水平激振下飽和土中楔形樁動力阻抗分析

胡安峰，陳正，肖志榮，謝森林，陳奕揚

（1.浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州 310058；2.浙江科技學院 土木與建筑工程學院，浙江 杭州 310023）

近年來，一些異形樁因其各自的優點在工程中得到廣泛應用，起源于20世紀80年代具有良好承載性能的楔形樁便是其中一種.國內外已有學者［1-4］進行楔形樁相關承載能力的研究，相較于等截面樁，楔形樁側面受到地基土的法向力，不僅提供了向上的承載力，還提高了樁基的側摩阻力，使樁基的承載性能有較大的提升.

在理論研究方面，蔡燕燕等［5］基于平面應變模型得出了楔形樁樁頂的縱向振動阻抗的解析解.吳文兵等［6-7］考慮了樁體橫向慣性效應，利用Rayleigh-Love 桿模型拓展了楔形樁縱向振動理論，后利用剪切復剛度傳遞模型分析了樁側土存在擠土效應下的楔形樁縱向振動特性.王奎華等［8］研究了考慮微元樁段環形凸面與土相互作用的楔形樁縱向振動特性.之后，高柳等［9］進一步分析了施工擾動效應下的楔形樁樁頂橫向振動特性.王奎華等［10-11］結合試驗研究完善了楔形樁的動力響應特性，又基于非等截面樁體模型，研究了缺陷楔形樁的縱向振動特性.楊紫健等［12］推導了在Winkler 模型下黏彈性地基中的楔形樁位移、彎矩等解析表達式，探討了樁土設計參數對楔形樁時間與空間的響應影響.余俊等［13-15］在Biot 固結理論模型上對等截面樁做了較多研究，欒魯寶等［16］進一步拓展推導得到考慮豎向荷載的樁基水平振動解析解.鄭長杰等［17］基于土體三維波動理論分析了黏彈性地基中管樁的水平振動特性.

綜上可以看出，基于動力Winkler 地基模型下的楔形樁理論研究已較為完善，而基于Biot 飽和多孔介質理論的楔形樁水平振動特性研究還相對少見.已有研究［18］指出，土體滲透性對樁基動力響應具有顯著影響.相較于彈簧系數與黏壺系數采用經驗值的Winkler 模型，Biot 飽和多孔介質理論考慮了土骨架與孔隙流體的相互作用，能更好地描述飽和土體的性質.因此，本文基于此理論建立樁-土耦合模型來研究楔形樁的水平振動特性，探究楔角、長徑比以及土體滲透性對樁頂阻抗的影響.

1 數學模型

1.1 計算模型與假定

基于Biot 飽和多孔介質理論和Novak 薄層法建立楔形樁簡化計算模型，樁頂所受的簡諧激振為P?eiωt和M?eiωt，P為水平荷載，M為彎矩，i 為虛數單位，ω為圓頻率，t為時間.等截面樁體模型是目前研究楔形樁動力響應的一種較成熟的方法［5-7，12］，楔形樁楔角為θ，將樁-土系統由頂部到底部共等分為j層微段，從上往下依次標序1，…，k，…，j（如圖1所示），當樁-土系統分層數j足夠大時，每層的微段樁體單元可看視作等截面圓柱體.樁長為H，樁底半徑為rj，k層樁身微段半徑為rk=rj+(1-k/j) ?H?tanθ.

圖1 楔形樁樁-土系統簡化計算模型Fig.1 Simplified calculation model of pile-soil system of tapered pile

采用如下基本假定：

1）各層土體為飽和、均勻、各向同性的兩相介質，由一系列相互獨立的薄層組成，忽略土體的豎向連續性；

2）楔形樁為樁徑自上而下逐漸變小的彈性桿件，底部剛性支承，不考慮樁土接觸面間的摩阻力；

3）樁-土系統振動為小變形，樁土間完全接觸，且接觸面不透水；4）忽略楔形樁樁身頂、底所存在的微小突變，假設楔形樁樁身直徑從頂部至底部均勻變小.

1.2 基本方程與邊界條件

基于Biot 飽和多孔介質理論，可建立柱坐標下第k層樁周土的水平振動控制方程：

基于Euler 梁模型，土中k層樁段水平振動控制方程為：

式中：qsk為樁周土體動反力；Ep為樁體彈性模量；Ipk為樁段截面慣性矩；mpk為樁段單位長度質量；upk為k層樁段水平位移.

樁-土系統邊界條件如下：

1）土體位移邊界條件：

2）位移連續條件及滲透邊界條件：

3）樁底位移邊界條件：

式中：up為樁身位移.

2 方程求解

2.1 樁周土振動方程求解

引入位移勢函數：

式中：φsk、ψsk、φfk、ψfk分別代表k層土體中土骨架與流體的位移勢函數，其與r、θ相關，并包含時間因子項eiωt.

將其代入樁周土的水平振動控制方程，在后續的推導中可約去eiωt.利用分離變量法推得矩陣形式：

將式（10）及式（11）視為微分算子方程，要使方程有非零解，行列式為零，可得：

由微分算子分解理論，式（13）可分解為：

基于分離變量法，設φsk=φsk1+φsk2=R(r)Θ(θ)，結合樁土邊界條件以及修正貝塞爾函數的性質，可得勢函數如下：

式中：K1（*）為第二類修正貝塞爾函數.

同理可得流體相對于土骨架的位移wrk、wθk.

結合樁土接觸條件以及滲透邊界條件可得：

根據飽和土體本構關系可以確定土體應σr、τrθ和孔壓pf，進而得到k層樁段周圍土體水平動反力表達式：

2.2 樁基振動方程求解

樁基橫向振動方程解為：

式中：?k=，Ep為樁體彈性模量；Ipk為樁段截面慣性矩；mpk為樁段單位長度質量；W1k、W2k、W3k、W4k為待定系數，并進一步得到如式（24）表示的k層樁段位移變形矩陣關系.

式（24）可轉換為：

式中：[Sk(z)]為包含位移upk、轉角φpk、彎矩Mpk、剪力Qpk的矩陣形式，[Sk(z)]=[upk(z)φpk(z)Mpk(z)Qpk(z)]T；[Xk]=[W1k W2k W3k W4k]T；[Γk(z)]為式（24）中的4×4矩陣.

則可得k段底端與頂端的位移、轉角、彎矩、剪力關系滿足：

而任意樁段交界面處的位移變形一致[Sk-1(zk-1)]=[Sk(zk-1)]，則通過矩陣傳遞可以得到完整樁段樁底（Sj）與樁頂（S1）的位移等變形的關系矩陣：

各阻抗表達式實部代表動剛度，虛部代表能量消散的動阻尼，將水平阻抗、搖擺阻抗無量綱化，可依次得到歸一化后的水平動剛度Real(Kh)?、水平動阻尼、搖擺動剛度、搖擺動阻尼Imag(Kr)?，Ipj為樁底截面慣性矩.

3 樁土參數分析

假設樁周土為單一均質土，則樁-土系統計算參數如下：rj=0.5 m，H=10 m，θ=1°，ζk=0.01，αk=0.99，Mk=4.6 GPa，νk=0.35，nk=0.4，ρfk=1 000 kg/m3，ρsk=2 700 kg/m3，ρpk=2 500 kg/m3，Epk=30 GPa，Gk=10 MPa，kdk=10-6m/s，引入無量綱頻率.從 圖2中可看出，當樁段劃分層數j達到100時，對樁體的阻抗結果影響不大.

圖2 樁體劃分層數對計算精度的影響Fig.2 Influence of the number of pile layers on the calculation accuracy

3.1 樁體分層精度分析

在簡化計算模型中，楔形樁被劃分為j層直徑自上而下均勻變化的等厚薄層單元段.樁體分層數會對計算結果產生重要影響，分層數量太少會影響計算精度，分層數過多將增加無效計算量，因此有必要對楔形樁的最優分層數進行分析.計算時H取15 m，楔角θ取2°，其余參數同上文.圖2反映了樁-土系統劃分層數j對樁頂動剛度的影響.可以看出當劃分層數j達到50 時，計算結果趨于穩定.因此后續計算中，楔形樁劃分層數取50.

3.2 模型退化驗證

為驗證本文楔形樁-土耦合振動阻抗解的正確性，將楔形樁退化為等截面樁（令θ=0°，ζk=0），與余俊等［13］解進行對比.計算參 數：n=0.375，H=20 m，其余參數同上.從圖3中可以看出，兩種模型振動阻抗解吻合較好，從而驗證了本文解的合理性.

3.3 楔角對樁頂阻抗的影響

為研究楔角變化對楔形樁樁頂復阻抗的影響，保持楔形樁長度、樁底尺寸不變，楔角分別取：0°、0.5°、1.0°、1.5°.圖4 和圖5 反映了楔角對樁頂阻抗的影響.從圖4和圖5中可以看出，同一頻率下，樁頂水平阻抗、搖擺阻抗隨著楔角的增大而增大.增大楔角可以有效提高樁基動剛度和楔形樁-土系統的能量耗散速度.同時還可以看出，隨著激振頻率的增大，樁頂搖擺動剛度呈平緩增長的趨勢，而大楔角楔形樁水平動剛度則先增大后減小.因此在風電等受到低頻荷載作用的工程中可以增大楔形樁楔角以提高結構抵抗橫向變形的穩定性.

圖4 楔角對樁頂水平阻抗的影響Fig.4 Effect of wedge angle on the horizontal impedance of pile head

圖5 楔角對樁頂搖擺阻抗的影響Fig.5 Effect of wedge angle on the rocking impedance of pile head

3.4 樁體長徑比對樁頂阻抗的影響

圖6 和圖7 反映了楔形樁長徑比對樁頂水平阻抗、搖擺阻抗的影響.保持楔角、樁底半徑不變，長徑比H/dj分別取：10、12、15、20.從圖6 和圖7 中看出，楔形樁水平阻抗、搖擺阻抗隨長徑比的增大而增大.相較于搖擺動剛度，長徑比的改變對楔形樁水平動剛度的影響更復雜.不同長徑比下的楔形樁搖擺動剛度隨頻率變化呈單調增大的趨勢，水平動剛度則呈先增大后減小的趨勢，且長徑比越大，高頻階段水平動剛度隨頻率增大下降越明顯.

圖6 長徑比對樁頂水平阻抗的影響Fig.6 Effect of length of pile on the horizontal impedance of pile head

圖7 長徑比對樁頂搖擺阻抗的影響Fig.7 Effect of length of pile on the rocking impedance of pile head

3.5 等體積楔形樁水平振動特性分析

保持樁長、樁體中部截面尺寸不變，即楔形樁體積保持不變，研究不同楔角下的等體積楔形樁水平振動特性，樁基楔角分別取：0°、0.5°、1°、1.5°.從 圖8和圖9 可以看出，對于等體積楔形樁而言，在低頻范圍內，增大楔角可以提高樁基水平動阻抗和搖擺動阻抗.但是在高頻階段，楔形樁水平動剛度存在峰值，且隨著楔角的增大，達到峰值后水平動剛度隨頻率下降趨勢越明顯.因此，在低頻范圍內，當混凝土用量有限且設計樁長一定，又對樁基水平承載能力有一定要求時，可以適當增大楔角以提高混凝土材料的使用效率.

圖8 等體積、不同楔角對樁頂水平阻抗的影響Fig.8 Effect of wedge angle length of pile with same volume on the horizontal impedance of pile head

圖9 等體積、不同楔角對樁頂搖擺阻抗的影響Fig.9 Effect of wedge angle length of pile with same volume on the rocking impedance of pile head

3.6 土中液相對樁頂阻抗的影響

圖10 和圖11 反映了樁周土中液相對楔形樁阻抗的影響.存在液相作用時，飽和土體中滲透系數分別 取：kd=10-2m/s、kd=10-3m/s、kd=10-4m/s、kd=10-5m/s、kd=10-6m/s，其余參數同上.從圖10和圖11中可以看出，飽和土中楔形樁動力阻抗隨著土體滲透系數的減小而增大，當滲透系數減小至10-4m/s 以下時，滲透系數對樁頂阻抗的影響可以忽略不計.

圖10 土體滲透系數對樁頂水平阻抗的影響Fig.10 Effect of permeability of soil on the horizontal impedance of pile head

圖11 土體滲透系數對樁頂搖擺阻抗的影響Fig.11 Effect of permeability of soil on the rocking impedance of pile head

土體密度ρ取與飽和土一致的密度值即 2 020 kg/m3，將方程中土體滲透系數kd、流體密度ρf數值取0，當將飽和地基退化為無液相作用的等密度干土時，楔形樁樁頂阻抗最小，這是由于單相土中不存在流體黏性耦合作用，而飽和地基中的孔隙水運動會導致能量耗散增加從而增大動力阻抗.

3.7 表層土層模量對樁頂阻抗的影響

由于天然土體的沉積作用，地基往往呈成層構造.圖12和圖13反映了上軟下硬雙層地基中上部土體模量對楔形樁動力阻抗的影響.兩層土厚度一致取5 m，底層土剪切模量G2取20 MPa 保持不變.由圖12 和圖13 可知，樁頂動剛度隨著表層軟土模量的減小而顯著減小，樁頂動阻尼在低頻狀態下也隨表層軟土模量減小而減小.因此，在實際工程中，需要對表層軟土進行加固處理，以提高楔形樁的動力穩定性.

圖12 表層軟土模量對樁頂水平阻抗的影響Fig.12 Effect of modulus of soil on the horizontal impedance of pile head

圖13 表層軟土模量對樁頂搖擺阻抗的影響Fig.13 Effect of modulus of soil on the rocking impedance of pile head

4 結論

將樁體等分為多個薄層單元段，基于Biot 多孔介質理論，建立了飽和土中楔形樁水平振動控制方程，得到了樁頂動力阻抗解析表達式，研究了樁-土系統劃分精度對計算結果的影響，并通過退化對比，驗證了本文解的合理性.最后通過算例分析，探討了楔角、長徑比、土中液相對樁頂動力阻抗的影響，得到以下主要結論：

1）樁頂水平阻抗、搖擺阻抗隨著楔角的增大而增大.增大楔角可以有效提高樁基動剛度和楔形樁-土系統的能量耗散速度.隨著激振頻率的增大，樁頂搖擺動剛度呈平緩增長的趨勢，而大楔角楔形樁水平動剛度則先增大后減小.

2）楔形樁水平阻抗、搖擺阻抗隨長徑比的增大而增大.不同長徑比下的楔形樁搖擺動剛度隨頻率變化呈單調增大的趨勢，水平動剛度則呈先增大后減小的趨勢，且長徑比越大，高頻階段水平動剛度隨頻率增大下降越明顯.

3）對于等體積楔形樁而言，在低頻范圍內，增大楔角可以提高樁基水平動阻抗和搖擺動阻抗.但是在高頻階段，楔形樁水平動剛度存在峰值，且隨著楔角的增大，達到峰值后水平動剛度隨頻率下降趨勢越明顯.

4）土體中液相的存在對楔形樁動力阻抗有顯著影響，當滲透系數在10-4m/s 以下時，飽和土中楔形樁動力阻抗隨著土體滲透系數的減小而增大；當土中不存在液相作用時，樁頂動力阻抗則會降低.

5）雙層地基中，楔形樁樁頂阻抗受表層土體模量影響較大，樁頂動力阻抗隨著表層軟土模量的減小而減小，必要時需加固地基表層軟土.