解決“指對同構“問題的一種簡單方法

江蘇省揚州市第一中學 (225000) 周定祥

利用同構法來解決函數恒成立問題是近幾年高考的熱點,而“同構”法中又以“指對同構”最為復雜,其隱藏深,構造方法巧妙會使大部分同學望而生畏.本文以2020屆新高考一卷第21題與江西八校2022屆4月聯考第12題為例來談談我的解法.

例1 (2020新高考一卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

解法一:∵aex-1-lnx+lna≥1,∴elnaex-1-lnx+lna≥1,∴elna+x-1-lnx+lna≥1,∴elna+x-1+lna-1≥lnx,∴elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x,∴elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx.

令g(x)=ex+x,即g(lna+x-1)≥g(lnx).下面討論g(x)單調性即可,過程略.

解法二:∵aex-1-lnx+lna≥1,∴aex-1+lna-1+x≥lnx+x,∴aex-1+lna+lnex-1≥lnx+x,∴aex-1+ln(aex-1)≥lnx+x,令g(x)=lnx+x,即g(aex-1)≥g(x),下面討論g(x)單調性即可,過程略.

觀察上面兩種方法的同構過程,需要學生具有較強的觀察能力和構造能力.一般采用法一的較多,法二更加不自然,對學生要求更高,那么有沒有簡化的方法?通過觀察法一的過程,發現最后轉化為討論g(x)=ex+x的單調性,也就是把原不等式中對數形式轉化成了指數形式.那可不可以開始就把對數式看成一個整體?

解法三:令t=lnx,則et=x①,原不等式轉化為t≤elna+x-1+lna-1②,兩式相加得et+t≤elna+x-1+lna+x-1,令g(x)=ex+x,得g(t)≤g(lna+x-1),即g(lna+x-1)≥g(lnx),下面討論g(x)單調性即可,過程略.

同理,觀察解法二的過程,發現最后轉化為討論g(x)=lnx+x單調性,也就是把原不等式中指數形式轉化成了對數形式,那可不可以開始就把指數式看成整體?

解法四:令t=aex-1,∵a>0,∴aex-1>0,∴lnt=lna+x-1①,原不等式轉化為t≥lnx-lna+1②,①②相加得lnt+t≥lnx+x.令g(x)=lnx+x,得g(t)≥g(x),即g(aex-1)≥g(x),下面討論g(x)單調性即可.

解法四摒棄了傳統“同構法“中的各種技巧,轉化為觀察等式與不等式的結構,通過加法得到”同構體“.降低學生上手的難度,當然最基本的同構知識還是要有比如:x=lnex=elnx.此方法有幾個注意點,首先,不等式即②式需要把t放到不等式一側,其余各式轉移到另一側,方便觀察,其次,觀察換元后的等式與原不等式之間的關系,可以相加也可以在保證同號的情況相乘.最后,如果相加或相乘后不能發現同構體,可以適當化簡.

例2 (江西八校2022屆4月聯考第12題)已知函數f(x)=log3(3x+1)+mx(m∈R)是偶函數,函數g(x)=2e(k-1)x-3lnx+(3k-5)x,若g(x)≥2m+1恒成立,則實數k的取值范圍為( ).

說明:法一為指數式轉化為對數式,也可以對數式轉化為指數式.