指向深度學習的教學實踐與思考
——以指數函數與對數函數教學為例

北京理工大學附屬中學 (100089) 金永濤

深度學習,是在教師引導下,學生圍繞著具有挑戰性的學習主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習活動[1].深度學習強調教師主導下的學生主動參與、積極建構、強調學生的教育性發展.在這一過程中,學生通過掌握學科核心知識,把握學科本質和思想方法,理解學習過程,形成積極的內在學習動機并獲得發展.

數學教學是思維的教學,羅增儒教授指出:數學家創造了數學知識,數學教師創造了對數學知識的理解.只有教師具有深度教研的意識、能力和素養,在日常教學中一貫堅持指向深度學習的教學設計與實踐,才能更好地培養和提升學生的數學思維能力和思維品質,落實數學核心素養.

1 問題提出

2 指數相關函數的對稱性探究

學生的解答過程如下:

圖1

2.1 學生的困惑與疑問

雖然得到了f(x)的圖像,但學生并不能理解,為何指數函數不具有對稱性,而f(x)卻具有對稱性;指數函數存在漸近線,f(x)是否存在漸近線.

2.2 指向深度學習的教學設計

為了引導學生深入探究f(x)的函數性質及其內在聯系,提出如下思考問題.

引導思考1 你知道哪些與指數函數有關的奇函數、偶函數?

學生回顧并給出形如y=2|x|、y=2x+2-x是偶函數,y=2x-2-x、y=2-x-2x是奇函數.引導學生梳理已有知識儲備和學習經驗,為進一步發現、探究指數相關函數的對稱性做好鋪墊和準備.

引導思考2 上面的奇函數和偶函數與f(x)有什么關系呢?怎么探究它們之間的關系呢?

引導思考3f(x)是否存在漸近線?

引導學生回顧指數函數的漸近線,不僅在函數圖像上有所呈現,也可以借助解析式從數量關系上給出描述,啟發學生借助f(x)的解析式研究漸近線的數量關系.

圖2

2.3 教學反饋與評價

為了鞏固、強化學生的認識和理解,教師提出下列問題.

圖3

學生嘗試1 判斷f(x)的圖像是否關于點(0,f(0))成中心對稱,等價于驗證函數是否滿足f(-x)+f(x)=1恒成立,整理可得上述結論是成立的.

3 對數相關函數的奇偶性探究

3.1 學生的困惑與嘗試

雖然問題給出完整解答,但學生不能準確理解f(x)為何是奇函數,函數的什么性質是使其成為奇函數的核心因素;既然f(x)是奇函數,能否進一步研究函數的性質,嘗試作出函數的圖像.

圖4

嘗試2 系統研究f(x)的其他性質(單調性、零點、漸近線等),嘗試作出f(x)的圖像.

(1)函數的單調性:由u(x)在(-2,2)上遞減;根據單調性的定義,對任意的x1,x2∈(-2,2)且x1u(x2),進而一定有f(x1)>f(x2),所以f(x)在區間(-2,2)上單調遞減.

(2)函數零點:易知x=0是函數唯一的零點.

(3)漸近線:當x>-2且x→-2時,u(x)→+∞則f(x)→+∞;當x<2且x→2時,u(x)>0且u(x)→0則f(x)→+∞.可知,x=-2和x=2是f(x)的兩條漸近線.

根據f(x)性質可作出函數的圖像(圖5).

圖5

3.2 指向深度學習的教學設計

基于上述嘗試,引導學生從“數”與“形”兩個方面,探究、思考f(x)成為奇函數的影響因素.

引導思考1 觀察函數u(x)、f(x)的圖像(圖6),你能從u(x)的取值分布判斷出f(x)的奇函數性質嗎?

圖6

觀察圖像后,學生很難由u(x)判斷出f(x)為奇函數.教師指出,函數圖像固然直觀,但有時很難呈現函數性質的深層次信息,要借助解析式從數量上給出精準的刻畫.

引導思考2 對于函數關系式f(-x)=-f(x),真數u(x)具有什么性質?

3.3 教學反饋與評價

為了鞏固、強化學生的認識和理解,教師提出下列問題.

思考問題1 你能給出一個與對數有關的函數且為奇函數的例子嗎?

有了前面的經驗積累,學生能夠有意識地研究函數性質,得到函數為奇函數這一結論.

(1)定義域為(-∞,+∞).

(4)取值趨勢與漸近線:當x→+∞時,u(x)→+∞,u(x)→2x且u(x)>2x,則f(x)→+∞;當x→-∞時,u(x)→0且u(x)>0,則f(x)→-∞.從上述分析可得y=2x與y=0是u(x)的兩條漸近線.

基于上述分析,作出u(x)的圖像(圖7),在繪制f(x)圖像時,很多學生參考u(x)的圖像作出f(x)的圖像(圖8).此時,教師進一步引導學生思考:①這樣作圖的根據是什么?②繪制f(x)圖像時,我們可使用的信息有哪些?學生思考后發現,由y=2x是u(x)的一條漸近線,當x→+∞時,f(x)→lg2x,從而判斷出圖8中f(x)的圖像是錯誤的;當x<0時,由f(x)是奇函數,作出f(x)的圖像(圖7).

圖7

圖8

4 教學反思

4.1 發現問題和提出問題是開展深度學習的最佳支點

問題是數學的心臟.發現和提出問題,是自主學習與深度學習的最佳支點.對題目1和題目2的教學,都是在學習過程中發現并提出了學生普遍存在的一個共性問題,對學生有一定的挑戰性,學生通過解決問題實現了對知識與思維的深刻理解,有助于學生形成科學、規范的研究方式.好的數學問題,不僅可以激發學生的學習興趣,還能啟迪學生的思維,促進學生對數學的深層次理解.創設恰當的情境,鼓勵學生發現和提出問題,有利于提升數學思維能力,有利于提升學生的研究能力和創新意識,有利于培育學生的批判思維和理性精神.

4.2 深度教研是深度學習的根本前提

深度學習開展的效率與質量,究其根本取決于教師的深度教研意識、能力和素養.只有教師不斷踐行指向深度學習的教學設計與實踐,以學生的認知發展規律為基礎,以實現知識理解的系統性和深刻性、探究和把握數學知識本質為根本,以揭示知識蘊含的數學思維、靈活運用數學思想方法創造性地分析和解決問題為核心,才能更好地培養學生的高階思維能力,落實數學核心素養.

4.3 學法指導是深度學習的根本保障

教師不僅要研究教學,還要研究學法,站在學生的視角審視數學學習.在題目1中,學生習慣于“就題論題”,通過設置有梯度、有層次的思考問題,引導學生將思考不斷引向深入,逐步探究問題的本源,有助于培養學生的理性精神與批判思維.引導學生有效開展觀察與分析、數學運算與邏輯推理、交流與反思,提升學生的數學綜合能力.培養學生深度學習的意識,提升高階思維能力;培養學生的探究意識,努力揭示知識的本質和問題的本源;培養學生的多元思維,提升遷移能力、發散思維和創新意識.