盆架狀壓電宏微平面作動器半解析性理論建模

王哲逸,賀紅林,李 冀,龍玉繁,李晨捷

(南昌航空大學 航空制造工程學院,江西 南昌 330063)

0 引言

壓電宏微平面作動器作為一類基于壓電材料逆壓電效應的新型動力部件,將電激勵轉換為定子微觀振動,并通過定/動子間界面摩擦將振動轉化為宏觀移動[1-4],其響應快,運動精度高,工作平穩,斷電自鎖,在生物醫療、芯片制造等有高精定位需求行業中應用前景廣寬[5]。Polit Sebastian等[6]提出一種具有納米級分辨率的壓電驅動平臺,該平臺的x、y向驅動行程可達15 μm,行進間位移分辨率可達1 nm;張軍濤等[7]設計出一種精密二維定位平臺,該平臺將兩向驅動耦合成50 mm×50 mm行程,定位精度為0.28 μm。本文提出了雙十字形、田字形和口齒式等多種新構型[8-10]。在已有工作基礎上,本文提出一種基于定子桿縱、彎復合振動的盆架狀作動器,該作動器利用壓電陶瓷d31效應激勵工作模態[11]。壓電作動器驅動特性主要取決于定子振動,故定子機電動力學分析尤為重要。已有研究主要采用有限元法,即將定子離散為眾多小單元,通過聯立各單元的力學平衡方程來構建定子總體線性動力學方程組[12-13]。但這種方法對網格依賴性大,且單元網格劃分越細,定子節點越多,這將導致計算矩陣維度增加,從而降低計算效率。與有限元法相比,傳遞陣法是基于離散思想的結構力學特性分析方法,能清晰反映每一個狀態變量的變化過程,是一種顯式計算方法[14-15]。因其計算過程中獨有的頻率計算行列式階次低,利于編程和數值計算等特點,常應用于結構力學計算[16-17]。此外,傳遞陣模型計算量少,解算速度快,內部狀態顯示清晰,能解決有限元模型無法解析化問題,特別是利用該法分析定子動力學特性時,能有效展示機電耦合力學傳遞行為[18-19]。為高效解算盆架狀定子動力學特性及便于定子結構動力學優化,本文探析了盆架狀定子的傳遞陣法建模及求解。

1 作動器結構及其驅動機理

1.1 作動器的動力學拓撲

根據宏微平面作動器兩自由度運動需要,結合作動器縱-彎復合模態驅動的初始規劃,提出的作動器動力學結構如圖1所示。該作動器主要由4根驅動桿及1個十字架連接而成。在各桿中心處均鉆通孔,以降低桿的剛度,有利于增大桿的振幅。各桿頂端驅動足推動動子。在十字架中心處設置通孔固定作動器。作動器共配置16片壓電陶瓷片,其中位于各驅動桿最大應變處的8片陶瓷用于激勵桿的縱振,彎振模態波峰(谷)處貼有8片陶瓷以激勵桿的彎振。

圖1 盆架狀超聲作動器構型圖

1.2 作動器的驅動原理

該作動器采用壓電陶瓷片的LE模式,基于d31效應激發作動器工作振動,通過縱振與彎振的諧振耦合促成質點橢圓運動軌跡,以推動動子移動。圖2為盆架狀作動器在一個運動周期內的工作過程。圖中,對彎振激勵陶瓷片沿厚度方向極化,并施加正弦激勵信號,縱振激勵陶瓷片極化方向同為厚度方向,但相對的陶瓷片極化方向反向,并施加余弦激勵電信號。當作動器的對稱彎振模態被激發后,其驅動足將沿x、y向振動;當反對稱縱振模態激發后,驅動足將沿z向振動。兩模態的諧振在驅動足上耦合形成了兩相微觀橢圓運動軌跡。在每個周期內,1、2號桿和3、4號桿上的驅動足各完成一個橢圓軌跡運動,4個驅動足交替推動動子沿x、y向移動。

圖2 驅動足運動過程

2 基于傳遞陣原理建模

根據壓電學,壓電陶瓷的d31壓電效應可通過機電耦合方程描述,即:

(1)

為簡化作動器理論建模并盡可能準確反映作動器動力學行為,對作動器建模時假設:

1) 忽略壓電陶瓷片與驅動桿間膠層的影響。

2) 作動器振動時,各平行截面保持平行,忽略驅動桿的扭轉。

3) 桿縱振時,忽略橫向變形,桿內微元只做沿軸線方向運動,且在同一截面上應力一致。

4) 忽略作動器裝夾對驅動桿振動特性影響。

基于這些假設并利用傳遞陣和子結構法,可將盆架狀作動器離散為等截面梁、變截面梁、等截面管柱單元、壓電合梁和壓電復合管柱單元,從而可建立各單元縱振、彎振及復合振動傳遞陣。

2.1 作動器子結構縱振傳遞方程

根據等截面彈性梁的自由態波動方程和動力學關系,可構建出等截面梁單元縱振傳遞陣方程為

(2)

(3)

圖3為管柱結構縱振。管柱單元的傳遞陣與式(3)類似,只是其截面積不同。

圖3 管柱結構縱振

對于變截面梁,可先將其離散為n個等截面段,然后求各段的傳遞陣,最后將各段的傳遞陣進行連乘,可得變截面梁的傳遞陣為

(4)

式中Hs,Δxi為第i個離散段的傳遞陣。

壓電陶瓷粘附于等截面梁后構成的壓電復合梁如圖4所示。當在激勵陶瓷片上施加驅動信號時,可使壓電復合梁縱向振動。考慮到陶瓷的縱振與梁的縱振趨于一致,故建模時可將梁和壓電陶瓷片視作一體,則可得:

圖4 壓電復合梁縱振

(5)

式中:Tl,p,Tl,s分別為陶瓷片與彈性梁的應力;ρp,ρs,ρsp分別為陶瓷片、彈性梁和壓電復合梁的密度,Sl,p、Sl,s,Sl,sp分別為陶瓷片、彈性梁和壓電復合梁的應變;Γp,Γs為壓電陶瓷片和彈性梁占整個壓電復合梁的體積分數;ε33、s11、d31為壓電常數、陶瓷片壓電矩陣、介電常數分量。

根據壓電復合梁的應力、應變關系,并考慮其電學和位移邊界條件及其兩端力與速度可得:

Fsp,l=Fsp(0,t)=Ssp(cspCsp,1ksp-

epUsp/hp)ejωt

(6)

vsp,l=vsp(0,t)=jωCsp,2ejωt

(7)

Fsp,r=Fsp(lsp,t)=Ssp[csp(Csp,1kspcos(ksp,lsp)-

Csp,2kspsin(ksp,lsp))-(epUsp,1/hp)]ejωt

(8)

vsp,r=vsp(lsp,t)=jω[Csp,1sin(ksp,lsp)+

Csp,2cos(ksp,lsp)]ejωt

(9)

Isp=2Wspjω[g1(Csp,1sin(ksplsp)+Csp,2cos(ksplsp)-

Csp,2)]ejωt+2Wspjω(g2lspUsp,1/hp)ejωt

(10)

聯立式(3)～(10)可得壓電復合梁單元傳遞方程:

(11)

(12)

壓電復合管柱梁(見圖5)的傳遞陣與式(12)相同,相關計算與式(5)相同,且縱振傳遞方程為

圖5 壓電復合管柱梁縱振

(13)

2.2 作動器子結構彎振傳遞方程

根據已有研究經驗,利用鐵木辛柯梁理論構建壓電驅動桿的振動模型更合理。當將驅動桿劃分為多段等截面梁單元時,可得:

(14)

c4ejλ2sx/ls

(15)

引入歐拉式以改寫式(12),并將其余3個力學參數Ms、Qs、ψs改寫成相同格式,即有:

(16)

(17)

(18)

(19)

聯立式(16)～(19)可得:

Zs=HsDs

(20)

考慮彈性梁兩端存在如下邊界條件,即:

(21)

式(21)消去Ds后可得:

(22)

(23)

通過將變截面梁進行離散(見圖6),可求取其彎振傳遞陣為

圖6 彈性梁彎振

(24)

將變截面梁離散后,可得其彎振傳遞陣方程為

(25)

管柱梁同樣具有式(23)的彎振傳遞陣形式,只是其剛度、質量和慣性矩須按下式求取,即:

(26)

壓電復合梁同樣可視為鐵木辛柯梁,當在壓電復合梁上施加驅動電壓時,將激勵出純彎振動,且其同樣具有以下動力學特性,即:

(27)

式中:S1,sp為壓電復合梁x向應變;S5,sp為壓電復合梁的剪切應變。

圖7為壓電復合梁彎振。對壓電復合梁單元做力學分析可得:

圖7 壓電復合梁彎振

Qsp-ω2ψsp(ρI)equ,sp

(28)

-ω2uZmequ,sp

(29)

聯立式(28)、 (29)可得關于Msp和Qsp的微分方程,運用式(16)的解法可得微分方程特征根為

(30)

式中(GA)equ,sp,(EI)equ,sp分別為壓電復合梁等效剪切剛度和等效彎曲剛度。

描述壓電復合梁彎振模態的4個參數形式:

(31)

(32)

(33)

2αsphspUsp,2

(34)

當激勵壓電陶瓷時,陶瓷將產生變形并引發電流為

Isp,2=jωCspUsp,2+2αsphp(ψ(x=lsp)-

ψ(x=0))

(35)

式中Csp=2Wsplspg2/hp為壓電復合梁電容。聯立式(31)～(34),可求得彎振傳遞陣為

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

可見,壓電復合梁傳遞陣中包含了力、電及機電耦合參數,利用這些參數可構建其傳遞方程。

壓電復合管柱梁傳遞陣、傳遞方程形式與壓電復合梁相同,只是其剛度、質量和慣性矩的表達式略有不同。壓電復合管柱梁彎振傳遞方程為

(62)

2.3 作動器子結構彎-縱復合傳遞方程

盆架狀作動器選定縱-彎復合模態為工作模態,因此還須構建驅動桿縱-彎復合傳遞陣。考慮到前文推導的等截面梁單元、管柱單元和變截面梁等非壓電復合梁的縱、彎傳遞陣彼此獨立,故可按以下方式構建縱-彎復合傳遞陣,即

(63)

(64)

由此可得壓電復合梁的傳遞陣方程:

(65)

(66)

結合式(65)、(66)可得壓電復合梁在縱-彎復合模態下的機電耦合動力學傳遞方程:

(67)

3 作動器機電耦合理論模型

以作動器十字架中心通孔作為固定端,將各驅動桿離散為單元(子結構),如圖8所示。

圖8 作動器子系統劃分

基于振動在單元間傳遞的連續性,及在相鄰單元連接面上存在合力為0與速度相等條件,結合前文推導出的各單元傳遞陣,將驅動桿上所有離散單元的傳遞陣進行累乘,便構建驅動桿傳遞陣。

3.1 子結構間復合振動連接條件

壓電單元的縱-彎復合振動輸入和輸出狀態向量中包含2個縱振力學參數、4個彎振力學參數及1個縱振電學參數等7個參數。作動器的相鄰單元在縱彎復合振動時的界面連接條件如下:

1) 當結構振動由梁單元i傳遞至梁單元i+1時,二者縱-彎復合振動連接條件為

(68)

2) 當振動由彈性梁結構i傳遞至壓電復合梁結構,兩者縱-彎復合振動連接條件可寫作:

(69)

(70)

(71)

3) 當振動由壓電復合管柱梁結構傳遞至管柱梁結構,兩者縱-彎復合振動連接條件可寫做

(72)

4) 當振動由壓電復合管柱梁結構傳遞至壓電復合梁結構兩者縱-彎復合振動連接條件可寫做:

(73)

5) 當振動由中心十字架階梯槽傳遞至驅動桿,形成壓電復合梁結構i+1與壓電復合管柱梁結構i+2的并聯傳遞,三者縱-彎復合振動連接條件為

(74)

(75)

(76)

6) 當振動由階梯槽傳遞至驅動桿管柱結構,形成彈性梁結構i+1與彈性梁結構i+2的并聯傳遞,三者縱-彎復合振動連接條件:

(77)

3.2 機電耦合傳遞陣模型的構建

考慮到盆架狀壓電作動器為中心對稱,為減少作動器整機機電動力學模型建模工作量,首先基于各子結構的彎-縱復合傳遞陣方程并結合子結構間的連接條件矩陣,將驅動桿與中心十字架相連,構造出單邊機電耦合動力學模型;然后,考慮整機動力學分析模型的邊界條件,構造完整的作動器機電耦合動力學模型。模型邊界條件主要包括兩方面:作動器驅動桿兩端自由和中心十字架通孔處固定的機械邊界條件;配置在壓電陶瓷片上相位差為π/2的激勵電信號的電學邊界條件。驅動桿中任意一個離散元素有:

(78)

式中:BCAi為機械邊界條件提取向量;BCBi為機械邊界值向量;BCUi為電學邊界條件提取向量;BCIi為電學邊界值向量;Z2i-1,Z2i分別為離散元素i的振動輸入和輸出狀態向量;Hi為離散元素i的振動傳遞陣。

綜上所述,構造出作動器整體機電耦合動力學模型:

(79)

式中:Z1,Z2,…,Z2n為全體離散單元的輸入、輸出向量集合。左邊矩陣上半部分表示各單元所對應的傳遞陣,中間部分為單元間連接條件,最下方為各離散單元邊界條件提取矩陣。

4 作動器傳遞陣模型的驗證

考慮到以子結構為基本要素的盆架狀作動器傳遞陣機電耦合分析模型本質上是一個規模不大的非齊次線性方程組,故利用MATLAB編寫程序以解算作動器機電動力學特性參數。為便于模型對比與確認,本文構建了作動器機電耦合有限元模型。

4.1 作動器傳遞陣模型優化

基于多目標遺傳優化算法(NSGA-Ⅱ)建立針對圖9中盆架狀作動器的結構尺寸進行優化,設計空間為表1給出的初始尺寸的±10%,設優化目標:

表1 NSGA-Ⅱ算法參數設置

圖9 作動器結構尺寸圖

1) 作動器三相工作模態頻率趨于一致。

2) 陶瓷片位于作動器最大應變處。

3) 驅動足振幅最大化。

算法參數設置如表1所示。算法迭代過程如圖10所示。優化所得尺寸如表2所示。

表2 盆架狀作動器優化尺寸

圖10 目標函數迭代過程

由圖10可知,優化算法迭代到第72步時滿足優化終止條件,并輸出表2的優化結果。為驗證本次優化和所建立機電耦合模型正確性,選定45#鋼為作動器基體材料,PZT-8為壓電陶瓷材料,根據表2中優化后結構尺寸構造盆架狀作動器有限元機電耦合分析模型,并進行作動器幅頻特性分析和動力學特性分析對比分析實驗。

4.2 作動器振型對比分析

振型是揭示壓電作動器動態行為的重要屬性之一。本節將通過對比傳遞陣法和有限元法(FEM)算得作動器前6階振型,進一步驗證傳遞陣模型的有效性。通過結合機械和電學邊界條件,盆架狀壓電作動器驅動桿兩端的速度分量可以根據傳遞陣模型來解決。因此,沿縱向劃分的驅動桿部件中任何位置的剪切位移都可以用它們自己的傳遞陣Hi來計算。使用這種方法分別提取并繪制了由傳遞陣模型和有限元模型計算的相應振型,如圖11所示。由圖可看出,傳遞陣法的結果與有限元法的結果吻合較好,這充分證明本文所提傳遞陣模型適合于對盆架狀壓電作動器進行建模。

圖11 盆架狀作動器驅動桿前6階彎曲振型對比

4.3 作動器幅頻特性分析

為驗證盆架狀作動器機電耦合動力學模型的有效性,選取作動器1號驅動桿上驅動足進行幅-頻特性分析。基于ANSYS諧響應分析模塊,在壓電陶瓷片表面施加250 V、基體接觸面施加0的激勵電壓。設諧響應分析頻域為43.0～45.5 kHz,計算步長為1 Hz/步,并提取計算結果。由圖11可見,在頻域為44.7～45.05 kHz時,三相工作模態均被成功激發,且三相工作模態頻率分別為44 772 Hz、44 881 Hz和44 963 Hz,頻率差為191 Hz,各相模態均在44 890 Hz左右出現峰值,且峰值附近區域無干擾模態,這說明作動器在此頻段內工作穩定。針對作動器傳遞陣模型,采用與有限元仿真相同的電學激勵條件,計算相同頻率點上的幅值,得到相應的幅頻特性曲線如圖12所示。傳遞陣模型求得的三相工作模態頻率分別為44 794 Hz、44 907 Hz和44 971 Hz,頻率差為177 Hz。將該計算結果與數值仿真結果對比可知,二者對應工作模態頻率差分別為22 Hz、26 Hz和8 Hz,傳遞陣法與有限元法結果存在偏差,可能是在對作動器進行傳遞陣建模時,對某些結構進行了簡化處理導致的。對比兩者計算結果證明了理論模型的有效性,可對作動器的共振頻率進行較準確的預測。用于獲得作動器頻率響應特性的傳遞陣模型的計算時間僅幾分鐘。然而使用相同的計算機平臺,從有限元計算出的相同結果需要4 h。因此,本文開發的傳遞陣模型的計算速度比有限元模擬的計算速度快。

圖12 FEM和傳遞陣法諧響應分析對比

4.4 動力學特性分析

為測試作動器驅動性能并進一步檢驗理論模型正確性,選取作動器1號驅動桿上驅動足質點,運用ANSYS瞬態響應求解器求解驅動足位移。

在作動器FEM模型的各陶瓷片上施加250 V、44 890 Hz的驅動電壓,并設置瑞麗阻尼比ζ=0.02,且解算相應的α=5 639.07,β=7.09×10-8。為確保求得的位移響應曲線具連續性,采用完全法求解瞬態響應。提取到1號桿驅動足的響應如圖13所示。由圖可看出,驅動足進入穩態振動僅需1.2 ms,其x、y、z向振幅分別為2.95 μm、3.27 μm、1.37 μm,這三相振幅相近,從而有利于實現兩桿交替驅動,并滿足壓電作動器運動要求。將同樣大小的驅動電壓施加在傳遞陣模型,所得結果如圖13所示。圖中,驅動足進入穩態振動時間為0.8 ms,x、y、z向振動幅值分別為3.12 μm、3.61 μm、1.82 μm。2個模型的結果基本吻合。這說明本文設計作動器半解析機電耦合動力學模型有效。

圖13 驅動足的瞬態振動響應

5 結論

以狀態向量為中間參量,借助結構傳遞陣力學原理并結合作動器邊界連接條件,構建了盆架狀作動器的理論模型,實現了其機電動力學特性的完整描述,可得結論:

1) 盆架狀作動器在1 000 Hz頻帶內無干擾模態,其振動響應時間不超過1.2 ms,其驅動足沿x、y、z向振幅分別可達3.12 μm、3.61 μm和1.82 μm,該作動器具有良好的動力學輸出特性。

2) 傳遞陣模型及有限元模型求得的盆架狀平面作動器工作模態頻率非常接近,故盆架狀傳遞陣理論模型是有效的。

3) 采用傳遞陣法對壓電作動器建模,可極大地降低壓電平面作動器機電耦合動力學特性求解的時間復雜度。

4) 傳遞陣建模法特別適于以桿梁為主體的壓電平面作動器的機電耦合動力學特性建模。