高中數學習題課教學的幾點思考
——以一道解三角形高考題的教學為例

江蘇省溧水高級中學 (211200) 方金寶

高中階段數學的學習離不開解題,習題課教學就是圍繞解題展開.習題課教學主要有:深化基礎知識、消除學習障礙、糾正存在問題、梳理知識結構、完善知識系統、提高數學能力、發展核心素養等功能.根據教學內容的特點與目標,習題課的類型分為以下幾種:單元知識完結后的習題課、章節知識完結后的習題課、模塊知識完結后的習題課、主干知識完結后的習題課、專題問題為主題的習題課.在新課程理念影響下,對高中數學習題課的教學本人做了些嘗試和思考,本文是筆者關于解三角形的一道高考題的教學實錄和思考,用以拋磚引玉.

一．教學實錄

師:今天我們來繼續解三角形問題的學習,下面我們來一同探究2021年的這道高考題.

題目△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b2=ac,D為邊AC上一點①,AD=2DC②,且BD=b,求cos∠ABC.

生4:根據條件①、②知點D是三等分點,如圖1,分別過點A、D作AF⊥BC、DE⊥BC,垂足分別為點F、E.設DE=t,BF=x,EC=y,在Rt△AFC中,(3t)2+(3y)2=b2;在Rt△BDE中,t2+(x+2y)2=b2;在Rt△ABF中, (3t)2+x2=c2,聯立方程組,消去t、x、y,得b、c等量關系,又∵b2=ac,消去b,也能得到a、c等量關系.

圖1

圖2

師:由以上多種解答思路不難看出,本題入口寬、方法多,很好地考查了解三角形的有關知識及思想方法,是一道質量很高的選拔性試題.大家思考下這道題的各種解法背后都滲透著什么樣的數學思想方法.

生7:都是先將幾何條件轉化為代數條件再運算.

師:有沒有同學需要補充的?

生8:都是立足方程的思想來求解.

師:都說的很好,解三角形是高考的重點和熱點問題,主要考查大家的基礎知識及基本技能.這類問題通常蘊含著豐富的數學思想,想著力考查大家的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養.2021年新高考I卷第19題就是具備以上特點的一道好題.鑒于時間原因,課后大家把剛才六位同學講的思路認真演算和整理出來,用心體會,舉一反三,真正達到做一題會一類的水平.

二．教學反思

1.解三角形問題的必備意識和思想

求解三角形問題時要必備兩個意識和五種數學思想,兩個意識主要指邊角互化意識和信息可視化意識.在解三角形問題所給條件中往往既有角又有邊,這就需要我們利用正余弦定理把二者進行互化,達到邊角統一的目的.我們皆知若題中給出代數關系式,則需要我們對其進行變形,考查的是數學運算;若給出幾何關系,則需要我們將幾何條件轉換為代數式,考查的是推理論證.圖是初等數學的生命線,能不能用圖支撐思維活動是能否學好初等數學的關鍵.清晰、干凈、準確的圖形能幫助我們迅速找到題目所給的所有信息,可以大大提高解題效率.

五種數學思想主要指方程思想、不等式思想、函數思想、平面向量思想和解析幾何思想.求解有關字母值的問題多用方程思想;而處理有關范圍和最值的問題時常常會用到不等式和函數的思想;向量是數學中刻畫既有大小又有方向的量的數學語言,因此處理有關長度和角度的問題時,也用向量來刻畫;解析幾何的研究對象是平面幾何圖形,思路是用代數的方法研究幾何問題,三角形是最常見的平面圖形之一,因此常常也用這個方法來研究.

2.關于高中數學習題課教學的幾點思考

通過一段時間來的探究和學習,發現習題課的教學模式主要有精選例題,解法研究,拓展思考,反思總結等階段.無論什么階段的習題課教學,首先都是要選擇合適的題.一般來說,選題主要遵循如下標準:針對性(層次、適量、豐富)、科學性(邏輯、正確)、創造性(靈活、探究).簡而言之就是要選擇有想法有思維的題,這樣才能最大限度地引導學生在數學思維的海洋中翱翔.解題主要有三個過程:理解題意,分析題目,解答問題.當然最后不可缺少的一個環節就是反思,帶領學生反思解題過程,反思條件結論,反思解題方法和策略.重視解題后的反思有益于學生對問題進行深入的探究,達到“做一題會一類”的效果.

《深化新時代教育評價改革總體方案》要求高考試題全面深化基礎性考查,貫徹課程標準提出的發展學生核心素養的指導目標,明確學科核心素養的內涵、范疇和考查路徑,加強數學思想方法的滲透,深入考查學生的基本知識和關鍵能力,優化試題設計,加大開放題的創新力度,發揮數學高考的選拔功能,助力提升學生的綜合素質.深化基礎性考查主要指向思維的靈活性,而思維的靈活性主要體現在對數學概念的深度理解上,體現在數學思想方法的深刻認識上.數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本,是對數學規律的理性認識,也是數學知識到數學素養的橋梁.因此老師只有認真研究新課標、新教材,在平時的教學活動中引領學生領悟知識的本質,感悟數學的思想方法,積累基本的活動經驗,提升學生的核心素養,才能科學面對新高考.