理清算理算法 提升運(yùn)算素養(yǎng)
——以一道解析幾何題為例

江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225007) 褚玉霞

江蘇省揚(yáng)州市教育科學(xué)研究院 (225009) 戚有建

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng),明確把“數(shù)學(xué)運(yùn)算”列為六大核心素養(yǎng)之一,明確了“數(shù)學(xué)運(yùn)算”的定位:數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).通過運(yùn)算可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),養(yǎng)成實(shí)事求是、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.“數(shù)學(xué)運(yùn)算”主要表現(xiàn)為:理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果.

教學(xué)中,很多教師片面的將數(shù)學(xué)運(yùn)算理解為追求速度、技巧、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練,這樣的訓(xùn)練方式對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升是低效的.實(shí)際上數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理的一種形式,數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開算理的支撐.算理是客觀存在的規(guī)律,能為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供正確的思維方式,從而保證運(yùn)算的合理性和正確性.算理是在把握問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,從格局上合理布置運(yùn)算的各個(gè)環(huán)節(jié),使運(yùn)算承上啟下、有條不紊和結(jié)構(gòu)緊湊,便于運(yùn)算過程的自然展開,算法是一個(gè)將需要引入的運(yùn)算法則、定理、公式組織成一個(gè)緊湊的系統(tǒng),形成運(yùn)算的一套程序.每個(gè)運(yùn)算環(huán)節(jié)中都蘊(yùn)含著相應(yīng)的“算理”,我們應(yīng)該幫助學(xué)生分析這些算理,從而指導(dǎo)運(yùn)算,讓學(xué)生體會(huì)到算理是進(jìn)行一類運(yùn)算的客觀規(guī)律,進(jìn)而提高運(yùn)算的嚴(yán)密性和可操作性.本文以一道解幾題為例,談?wù)劰P者在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)和提升方面的一些做法和思考.

二、教學(xué)案例

圖1

點(diǎn)評(píng):解法1通俗易懂,學(xué)生容易想到,其中對(duì)方程(m2+8)x2+4m2x+4m2-32=0的認(rèn)識(shí)是關(guān)鍵,可能有學(xué)生擔(dān)心此二次方程的根會(huì)很復(fù)雜、會(huì)是無理根,實(shí)際上,此二次方程的根肯定是有理根,不會(huì)是無理根,因?yàn)榇朔匠虒?shí)際上已經(jīng)知道一根是-2.另外此二次方程實(shí)際上可以化簡(jiǎn)為一次方程,因?yàn)橛幸粋€(gè)因式是(x-2)．

導(dǎo)圖3:設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)→

點(diǎn)評(píng):解法3以P點(diǎn)的坐標(biāo)P(x0,y0)為參數(shù),看起來有2個(gè)參數(shù),但這2個(gè)參數(shù)滿足橢圓方程,所以可以通過方程的變形整體消參,這里對(duì)方程的代數(shù)變形要求較高.另外,解法1、解法2都需要將直線和橢圓的方程聯(lián)列,而解法3不需要方程的聯(lián)列,所以解法3運(yùn)算的效率更高,充分彰顯了解析法的特點(diǎn)和方程的魅力.

分析4:根據(jù)分析3,本題可以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo),P點(diǎn)坐標(biāo)包括三角形式.

點(diǎn)評(píng):解法4和解法3本質(zhì)上是一樣的,但解法4比解法3運(yùn)算路徑更短、運(yùn)算效率更高,因?yàn)榻夥?中只有一個(gè)參數(shù).

三、教學(xué)思考

1、明晰運(yùn)算對(duì)象是提升運(yùn)算素養(yǎng)的前提

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》指出,數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).可見明晰運(yùn)算對(duì)象是思路探究、程序設(shè)計(jì)、方法選擇的前提和起源．所以我們要結(jié)合運(yùn)算情境,引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次觀察運(yùn)算對(duì)象,得到不同的表達(dá)形式,即運(yùn)算對(duì)象的多元表征,挖掘運(yùn)算對(duì)象的內(nèi)涵和背景,從而探究運(yùn)算思路,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序．

2、理清算理算法是提升運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵

當(dāng)前,很多教師在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí)側(cè)重于技能的訓(xùn)練,將數(shù)學(xué)運(yùn)算變成了追求速度、技巧、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練,這樣的訓(xùn)練方式對(duì)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的提升是盲目的、低效的.實(shí)際上,數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理的一種形式,數(shù)學(xué)運(yùn)算離不開算理的支撐.算理是客觀存在的規(guī)律,能為數(shù)學(xué)運(yùn)算提供正確的思維方式,從而保證運(yùn)算的合理性和正確性,提高運(yùn)算的嚴(yán)密性和可操作性.

3、親身體驗(yàn)過程是提升運(yùn)算素養(yǎng)的根本

很多教師在進(jìn)行運(yùn)算教學(xué)時(shí),重視思路分析卻忽視讓學(xué)生真正動(dòng)手去算,從而導(dǎo)致部分學(xué)生不愿算、不敢算、不會(huì)算．忽視學(xué)生的親身體驗(yàn),運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的積累、運(yùn)算素養(yǎng)的提升是一句空話．因此,只有讓學(xué)生親身經(jīng)歷完整的運(yùn)算過程,把分析運(yùn)算條件、探求運(yùn)算思路、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果這些過程還給學(xué)生,才能充分培養(yǎng)他們的運(yùn)算素養(yǎng),優(yōu)化他們的思維品質(zhì)．