèi)部生成DDS,跟蹤陀螺的振動(dòng)頻率與相位構(gòu)成數(shù)字鎖相環(huán),設(shè)DDS信號(hào)幅值為A,則DDS的輸出為

vrc=Acos(ωτ+φ)

(21)

vrs=Asin(ωτ+φ)

(22)

同時(shí)用作輸入解調(diào)和輸出調(diào)制信號(hào)[4]。通過在FPGA內(nèi)部IQ解調(diào),然后進(jìn)行數(shù)字濾波得到cx、cy、sx、sy,δφ為陀螺初始相位φ′與本地同步信號(hào)相位φ的相位差:

(23)

在DSP內(nèi)進(jìn)行一系列浮點(diǎn)計(jì)算可得:

(24)

式中:E為幅度控制;Q為正交控制;Ls為數(shù)字鎖相環(huán)輸入;S為駐波的正弦分量;M為駐波的余弦分量;tan-1(S/M)計(jì)算得到駐波角度θ。

4 全角模式下進(jìn)動(dòng)因子校正與驗(yàn)證

為了減小檢測(cè)誤差對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的影響,需要在駐波方位角解算過程中進(jìn)行補(bǔ)償,引入校正矩陣Ac,使得A′近似為單位矩陣,即:

A′=Ac×Ad×Ae≈I

(25)

若要得到校正矩陣Ac,則需測(cè)試檢測(cè)通道X、Y的增益之比,以及通道之間的耦合系數(shù),可在靜態(tài)條件下分別對(duì)電路增益及通道耦合Ae和讀出電極間隙Ad進(jìn)行標(biāo)定[8-9],但靜態(tài)標(biāo)定過程中引入的分布電容等因數(shù)對(duì)Ae、Ad的測(cè)試準(zhǔn)確性有較大的誤差,所以本文根據(jù)檢測(cè)誤差對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的影響分析,提出了一種更準(zhǔn)確的測(cè)試標(biāo)定方法。陀螺加工、裝配過程中產(chǎn)生的增益誤差和耦合誤差,統(tǒng)一考慮為x、y軸的檢測(cè)誤差。以通道x軸為基準(zhǔn),a11=1,a22=g(g為增益失配系數(shù)),a12=0,a21=δ。 由于阻尼和頻差的周向分布不均勻帶來的系統(tǒng)漂移每小時(shí)約為幾十度,遠(yuǎn)小于轉(zhuǎn)臺(tái)的測(cè)試激勵(lì)角速率為100 (°)/s,此項(xiàng)誤差可忽略。

工作于全角模式下的半球諧振陀螺,陀螺駐波角度θ=α×h,h為外界載體旋轉(zhuǎn)角度。為了測(cè)試全角模式下半球陀螺駐波的進(jìn)動(dòng)因子,將陀螺放置在速率轉(zhuǎn)臺(tái)上,輸入軸朝上,以100 (°)/s勻速旋轉(zhuǎn)。陀螺駐波角度θ以0.1 s采樣。根據(jù)式(12) 可得:

(26)

根據(jù)式(18)在轉(zhuǎn)速100 (°)/s下實(shí)測(cè)的進(jìn)動(dòng)因子隨駐波角度的變化進(jìn)行曲線擬合,結(jié)果如圖3所示,然后求解得到增益失配系數(shù)g,以及通道耦合系數(shù)δ,最后進(jìn)行參數(shù)校正。

圖3 校正前進(jìn)動(dòng)因子隨駐波角度的周向分布

圖4為檢測(cè)誤差校正前進(jìn)動(dòng)因子隨時(shí)間變化。由圖3、4可看出,檢測(cè)誤差校正前,進(jìn)動(dòng)因子隨駐波角度和時(shí)間的周期性變化峰-峰值約為0.18,進(jìn)動(dòng)因子最大與最小比約為1.063。圖5為檢測(cè)誤差校正后進(jìn)動(dòng)因子隨駐波角度的周向分布。圖6為檢測(cè)誤差校正后進(jìn)動(dòng)因子隨時(shí)間變化。由圖5、6可看出,檢測(cè)誤差校正后,隨駐波角度及時(shí)間的周期性變化,進(jìn)動(dòng)因子峰-峰值降低到0.000 2,對(duì)比校正前的0.18,提升了約2個(gè)數(shù)量級(jí),且進(jìn)動(dòng)因子與理論值(0.277)相符。進(jìn)一步分析圖5、6可知,檢測(cè)誤差校正后,進(jìn)動(dòng)因子還有約0.000 2的殘余誤差,且呈周期性變化,說明還有其他殘余系統(tǒng)誤差存在,如讀出與驅(qū)動(dòng)過程中的非線性等[10],還需進(jìn)一步研究。

圖4 校正前進(jìn)動(dòng)因子隨時(shí)間變化

圖5 校正后進(jìn)動(dòng)因子隨駐波角度的周向分布

5 結(jié)束語

本文以基爾霍夫-李雅夫假設(shè)為基礎(chǔ),建立理想諧振子殼體動(dòng)力學(xué)模型,求解薄殼表面任意質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程,從機(jī)理上推導(dǎo)出理想諧振子進(jìn)動(dòng)因子只與其物理形狀尺寸相關(guān),具有較好的一致性。結(jié)合實(shí)際的諧振子與全角模式控制電路,由于讀出電極間隙誤差和檢測(cè)電路的增益失配等檢測(cè)誤差,推導(dǎo)出進(jìn)動(dòng)因子不再為常數(shù),而為駐波方位角θ的函數(shù)α′(θ)。然后給出了具體的校正方法。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,進(jìn)動(dòng)因子的周向一致性提升了約2個(gè)數(shù)量級(jí)。實(shí)際的半球陀螺檢測(cè)電路還有一定的非線性,將對(duì)進(jìn)動(dòng)因子的穩(wěn)定性及其測(cè)試精度造成影響。后續(xù)研究可在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展,進(jìn)一步提升進(jìn)動(dòng)因子的周向一致性。