作業欄目“數學思考”設計研究

福建師范大學附屬福清德旺中學 (350319) 周 寧

福建省福州教育研究院 (350003) 余小萍

2021年7月,《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》(以下簡稱“意見”)中指出:提高作業設計質量,發揮作業診斷、鞏固、學情分析等功能,系統設計符合年齡特點和學習規律、體現素質教育導向的基礎性作業,鼓勵布置分層、彈性和個性化作業.[1]《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“課標”)中指出,學業質量考查內容應圍繞數學內容主線,聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用,強調基礎性、綜合性;注重數學本質、通性通法,淡化解題技巧;命題時,應有一定數量的應用問題,還應包括開放性問題和探究性問題,重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識,問題情境的設計應自然、合理.[2]為積極貫徹落實《意見》和《課標》要求,數學科作業布置應落實基礎性、綜合性、應用性和創新性的“四翼”考查要求.本文研究在校本作業中設計“數學思考”欄目,以期提升作業設計和實施質量,提高學生發現、提出、分析和解決問題的能力,落實核心素養的培養.

一、“數學思考”欄目的設計目的

2019人教A版高中數學教科書(以下簡稱教材)在課后習題中設計三個欄目“復習鞏固”、“綜合應用”以及“拓廣探索”,其中“拓廣探索”中的習題具有較強的拓展性、探究性和綜合性,但類型和呈現方式較為單一.筆者思考能不能在讓作業內容的形式更多樣,讓學生能不能多思考一點,多一點文字表達,而不僅僅是純粹的解題.因此在作業中設計欄目“數學思考”,通過該欄目習題的作答,培養學生的思維能力和創新意識,讓學生明白“思考什么”以及“如何思考”.

“數學思考”欄目應達成以下目標:

1.能夠理解數學問題,能夠提出數學研究的新對象和新內容,發展合情推理和演繹推理能力,培養發現問題和提出問題的能力;

2.能夠理解數學本質,能夠有邏輯地表達數學事實與觀點,提升語言表達能力和邏輯推理能力,培養分析問題和解決問題的能力;

3.學會獨立思考,體會數學的基本思想和思維方式.

二、“數學思考”欄目的設計原則

“數學思考”欄目的設計需遵循以下三個原則:

1.思想性:思想性體現在對數學概念的本質理解,體現在對數學思想方法的深刻認識,思想性的考查應聚焦問題解決的思維過程.題目的設計應基于對知識本質理解的轉化解決問題,培養抽象、推理、模型等思維特征,促進學生思維的深刻性、靈活性、敏捷性等品質的發展,發展關鍵能力,提升核心素養.

2.發展性:發展性體現在題目蘊含的數學思想和方法具有普適性,培養學生通過遷移數學思想方法發現并解決新問題的能力,發展自我學習的能力.題目考查的知識方法應立足于基礎知識、基本方法和基本思想,既符合現階段學生的知識基礎和認知水平,又能在問題解決的過程中突破現有數學思維水平的限制,發展高階思維.

3.創新性:創新性體現在題目的開放性,鼓勵學生運用創造性、發散性思維分析問題和解決問題,培育學生的創新精神.欄目設計拓廣探索性試題,給學生很大的思考空間和選擇權力,可以根據自己的特點選擇、設計問題,選擇解題方向和方法,培養獨立思考能力和批判性思維品質,對核心素養的培養更有效.

三、“數學思考”欄目的設計策略

1.設計整理類問題,讓數學思考更有系統性

整理類問題是指設計問題引導學生對知識內容、思想方法進行反思,將知識方法條理化、邏輯化,提高抽象概括和解決問題的能力.通過對知識內容的整理,促進學生厘清知識聯系,把握知識脈絡;通過對解題策略的梳理,促使學生提高從個例到類型的抽象,歸納問題解決的通性通法,體悟數學思想方法,提高數學研究的品質.

案例1 (1)思考教材(選擇性必修一)P108例3以及P126練習1.你能否在下面習題背景中用斜率將圓錐曲線統一起來?證明你的結論.

習題背景:設A,B兩點的坐標分別為(0,-a),(0,a),直線AM,BM相交于點M.

(2)你還可以用其他量將圓錐曲線統一起來嗎?證明你的結論.[3]

(2)可以用距離統一圓錐曲線.設平面內動點M到定點F與定直線l(F?l)的距離之比為e,則當01時,M的軌跡為雙曲線.證明略.

設計意圖:教材習題對圓錐曲線的第二、第三定義有呈現,但較為分散.本案例讓學生對相關習題進行梳理,通過統一定義整體認識圓錐曲線的本質特征,理解圓錐曲線存在的條件以及所包含的幾何性質.

2.設計改錯類問題,讓數學思考更有嚴謹性

改錯類問題是將一些經典問題的錯誤解答作為素材,讓學生進行辨析,發現錯因并糾正.這類問題通常是由于學生對問題整體理解不正確或某個易錯點沒有認識到位,導致易錯、反復錯.當學生進行糾錯時,會促使其反省,對錯解進行嚴謹思考,在問題解決的過程中培養思維批判性和嚴謹性.

案例2 有同學給出下列問題的解答過程.請判斷解答是否正確.如果不正確,請在錯誤的地方畫橫線,給出正確的解答并簡要說明錯誤的原因以及對問題的認識.

問題已知2≤x+y≤3,-2≤x-y≤-1,求3x+y的最值,并說明此時x,y的取值.

對錯解的認識:由已知不等式可知x與y是相關的,不是孤立的,因此不能分別求出x,y的范圍再對問題求解,需利用整體的思想將已知條件x+y,x-y視為兩個變量,將2x+y用這兩個變量表示,就可以避免上述的錯誤.

設計意圖:學生在應用不等式性質求解一些代數表達式范圍時,經常會忽視應用性質的前提是變量之間不相關,所以會出現經典的錯誤:分別求各變量范圍再應用不等式性質求范圍.該錯解會擴大所求范圍,由于該內容是必修一第二章的內容,而且沒有線性規劃相關知識的支撐,所以設計問題“求3x+y的最值,并說明此時x,y的取值”,意圖讓學生發現x和y是互相制約的兩個變量,x取最小(大)值時,y未必能同時取到最小(大)值,從而喚醒學生整體的意識解決問題.

3.設計疑難類問題,讓數學思考更有深刻性

疑難類問題是指在一些在教學過程不好處理的問題,或是因為內容較為復雜,或是內容涉及超出高中教材.這些問題雖不宜作為課堂教學的內容,但若設計作為課后思考,給予充足的背景資料,讓學生有充分的時間進行深入思考,有助于深化教學內容,提高對數學本質的理解和認識.

案例3 一般來說,兩個復數只能說相等或不相等,而不能比較大小,只有復數為實數的情況下才有大小關系.為什么一般情況下復數不能比較大小?

數學研究的基本結構有代數結構、序結構和拓撲結構.數的大小關系是一種序,但是數系中序關系要成為大小關系,要求滿足下列條件:

①對數系中的任意兩個數a,b,a

②對數系中的任意兩個數a,b,如果a

③對數系中的任意兩個數a,b,如果a

④對數系中的任意兩個數a,b,c>0,如果a

(1)有同學給出復數比大小的一種定義:

如果兩個復數z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,如果a>c,則a+bi>c+di;如果a=c,則若b>d,則a+bi>c+di.請問這種定義合理嗎?為什么?

(2)有同學說在復數系上無法定義滿足上述四種條件的復數比大小規則,請問這種說法正確嗎?為什么?

參考解答:(1)這種定義不合理.這種定義滿足①②③,但是不滿足④.因為i=0+1×i,0=0+0×i,所以由該定義可得i>0,但由④可得,i×i>i×0,即-1>0,矛盾.

(2)由①可知,i與0的關系只能是i>0與i<0之一.

如果i>0,根據④可得i×i>i×0,即-1>0;根據③可得-1+1>1+0,即0>1,由④可得0×(-1)>1×(-1),即0>-1,矛盾;如果i<0,根據③可得0+(-i)>i+(-i),即-i>0;根據④可得0×(-i)>i×(-i),即0>1;因為-i>0,根據④可得,0×(-i)>1×(-i),即0>-i,矛盾.

所以無法定義滿足上述4個條件的復數比大小規則.

設計意圖:在復數教學中,教師沒法對復數的大小關系進行詳細說明,只能匆匆帶過“復數只能相等或不相等,而不能比較大小,只有復數為實數的情況下才有大小關系”.這是由于涉及對數集結構的高等認識,無法在課堂教學展開.數學是講“理”的學科,任何規定都有其必然性和合理性,因此通過本問題讓學生深刻明白復數不能比大小的原因,并初步了解“序關系”“大小關系”等高等數學知識,激起對數學的興趣和求知欲.

4.設計拓廣類問題,讓數學思考更有主動性

拓廣類問題是指通過典型例題的解決,能夠進行類比聯想,將問題推廣得到一般性結論.通過這類問題的解決,讓學生感悟知識間的聯系性和思想方法的普適性,深層次啟發學生數學思考能力,被動做題轉化為主動思考,在知識方法的思辨、歸納、拓展、延伸的過程中,拓寬思維寬度,拓展思維的廣度,挖掘思維深度,提升思維高度.[3]

案例4 (1)求(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展開式中x4的系數;

參考解答:(1)x4的系數為(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.

設計意圖:計數原理是最基本也是最重要的計數方法,雖近乎常識但應讓學生意識到原理的重要性,要能夠用原理本身來分析問題和解決問題.二項式展開式的推導就是計數原理應用的典例.通過問題(1)讓學生回顧計數原理和組合知識推導二項式定理的基本思想,厘清展開式x4得到的過程,加深對原理的理解,為問題(2)的解決做好鋪墊.要解決問題(2),除了要理解計數原理還需要遷移對二項式定理展開式項的結構的認識,也可以通過一般到特殊的推理來發現.問題(2)還考查學生的符號一般化能力,培養抽象概括能力.

5.設計探究類問題,讓數學思考更有創造性

探究性問題是指在問題中提供一定的數學事實,要求學生能夠通過觀察、分析數學事實,提出有意義的數學問題、規律或結論,并給出解釋或證明.它的主要特點是開放性,條件和結論有可能都是需要自己去發現的,有時還不是唯一的,因此學生可以廣泛參與問題的探究.探究性問題的求解更加富于思維創造性,有助于真正調動學生解決問題的主動性與積極性,激發良好的自主求知欲和學習創新性.

案例5 (2022屆福州5月質檢第17題)已知數列{an}的各項均為正數,記Sn為{an}的前n項和,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①a2=2a1;②數列{lnan}是等差數列;③數列{Sn+a1}是等比數列.

參考解答:①②?③,①③?②,②③?①均成立.下面以①②?③為例.

設計意圖:本案例的條件和結論都是模糊的,需要學生判斷給出條件的復雜程度.一般思維的方向是由簡單到復雜.比較①②③可知,①給出的信息是最清晰,②考查等差數列的定義及對數運算,③考查等比數列的定義及Sn與an的關系或Sn的公式等,因此合理的選擇①②?③.在分析比較的過程中,學生需要作出合適的評估和選擇,對學生的意志力和隨機應變能力提出了較高的要求,體現理性思維、數學探索的考查目標,全方位考查學生的信息加工重構能力、問題表征能力以及解題策略監控與調整能力,凸顯素養導向.[5]

四、結語

總之,“數學思考”欄目應有意識地引導學生通過習題的解答進行數學思考,思考知識的本質和內在的規律,概括和強化數學基本思想,在“感知→熟悉→內化”的過程中進行深度思考,讓理性思維走向理性精神,提升思維品質.