基于學習路徑分析的“有余數的除法”單元整體教學

邵蓓瑜 章勤瓊 麻永侃

【摘 要】豎式記錄每一步計算的過程。要理解其算理，就要在教學中做好情境意義、操作過程與豎式記錄的關聯?！坝杏鄶档某ā眴卧暮诵哪繕擞袃蓚€：（1）理解有余數的除法的含義以及余數與除數的關系；（2）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式。從有余數的除法開始學習除法豎式，能讓學生更好地理解除法豎式的合理性。同時，學習除法豎式的過程，又能幫助學生更好地理解除法含義。

【關鍵詞】學習路徑；單元整體教學；有余數的除法；豎式

除法的本質是不斷地對不同單位的總數進行平均分的過程，分了之后對剩余的進行轉化，與下面的單位進行合并，然后再重復這樣的過程。［1］因此，除法豎式需要記錄每次平均分過程的“分什么？要分多少份（每份分多少）？每份分多少（能分多少份）？分了多少？還余多少？”五個步驟。如果有不同單位的多次均分，還需要處理“余下的怎么辦”的問題，并繼續記錄這一過程。這樣的除法豎式不僅是在記錄計算的過程，還與整個算理理解和思考過程對應。［2］在“有余數的除法”單元教學中，教師容易忽視豎式記錄的關聯性，即沒有做好情境意義、計算過程與豎式記錄的關聯，導致學生停留在淺層次的程序化記憶中，失去了理解除法豎式的合理性與深化理解除法意義的機會。在教學時，該如何幫助學生進行有意義的豎式記錄，進而理解除法豎式的合理性，明晰除法意義呢？本文通過基于學習路徑的“有余數的除法”單元整體設計來進行說明。

一、理解學習目標

（一）單元目標概述

1.人教版教材單元目標

（1）通過操作、觀察、對比等活動，使學生發現日常生活中在分物時存在著分不完有剩余的情況，借此理解余數及有余數的除法的含義，初步培養學生全面思考問題的意識。（2）通過操作、計算、比較等活動，讓學生經歷除法豎式（含表內除法的豎式）的書寫過程，理解豎式中每個數所表示的意思，初步培養學生的觀察、分析能力以及恰當地進行數學表達的能力。（3）使學生初步掌握試商的基本方法，并能較熟練地進行有余數的除法的口算和筆算，培養學生的運算能力。（4）使學生初步學會用有余數的除法解決生活中的簡單問題，初步感受數學與生活的聯系，繼續掌握解決問題的基本思路和基本方法。［3］

2.北師大版教材單元目標

（1）能在教師的指導下，從日常生活中提出簡單的除法問題；在解決實際問題和對結果的實際意義進行解釋的過程中，進一步體會除法的意義，感受除法與生活的密切聯系。（2）能讀懂情境圖中蘊含的信息，初步學習畫圖、列表等多樣化的解決問題的策略，知道同一個問題可以有不同的解決方法，并運用有余數的除法解決簡單的實際問題。（3）認識余數并經歷探索余數和除數關系的過程；掌握商是一位數的除法豎式的書寫格式，了解除法豎式各部分的意思；經歷有余數除法的試商過程，進一步體會余數一定要比除數小。（4）樂于參加數學活動，初步形成對數學的好奇心和探索欲望。［4］

兩個版本教材的單元目標都包含三個板塊的內容和要求：（1）理解有余數的除法的含義及余數與除數的關系；（2）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式；（3）運用有余數的除法解決問題。

（二）確定核心目標

根據單元目標可知，理解有余數的除法的含義是學習除法豎式的基礎，同時，除法豎式的學習又能幫助學生進一步理解有余數的除法的含義，促進學生用有余數的除法解決問題。因此，本單元的核心目標是：（1）理解有余數的除法的含義及余數與除數的關系；（2）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式。

（三）核心目標具體化

確定上述核心目標后，還需根據運算意義以及豎式記錄過程，分析核心目標的內涵，形成具體的表現性目標。

1.理解有余數的除法的含義

能理解平均分后有剩余的情境；能用自己的方式表征平均分的過程并能結合情境作解釋；能在理解、比較不同方法的基礎上，用有余數的除法算式表征情境，并理解除法算式各部分的含義；理解余數與除數的關系。

2.理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式

能結合情境意義和平均分的過程，用除法豎式進行記錄；能結合情境，借用除法橫式對除法豎式進行解釋、篩選；能理解除法豎式的合理性，理解除法豎式各部分的含義。

根據核心目標可知，明晰有余數的除法的含義能幫助學生理解除法豎式記錄的必要性，而除法豎式記錄過程又能促進學生對算理的理解。教學時應建立情境意義、計算過程、豎式記錄三者之間的聯系，使除法豎式的學習成為理解算理、掌握算法的過程，凸顯豎式的作用與價值。

二、確定學習起點

根據具體化目標，學生對平均分的過程和除法含義的理解是本單元的學習基礎。因此，筆者設計了兩道表現性評價的題目，對二年級41名學生進行測試，并根據SOLO分類理論對學生的答題情況進行水平分層的分析。

測試題1：將50顆糖果平均分給4個人，你是怎么分的？請你用圖或文字等形式把分的過程清楚地記錄下來。

本題考查學生對“有剩余的平均分過程”的理解情況。根據學生的表現，其理解水平可以劃分為4個水平層次，測查結果如表1所示。

測試題2：算式“12÷4=3”中的12表示12個蘋果，這個算式可以用來解決什么問題？請寫出你覺得可能解決的問題。

本題是為了考查學生對除法的兩種含義（等分和包含）的理解情況。學生的表現可分為4個水平層次，測查結果如表2所示。

由這兩道測試題可以看出，約20%的學生（表1中水平0和水平1）對有余數的除法均分過程的理解存在困難，因此，在教學中需要適當進行提示，以明晰學生的思維過程；約56%的學生（表2中水平0和水平1）對除法兩種含義的理解不足，因此在教學時要建立情境意義和運算過程的對應關系，促進學生對除法含義的理解。

三、分析學習路徑

學生在第一次學習除法豎式時，不僅需要知道豎式怎么列，還要在理解算理的情況下，將情境意義、計算過程以及豎式記錄進行關聯，理解豎式為什么這么列。通過有余數的除法來學習除法豎式，能讓學生更好地理解除法豎式的合理性。由此，筆者確定了本單元的學習路徑，并在學生運用有余數的除法解決簡單的實際問題前，根據核心目標的具體表現設計了相應的教學任務。

（一）理解有余數的除法的含義

任務一，理解“有剩余的平均分過程”的情境。例如，通過操作活動“用12根小棒擺三角形，結果怎樣？用13根小棒擺三角形，結果怎樣？”直觀理解算理。任務二，能用自己的方式表征平均分的過程并能結合情境作解釋。例如，對于用13根小棒擺三角形，學生可能會列出不同的算式：13-3-3-3-3=1（個）、3×4+1=13（個）、13÷3=4（個）……1（根）。教師引導學生根據情境意義和平均分的過程解釋不同算式的含義。任務三，根據操作過程來比較不同的表征方式，明確有余數的除法算式可用于表示 “分什么？要分多少份（每份分多少）？每份分多少（能分多少份）？分了多少？還余多少？”五個步驟，理解有余數的除法的內涵，聯系平均分的過程理解橫式中各部分的含義。任務四，理解除數與余數的關系。首先，讓學生理解情境的意義，用13根小棒搭正方形，并用除法算式表示。其次，讓學生用除法算式直接表示用14根、15根、16根小棒搭正方形的情況，并通過比較學生的易混點，如16÷4=3（個）……4（根）和16÷4=4（個），引導學生根據情境意義和分的過程進行數學說理，體會除數與余數的關系。再次，讓學生用除法算式表示17根、18根、19根、20根小棒搭正方形的情況，檢查學生的掌握情況。最后，組織學生觀察、比較、分析“用13～16根”和“用17～20根”小棒搭正方形的兩組除法算式的相同點和不同點，引導學生發現余數和除數的關系，感受除法算式中被除數、除數、商和余數的變化規律。

以上四個任務分為兩個課時，其中任務一、任務二、任務三為一課時，主要結合操作過程幫助學生直觀理解算理，再用不同的算式引導學生認識有余數的除法，理解有余數的除法的含義。任務四為一課時，主要結合情境，讓學生通過操作活動和除法算式之間的規律，理解余數與除數的關系。

（二）理解除法豎式的合理性并掌握除法豎式

任務一，有13根小棒，每4根分1組，操作后列出算式，并用豎式進行記錄。任務二，結合情境和操作過程，對列出的豎式的合理性進行解釋。任務三，關聯情境意義、計算過程與豎式記錄，理解豎式記錄的合理性，理解豎式各部分的含義。

四、核心課時任務設計

計算教學要強調算理和算法之間的關聯。以“除法豎式”為例，要理解除法豎式記錄的合理性，就要在理解算理的基礎之上，有效關聯情境意義、計算過程和豎式記錄。具體教學任務如下。

首先，教師出示任務：“有13根小棒，每4根分1組，結果怎樣？”讓學生畫一畫，并寫出除法算式。在這個任務中，教師需要借助情境，幫助學生直觀地理解平均分的過程，并將分的過程與除法橫式建立聯系，為學生能夠根據情境和除法橫式寫出不同的除法豎式做鋪墊。

其次，結合情境意義，讓學生嘗試用豎式記錄平均分的過程，并鼓勵學生寫出不同形式的除法豎式。再引導學生結合平均分的過程及除法橫式的含義，對寫出的除法豎式進行篩選和排除。例如，學生可能會寫出如圖1的三種豎式。教師要引導學生結合前面平均分的過程，全面觀察除法豎式的記錄過程，從而發現方法（1）只記錄了“分了3組”，而缺少了“還余1根”，導致記錄的過程不完整。再分析方法（2）和方法（3），尋找豎式記錄的五個步驟：“分13根，每份4根，分3份，分了12根，還余1根。”辨析方法（2）中是否記錄下了“分了12根”的內容，從而理解“分了12根”是思維過程中必不可少的部分。之后，對比方法（2）和方法（3），理解把“分了12根”記錄下來，才能與之前分的過程真正對應起來。學生經歷這樣的對比和分析過程，才能理解除法豎式記錄的合理性，從而更好地理解除法的運算過程。

最后，關聯情境意義、計算過程和豎式記錄，讓學生理解除法豎式各部分的含義。通過“有余數的除法”的教學，在學生充分理解了除法豎式的合理性之后，再讓他們嘗試解決沒有余數的除法的問題，并用豎式記錄計算過程，能幫助學生直觀地理解算理，將計算過程和豎式記錄進行對應，理解除法豎式各部分的實際意義。

參考文獻：

［1］ 章勤瓊，唐娟.為什么除法豎式不一樣：兼談豎式的記錄功能及不同形式［J］.教學月刊·小學版（數學），2019（10）：56-59.

［2］章勤瓊，杜依銘. 運算教學中如何做到“法理兼顧”：略談運算教學的三個要點［J］. 福建教育，2022 （10）：28-31.

［3］人民教育出版社課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心. 義務教育教科書教師教學用書：數學二年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2016：143.

［4］劉堅，孔企平，張丹.義務教育教科書數學教師教學用書：二年級下冊［M］.北京：北京師范大學出版社，2013：2.

（1.浙江省溫州市永嘉縣實驗小學 2.福建師范大學教育學院）