基于復(fù)合控制的壓電驅(qū)動器設(shè)計方法

王 哲,張 望,許澤宇,張寒冰,崔永浩

(北京無線電測量研究所, 北京 100854)

0 引言

壓電陶瓷作為一種常見的微動位移智能材料,具有響應(yīng)速度快,分辨率高,體積小及能量密度大的優(yōu)點,現(xiàn)已成為光學(xué)、電子學(xué)相關(guān)的精密定位研究領(lǐng)域中的重點研究對象[1-2]。目前廣泛應(yīng)用于掃描探針顯微鏡、半導(dǎo)體加工、高精度機床及激光設(shè)備中,但其自身存在的蠕變、遲滯等非線性因素對定位精度帶來了較大的誤差[3],雖然采用閉環(huán)控制方式能顯著提升其穩(wěn)態(tài)精度,但動態(tài)精度難以保證。為此,研究者們期望通過建立壓電陶瓷的前饋逆模型來對壓電陶瓷的非線性誤差進行補償[4]。目前,典型的現(xiàn)象學(xué)遲滯模型包括Duhem模型[5-6]、Bouc-Wen模型[7]、Preisach模型[8]、Krasnoselskii-Pokrovskii(KP)模型[9]及Prandtl-Ishlinskii(PI)模型[10-12]等。Duhem模型和Bouc-Wen模型均是通過微分方程來描述壓電遲滯現(xiàn)象,微分形式下的非線性表達式使模型的參數(shù)識別較難。Preisach模型是基于算子的遲滯模型,有積分表示和解析不可逆問題。作為Preisach模型的子類,經(jīng)典PI模型通過一個閾值變量和一個密度函數(shù)來描述滯后現(xiàn)象,可看作是簡單遲滯算子的疊加,降低了建模的復(fù)雜性,實現(xiàn)了解析的可逆性,但其無法描述復(fù)雜的不對稱遲滯曲線。KP模型能夠描述不對稱遲滯現(xiàn)象和飽和遲滯效應(yīng),然而為KP模型構(gòu)造逆模型是一個很大的挑戰(zhàn)。廣義PI模型保留了經(jīng)典PI模型的建模簡單及逆模型可解析的優(yōu)勢,同時通過增加包絡(luò)函數(shù)描述復(fù)雜的遲滯曲線[13]。

為了便于系統(tǒng)集成及小型化,采用數(shù)字信號處理(DSP)結(jié)合現(xiàn)場可編程門陣列(FPGA)(DSP+FPGA)數(shù)字控制芯片作為壓電驅(qū)動器的嵌入式控制系統(tǒng)。將廣義PI模型的參數(shù)在DSP中在線辨識,實時更新系統(tǒng)模型,并通過逆模型公式計算前饋補償分量,將前饋補償結(jié)果通過數(shù)據(jù)總線發(fā)送給FPGA。壓電驅(qū)動系統(tǒng)閉環(huán)在FPGA中實現(xiàn),采用比例積分控制結(jié)合前饋補償?shù)膹?fù)合控制,并在FPGA中實現(xiàn)高速高精度模數(shù)(A/D)采樣及數(shù)模(D/A)輸出。最終實現(xiàn)系統(tǒng)控制頻率為50 kHz,求得跟蹤頻率分別為50 Hz、100 Hz、200 Hz對應(yīng)的動態(tài)均方根分別為11.8 nm、13.1 nm、21.0 nm,相對均方根誤差分別為0.5%,0.6%、1%,滿足系統(tǒng)指標(biāo)要求,并可在實際系統(tǒng)中集成應(yīng)用。

1 壓電促動器控制算法

1.1 基于廣義PI模型的壓電促動器前饋補償

采用廣義PI遲滯模型對壓電陶瓷遲滯現(xiàn)象進行建模,采用粒子群算法對待求參數(shù)進行識別。

1.1.1 廣義PI模型

在廣義PI遲滯模型中,廣義遲滯算子Sr包含2個包絡(luò)函數(shù),輸入函數(shù)v隨時間增加時,對應(yīng)廣義遲滯算子Sr中的包絡(luò)函數(shù)γl;輸入函數(shù)v隨時間減小時,對應(yīng)廣義遲滯算子Sr中的包絡(luò)函數(shù)γr。由于2個包絡(luò)函數(shù)為不同的表達式,因此,廣義遲滯模型可描述非對稱及飽和的遲滯現(xiàn)象。圖1為廣義PI遲滯模型遲滯算子的輸入-輸出關(guān)系示意圖。圖中,廣義遲滯算子在輸出z(t)=0時對應(yīng)的輸入值v(t)為ζ1和ζ2,ζ1對應(yīng)上升階段,ζ2對應(yīng)下降階段。由圖可看出包絡(luò)函數(shù)γl和γr是單調(diào)函數(shù)。

圖1 廣義PI遲滯算子輸入-輸出關(guān)系示意圖

廣義PI遲滯模型的遲滯算子可表示為

(1)

式中r為閾值,參照經(jīng)典遲滯算子決定。本文采用雙曲正切函數(shù)作為包絡(luò)函數(shù)形式,則包絡(luò)函數(shù)γl、γr的表達式為

(2)

式中a1,b1,c1,d1及a2,b2,c2,d2分別為上升和下降階段包絡(luò)函數(shù)的待確定參數(shù),可由參數(shù)尋優(yōu)算法辨識得到。

廣義PI遲滯模型Φ通過多個遲滯算子Sr和密度函數(shù)P(r)的加權(quán)疊加來描述相關(guān)材料或執(zhí)行器的遲滯效應(yīng)。廣義PI遲滯模型的輸出具體定義Φ[v](t)為

(3)

如式(3)所示,模型是n個廣義PI遲滯算子的加權(quán)輸出結(jié)果,P(ri)和ri分別為

(4)

式中:ρ為正數(shù);τ,α為常數(shù)。三者均是遲滯算子模型中的待定參數(shù)。

因為廣義PI遲滯算子Sr是單調(diào)的,且密度函數(shù)是連續(xù)可積的正值函數(shù),由此可得出廣義PI遲滯模型在上升、下降沿同樣滿足單調(diào)條件。

1.1.2 遲滯模型的參數(shù)識別

廣義PI遲滯模型的遲滯算子及密度函數(shù)的相關(guān)參數(shù)通常根據(jù)已知的實驗數(shù)據(jù),采用合適的參數(shù)尋優(yōu)方法得到。粒子群算法在遲滯模型的參數(shù)識別中應(yīng)用較廣[14]。粒子群參數(shù)優(yōu)化算法是參數(shù)優(yōu)化、尋找適度函數(shù)極值的過程,其可以為不可微的模型進行尋優(yōu)。其基本過程如下:

(rand∈random(0,1))

(5)

2) 求每個粒子的適度函數(shù):

(6)

3) 計算個體最優(yōu)位置pbesti和全局最優(yōu)位置gbest:

(7)

gbest(k+1)=min{pbesti(k+1)}

(8)

4) 若迭代次數(shù)大于itermax,終止計算保存gbest作為最優(yōu)解;否則根據(jù)個體最優(yōu)和全局最優(yōu)更新每個粒子的速度和位置向量,退回到步驟2)。

vi(k+1)=w(k)vi(k)+c1r1[pbesti-xi(k)]+

c2r2[gbest-xi(k)]

(9)

xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1)

(10)

式中:r1,r2為[0,1]上的隨機數(shù);w(k)=0.5+rand/2。

1.1.3 遲滯前饋補償

對已經(jīng)建立的遲滯模型進行反演計算,廣義PI模型的反演式為

(11)

式(11)分別對上升、下降階段的包絡(luò)函數(shù)進行反演,其中遲滯算子的具體表達式為

(12)

(13)

其中密度函數(shù)求解如下:

(14)

式中j=2,3,4,…,n。

1.2 壓電促動器復(fù)合控制

實驗表明,在壓電促動器系統(tǒng)中,遲滯特性是影響動態(tài)跟蹤精度的重要因素,基于廣義 PI 逆模型的前饋補償控制,對于補償遲滯特性有較好的效果。但壓電陶瓷的蠕變特性會令系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)定位發(fā)生漂移,而基于比例積分控制率的反饋控制可有效地抑制壓電促動器的蠕變影響,保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度。因此,采用復(fù)合控制方法能夠有效提升系統(tǒng)的動靜態(tài)跟蹤精度。系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)復(fù)合控制框圖

2 實驗驗證

2.1 實驗平臺的搭建

為了便于驅(qū)動模塊在整體系統(tǒng)中的集成,需要壓電驅(qū)動器成為獨立的子系統(tǒng),這要求模塊接口完整并具有集成化、輕小型化等特點。目前廣泛采用的基于控制板卡結(jié)合計算機操作系統(tǒng)的控制,無論從實時性、集成度及空間、質(zhì)量都難以滿足要求。因此,基于TMS320F28335及XC6SLX45T控制芯片搭建了嵌入式控制系統(tǒng)。其中DSP完成廣義PI模型逆模型前饋補償量的在線計算;FPGA芯片用于完成系統(tǒng)數(shù)字閉環(huán)控制算法,控制周期采用內(nèi)部時序控制,可以達到50 kHz,能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)高帶寬性能需求,完成高速A/D芯片的采樣控制及高速D/A芯片電壓輸出控制。系統(tǒng)數(shù)字架構(gòu)如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)數(shù)控架構(gòu)示意圖

驅(qū)動電路由功率放大電路和運算放大器串聯(lián)組成負反饋放大電路,此外還包括調(diào)理電路和電壓供電變換電路。采用電壓串聯(lián)負反饋結(jié)構(gòu),能提高增益的恒定性,減少非線性失真,擴展頻帶,提高輸入電阻,減小輸出電阻。功率放大電路采用分立的MOS管搭建推挽電路實現(xiàn),電壓、電流及功率等級可根據(jù)負載的大小靈活調(diào)整,便于散熱及集成化設(shè)計,且成本低。國外知名廠商德國PI、法國CEDRAT、美國Thorlabs均是基于分立元件搭建功率放大電路。

壓電促動器選用芯明天PSt150/5/7VS10,標(biāo)稱行程9 μm,帶SGS電阻應(yīng)變片的位置信息反饋。采用測微儀對其進行標(biāo)定后可實時測得系統(tǒng)實際位移。

壓電陶瓷驅(qū)動器驗證樣機由上位機、數(shù)字控制板、驅(qū)動板、供電電源、壓電促動器組成。總體框架和實驗樣機如圖4所示。

圖4 壓電驅(qū)動器實驗驗證平臺

2.2 控制方法驗證

采用開環(huán)控制方式分別在給定幅值2 μm、不同頻率(50 Hz、100 Hz、200 Hz)的正弦波形得到系統(tǒng)實際輸出波形與給定電壓間(開環(huán)模式下給定位移與實際輸出電壓為固定比例關(guān)系)的關(guān)系如圖5所示。由圖可看出,系統(tǒng)存在較大的遲滯效應(yīng),且幅值有較大衰減。

圖5 壓電促動器遲滯效應(yīng)

只采用比例積分控制率方式對壓電促動器進行閉環(huán)控制,分別給定幅值2 μm、不同頻率(50 Hz、100 Hz、200 Hz)的正弦波形得到系統(tǒng)實際輸出波形與給定目標(biāo)位移間的關(guān)系如圖6所示。由圖可看出,系統(tǒng)的遲滯效應(yīng)得到改善,且幅值跟隨目標(biāo)給定相位滯后,隨著目標(biāo)位移頻率的增加,相移滯后增大,符合壓電促動器伺服控制規(guī)律。

圖6 比例積分閉環(huán)控制下壓電遲滯效應(yīng)

為了進一步改善系統(tǒng)性能,縮小動態(tài)誤差,采用廣義PI模型對壓電促動器進行建模,并通過粒子群算法對模型參數(shù)進行在線辨識,得到頻率分別為50 Hz、100 Hz、200 Hz,幅值為2 μm時廣義PI模型的參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果,如表1所示。

表1 粒子群算法識別所得參數(shù)表

電陶瓷促動器在不同頻率下的廣義PI模型的參數(shù)變化不大,且同一組參數(shù)應(yīng)用于不同頻率條件下均能起到一定的遲滯抑制效果。采用相同頻率和幅值的逆模型可得到最優(yōu)解,這從一定程度上降低了對DSP實時計算速度的要求。圖7為廣義PI模型與實際壓電促動器模型的遲滯曲線,驗證了建模方法的正確性。

圖7 廣義PI模型遲滯擬合

采用基于廣義PI逆模型的前饋補償措施,得到前饋跟蹤目標(biāo)軌跡的效果如圖8所示。

圖8 廣義PI逆模型前饋控制軌跡跟蹤效果

由圖8可看出,遲滯現(xiàn)象得到進一步改善,但隨著頻率的增高,同一周期系統(tǒng)采樣點逐漸稀疏,模型擬合度逐漸下降,因此,相對于低頻控制效果,高頻非線性度逐漸增加。

圖9為采用廣義PI逆模型前饋補償結(jié)合比例積分控制的復(fù)合控制效果圖。相對于單獨采用前饋控制和反饋控制,遲滯效應(yīng)得到了充分抑制。為了量化模型表現(xiàn),采用均方根誤差erms、相對均方根誤差enrms和遲滯比H作為指標(biāo)來評價控制方法的跟蹤效果,即:

圖9 復(fù)合控制軌跡跟蹤效果圖

(15)

(16)

(17)

式中:yd為目標(biāo)位移;y為輸出位移;p為采樣點個數(shù);yl,yr分別為同一目標(biāo)位移指令下的上升、下降沿輸出位移值。由式(15)～(17)得到誤差分析表,如表2所示。

表2 誤差分析表

實驗結(jié)果表明,本文所提壓電驅(qū)動器設(shè)計方法對壓電促動器的動靜態(tài)控制精度均有提升,以GPI模型為基礎(chǔ)構(gòu)建的前饋算法相較于微分方程遲滯模型和其他算子模型,在保證模型精度的前提下,模型反演更簡單,參數(shù)數(shù)量較少。在集成到硬件系統(tǒng)實現(xiàn)遲滯補償時更便捷、高效。

3 結(jié)束語

基于廣義PI模型及粒子群辨識算法,本文提出了一種壓電促動器復(fù)合控制方法,結(jié)合嵌入式數(shù)控芯片及分立式功率放大電路,設(shè)計了一款壓電驅(qū)動器。該壓電伺服系統(tǒng)動靜態(tài)跟蹤精度得到了顯著提升,響應(yīng)頻寬大,且便于系統(tǒng)集成,可以進行工程化應(yīng)用。