為何錯解如此流行
——老調重彈函數的單調性

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 田富德

不等式恒成立問題一直是高考、各類省市質檢的熱點.解決此類問題,最終均轉化函數的最值問題,而函數導數是求解函數最值的重要方法.為了增加試題靈活性和簡潔性,ex與lnx備受命題者的青睞.近幾年,ex與lnx同時出現的題也如雨后春筍,直接構造函數求解往往比較復雜甚至不可解,利用同構策略結合函數的單調性大大減少了運算量,這也讓廣大師生把同構研究得更透徹.

1 同構思想的含義

導數問題中經常出現含參等式或不等式,很大一部分題是命題者利用函數單調性構造出來的,如果我們能找到這個函數模型,無疑大大加快解決問題的速度．即通過變形,使式子左右兩邊結構形式完全相同,找到不等式兩邊對應的同一函數模型,這就是同構法．例如:若F(x)≥0能等價變形為f[g(x)]≥f[h(x)],然后利用f(x)的單調性,如遞增,則轉化為g(x)≥h(x),簡化式子,事半功倍．同構思想的本質是借助于函數的單調性性質對條件進行等價變換.

二、同構思想解題

例1 (2020山東高考)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

綜上,a≥1.

點評:顯然原不等式可化為aex-1-1+lna≥lnx,屬于指對數混合型不等式恒成立問題,顯然參數a是不可分離的,只能選擇直接構造函數求導,此時往往導數較為復雜,上述解法利用函數單調性性質將原不等式等價轉換為aex-1≥x,顯然大大化簡了原不等式,接下來解題就勢如破竹了,這也是同構解題策略受廣大師生青睞的原因.

三、為何錯解如此流行

筆者剛好帶了一屆高三,各地質檢卷做了不少,發現網上提供的解答、學生的答卷上、甚至部分老師提供的解答都清一色的犯了一個共同的錯誤——忽略了單調性變量取值的任意性,違背了“定義中的x1,x2均為區間內的兩個任意取值,取值彼此互不依賴、互不影響.”錯用單調性的定義進行解題.又由于錯解所得到的結果與正解的結果一致,故得到錯解的人還會以為自己獲得了妙解.

1.錯解展示

單調性經典錯誤性質:?x∈E,當g(x)、h(x)∈D且g(x)f(h(x)),則函數f(x)在區間D上單調遞減.

說明:本文約定,對于不等式f(g(x))

錯因分析:雖然錯誤性質的變量x具有任意性,但對f(x)來說,內層函數變量的兩個取值g(x)、h(x)并不具有任意性,呈相互影響、相互約制關系,違背了單調性定義的變量取值任意性,因此,錯誤性質條件下,得不到f(x)的單調性.

正確性質:“?x∈E,當g(x)、h(x)∈D且g(x)f(h(x))”是“函數f(x)在區間D上單調遞減”的必要不充分條件.

本文展示筆者所在省份的3道題的錯誤解法.

例2 (2022年漳州3月質檢)已知f(x)=x2-x-alnx.

(1)若a=1,求f(x)的最小值;

(2)當x≥1時,f(2x-1)-2f(x)≥0,求a的取值范圍.

錯因分析:注意到上述解題過程中由“g(x2)≥g(2x-1)及x2≥2x-1”得到“g(x)在區間[1,+∞)單調遞增”,解題者忽略了x2與2x-1并不任意取值,當其一確定,另一個變量的取值也隨之確定.

例3 (2022年泉州1月質檢)已知函數f(x)=ax-ex,?x∈(1,+∞),f(x)

A．(-∞,1)B．(-∞,1]

C．(-∞,e)D．(-∞,e]

錯解:因為alnx+a-ex=a(lnx+1)-elnx+1,所以?x∈(1,+∞),f(x)f(x)在(1,+∞)恒成立,因為1

錯因分析:注意到上述解題中由“f(lnx+1)>f(x)及1

(1)當a=2時,f(x)≥3恒成立,求b的值;

(2)當02時,f(x)>bln[a(x-1)]恒成立,求b的取值范圍.

2.反例展示

例5 已知函數f(x)=(x-1)(x-a),?x∈[0,+∞),f(2x)≥f(x)恒成立,求a的取值范圍.

正解:依題意有(2x-1)(2x-a)≥(x-1)(x-a)在x∈[0,+∞)時恒成立,即3x2-x≥ax在x∈[0,+∞)時恒成立,即a≤(3x-1)min,x∈[0,+∞),從而有a≤-1.

流行原因分析:錯解能得以流行的重要原因,其一,錯解所得結果與正解所得結果一致,才有機會讓大家認可錯解,忽略錯因;其二,正解過程可能繁雜,或是遇繁而退或是遇難而另辟蹊徑,不小心誤入錯解.如例5所示,兩種結果一致,如例2、例3及例4所示,大家可以網上查閱正確解法,皆比錯解相對繁雜.

那么問題來了,我們總是可以利用錯解得到答案,是不是對任何試題錯解都能得到正確結果呢?答案顯然是否定的.我們看如下反例:

例6 已知函數f(x)=(x-1)(x-a),?x∈[1,+∞),f(2x)≥f(x)恒成立,求a的取值范圍.

正解:依題意有(2x-1)(2x-a)≥(x-1)(x-a)在x∈[1,+∞)時恒成立,即3x2-x≥ax在x∈[1,+∞)時恒成立,即a≤(3x-1)min,x∈[1,+∞),從而有a≤2.

在例6中,顯然錯解得不到與正確一樣的結果,那又為什么錯解在眾多試題屢屢成功騙到結果呢?對比例6與例2、例3、例4及例5的區別,可以發現例6在變量x起點處x=1時,內層變量不相等“2x≠x”,在例5中變量起點處x=0時,內層變量相等,即“2x=x”,這在例2、例3及例4也滿足了類似的條件.

為什么眾多試題均不更換區間起點來避開上述類似條件?筆者也嘗試考試過更換例2、例3及例4的恒成立區間,都發現要么過程繁雜或幾乎不可解,大家可以嘗試看看,顯然恒成立區間起點處內層變量相等受命題者的青睞.

在恒成立區間起點處內層函數變量相等的前提下,對于錯誤性質是不是就成立了呢?答案也是否定的.我們再看如下反例:

例7 已知函數f(x)=(x-2)2(x-a),?x∈[0,+∞),有f(2x)≥f(x)恒成立,求a的取值范圍.

在例7中,滿足了變量起點處x=0時,內層變量相等,即“2x=x”,但利用錯誤性質仍不能得到正確結果.對比例7與前述例題,重大區別是,在參數變化中,例7的函數可能有3個單調區間,而例1至例6的函數均至多兩個單調區間,盡管有的函數求導復雜,但單調區間并不多.在例1至例5中,恒成立區間起點處內層變量相等保證了在起點處附近函數只能單調遞增,這樣排除了先減后增的情況,先增后減又顯然違備條件,因此在同構時,內層函數至多兩個單調區間且區間起點處內層變量相等,錯解可以得到正確的結果.但當內層函數可能3個或更多個區間時,錯解就幾乎不可能得到正確的結果了.

解題研究是中學數學一線教師及教研人員必做的功課,只能深刻理解試題背景蘊含的本質,才能站在至高點上引導學生解題,函數題海博大精深,本文旨在拋磚引玉,讓更多的老師把此類問題研究的更加透徹,相互學習.