一個二面角公式的應用與推廣

湖北省武漢市常青第一中學 (430024) 葉 莉

立體幾何中求解二面角問題是高考中比較重要的考查內容,主要考察學生的空間想象能力和計算能力,備受命題者的青睞.因此,掌握求二面角的一些特殊方法或公式是快速解決立體幾何問題的關鍵.本文是從一個公式出發,通過例題解析的方式探究二面角問題的解法,以期對讀者有所幫助.

圖1

cosγ=cosα·cosβ②.

下面以一道例題來說明公式的應用.

例1 (2022年湖北聯考題節選)如圖2,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E在CC1上,且CE=2EC1=2．試求二面角A-BE-A1的余弦值．

圖2

由例題1的計算過程可知,利用公式①求解,需要求3個角的三角函數值.然而有些題目中的三角函數值并不是很好求取.為此,我們需要把公式①進行一般化處理.

如圖3所示,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平BCD,AB=AD,G為BD中點.設點E在棱AD上,且DE=λEA.若二面角E-BC-D的平面角θ,GA=h,GD=m,∠CBD=β,則

圖3

根據題意,可知二面角E-BD-C的平面角等于90°,因此由公式②可得cosα=cosβ·cosγ.

對二面角E-BC-D,應用公式①,可得

圖4

(1)求證:平面OAC⊥平面ABC;

(2)若E為OC中點,求二面角E-AB-C的余弦值．

(2)由(1)知OD=1=h,DC=1=m,∠CAB=60°=β,因為E為OC中點,所以CE=EO,即λ=1.設二面角E-AB-C為θ,代入公式③得

例3 如圖5,在三棱錐S-ABC中,SA=SC,D為AC的中點,SD⊥AB.

圖5

(1)證明:平面SAC⊥平面ABC;

(2)若△BCD是邊長為3的等邊三角形,點P在棱SC上,PC=2SP,且二面角P-AB-C為30°,求VS-ABC的體積.

解:(1)因為SA=SC,D為AC的中點,所SD⊥AC, 又由于SD⊥AB,且AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC,又SD?平面SAD,從而平面SAC⊥平面ABC.