一類雙元型不等式成立求參問題解法探究
2023-06-01 10:11:36貴州省銅仁第一中學(xué)554300
中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西) 2023年6期
貴州省銅仁第一中學(xué) (554300) 王 鈺
在一些含有存在量詞或全稱量詞的導(dǎo)數(shù)綜合問題中,會出現(xiàn)含有兩個變元x1,x2的不等式恒成立或有條件成立求其中參數(shù)范圍問題,由于各類題中所給的數(shù)學(xué)用語的不同,這些問題也就體現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)函義,常見類型的問題經(jīng)過等價轉(zhuǎn)化后,可變形為下列不同情形的關(guān)于兩個函數(shù)最值的不等式問題.本文并通過幾個典型例題的分析點評,對此進(jìn)行分類歸納,以探求常見題型解題思路,僅供讀者參考.
一、對于?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)
點評:在轉(zhuǎn)化了由兩個量詞表述的不等式后,則題目就轉(zhuǎn)變成了如何求兩個函數(shù)的最大值與最小值的問題了,這里的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵,必須要正確無誤.
二、對于?x1∈D,?x2∈E,都有f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max
點評:本解法通過將問題轉(zhuǎn)化變成一個恒不等式,然后再進(jìn)行分離參數(shù)處理,轉(zhuǎn)化為求另外一個新函數(shù)的求最值問題,這是對一些復(fù)雜問題所采取的分層處理的重要措施.
三、對于?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)
點評:在本題中出現(xiàn)的是先任意,后存在的兩種量詞,由于用“≤”連接,則可轉(zhuǎn)化兩個最大值的不等關(guān)系,然后求出兩個函數(shù)最大值就是求解的重要部分了.
四、對于?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)>g(x2)成立,則f(x)min>g(x)min.
點評:本題與例3的條件類似,只是給出的不等式是用“≥”連接,但是對應(yīng)數(shù)學(xué)意義也是不同的,此處是轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)最小值問題,必須注意正確區(qū)分.
五、若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)>g(x2)成立,則f(x)max>g(x)min
點評:在將題目轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)的最大值與最小值問題后,再根據(jù)后面解題的需要,還需進(jìn)一步轉(zhuǎn)化,即經(jīng)過分離變量后轉(zhuǎn)化為一個新的不等式恒成立問題.
六、若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)
點評:在解題過程中,由于不能通過分離參數(shù)法解決問題,就采用了分類討論的方法,通過比較a在區(qū)間[1,e]上的位置,確定分段標(biāo)準(zhǔn),分析討論后才能確認(rèn)答案.
以上舉例介紹了雙元型不等式六類求參數(shù)范圍問題的轉(zhuǎn)化求解方法,這六類情形容易搞混,必須認(rèn)識清楚、理解到位.關(guān)于雙元型不等式成立求參數(shù)問題的求解方法是:遵循雙元化一元,逐一處理的策略,運用分離參數(shù)、分類討論的辦法.
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五、若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)>g(x2)成立,則f(x)max>g(x)min
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六、若?x1∈D,?x2∈E,使f(x1)
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