以實證分析促進概念的深度理解

張優幼

【摘 要】基于實證分析的教學研究從教學現象出發，有針對性地對證據進行采集和分析，問診把脈，有助于教師改進教學。教師結合“有余數的除法”的實證分析，從問題出發，用證據說話，通過對學生經驗和概念學習的分析研判，進行教學重構。重構后，以任務驅動結構化教學，能讓學生在多維生成中比較聯系，在多向聯系中理解內化，有效促進了學生對概念的深度理解。

【關鍵詞】實證分析；概念理解；余數

教師教學行為的改進，要從經驗觀察走向事實分析，從感性思考走向理性研判。通過實證分析，獲得最佳研究證據，能幫助教師理解學生的認知差異，對學材組織、學習方式和評價反饋等作出合理的調整。如何通過實證數據，凸顯事實分析，關注過程反饋，以達成概念的深度理解呢？筆者以“有余數的除法”教學為例，進行了如下探索與思考。

一、緣起學生“猶豫不決”的答題

在“有余數的除法”教學后，學生在看圖寫算式時出現了圖1的結果。如圖所示，學生寫好算式后又進行了修改，先寫的是正確的算式“10÷4=2……2”，后改成錯誤的算式“10÷2=4……2”。這一修改過程能展現出學生答題時的猶豫不決。

這種“猶豫不決”是緣于學生對“有余數的除法”含義的不理解嗎？還是緣于對“等分除”和“包含除”的混淆？或是對“余數要比除數小”這個規律的感知不夠深入，從而不能進行遷移應用？為解決這一問題，教師需要分析學生的學習過程。

二、基于學生經驗的實證分析

實證分析不是簡單地為解決一節課的教學進行數據收集，而是指向學生學習數學的動態發展過程。因此，教師要把一節課的學習內容放在一個教學單元甚至一個學段的知識結構中進行實證，分析學生的學習經驗，從而從內容割裂走向教學整合。

（一）明確實證內容的關鍵

各版本教材通常在二年級下冊安排有余數的除法的教學。人教版教材把它安排在了平均分、除法含義和用乘法口訣求商的教學內容之后（如圖2）。

人教版教材在編排“有余數的除法”的含義時，是從“剛好分完”的除法算式遷移到“均分后有剩余”的除法算式的。有余數的除法算式通常由教師借助情境和圖式直接告知學生（如圖3）。可這樣的告知符合學生的認知規律嗎？這就需要教師進一步思考以下三個問題。

1.平均分的意義需要擴展嗎

學生會認可“均分后有剩余”也是平均分嗎？從整體上看，建構除法概念需要經歷兩個不同階段，即“表內除法”和“有余數的除法”，分別對應“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況。除法的本質是平均分。為了建立“平均分”和“除法”之間的聯系，第一階段的學習重點聚焦于“剛好分完”的情況，從而建立“平均分”與“剛好均分”的強關聯。那么，“平均分”與“均分后有剩余”的關聯是怎樣的呢？對于例題中首次出現的“擺3個，還剩1根”的結果，學生是否會認可這也是平均分，可以用除法表示呢？

2.會用除法算式嗎

如果學生認可“均分后有剩余”也是平均分，那么他們會用除法算式表示嗎？如果不會，那會用什么算式表示？

3.對除法算式的理解會受影響嗎

平均分有兩種不同的情況，一種是等分，一種是包含。與之相關的，基于不同的均分過程，除法算式含義可分為“等分除”和“包含除”。那么，在有余數的除法算式中，學生能對其進行辨認嗎？

針對這三個問題，筆者用測試和訪談的方式，對城區某校二年級272名學生進行了課前和課后的實證。

（二）分析實證數據的表現

1.“均分后有剩余”與“平均分”的弱關聯

用圖4對學生進行課前測試，結果顯示，測試中沒有學生把題③看作平均分；題②增加了3個圈作為固定份數，只有約5.15%的學生認為是平均分。在訪談中，有學生認為：“第②幅圖表示的是有3份，每份同樣多，所以也是平均分，剩下的那顆糖就不管了。”

思考：如果學生不認為均分后有剩余是平均分，那么就很難理解用除法算式來表示均分后有剩余。因此，教師要先引導學生認識平均分，再幫助他們進一步理解“有余數的除法”的含義。那為什么有些學生認為題②也是平均分呢？因為固定了份數，就能直觀地看到每份同樣多。

啟示：在教學中，對于靜態的圖，首先要理清份數，在份數的基礎上識別每份都同樣多的結果。在動態操作的過程中，則要先確定每份數，再與份數進行關聯。教學中，教師要結合動作、圖式、語言和算式等進行多元表征。

2.“均分后有剩余”與除法算式的陌生感

教學前，對于“均分后有剩余”的情況，學生能用有余數的除法算式來表示嗎？有多少學生已經能遷移應用？如果不用除法算式，學生又會用怎樣的算式表示“均分后有剩余”呢？針對這個問題，筆者采用單個情境操作后列算式（如圖5）和同個情境不同均分結果操作后列算式（如圖6）兩種方式對學生進行課前測試。

在單個情境操作后列算式的測試中，用連加、乘加算式表示的學生約占12.87%，用連減、乘減算式表示的學生約占69.12%，用除法算式表示的學生約占18.01%。從數據中可以看出，相對于除法算式，學生更喜歡用乘加、乘減的方式表示均分后有剩余的結果，如3×2+1=7、7-2×3=1等。

在同個情境不同均分結果操作后列算式的測試中，學生用除法算式表示的約占39.71%。從數據中可以發現，以對比的方式呈現“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況，用除法算式表示的學生人數顯著增加，從18.01%左右上升到了39.71%左右。有意思的是，部分學生雖然不能正確地書寫有余數的除法算式，但已經有了用除法算式表示的意識（如圖6右圖）。然而即便有強暗示的情境對比，大部分學生仍對除法算式感到陌生。

啟示：用“剛好分完”和“均分后有剩余”的對比情境導入，讓學生感受到為合理清晰地表達均分結果，用除法算式進行表征很有必要；但不能否認學生的原有認知經驗，要讓學生在多個不同算式的表征中進行比較辨析，進一步理解有余數的除法算式表示的含義。

3.“包含除”與“等分除”對理解除法算式的難易不同

把一些物品按指定的份數進行平均分，可以一個一個地分，也可以幾個幾個地分，直到分完為止，即等分除；把一些物品按每份個數一份一份地分，即包含除。這兩種分法，在理解除法算式的難易度上是否有偏差？針對這個問題，筆者對學生進行了課后測試。

（1）對比一：把分的結果畫一畫，再填一填，并用算式進行表示。

①9支鉛筆，每人分2支，可以分給（? ?）人，還剩（? ?）支；

②9支鉛筆平均分給4人，每人分（? ?）支，還剩（? ?）支。

第一種分法是按每份的個數進行均分，學生能在給定9支鉛筆的圖上，按每份2個圈一圈，并且列出正確算式；第二種分法給定4個框，讓學生按份數一一等分，在這個過程中，幾乎學生沒有添畫上4個框外那1根剩余的小棒。

（2）對比二：“10÷4=2……2”表示什么？請用畫圖的方式表示你的想法。

根據有余數的除法算式畫圖時，學生習慣用“包含除”來理解“均分后有剩余”的結果，而用“等分除”來解釋除法算式含義的學生非常少。這說明學生能理解有余數的除法算式的含義，他們的認知表象建立在“包含除”的均分之上。

就有余數的除法概念的認識而言，“等分除”的均分方法確實不像“包含除”那樣，能清晰地看到圈后余下的結果。因為“等分除”的操作過程是一一均分，無論是操作還是想象都比較麻煩，且容易受表內乘法口訣的影響，從結果出發而忽略一一均分的過程。然而，從對后續學習的價值來說，等分后有余的均分過程和方法是不可忽視的，如解決抽屜問題時，就是先用一一等分的方法建構抽屜，再將余數裝入其中一個抽屜來建立模型的。

啟示：要建立完整的有余數的除法的含義，必須感知兩種不同分法的均分過程。雖然從“包含除”導入更容易理解，但如果僅關注“包含除”而忽略“等分除”，則會在后續學習中產生認識上的偏差。為此，需要借助觀察演示、動手操作、感知對比等方式，感知“等分除”后有剩余的均分過程。

三、探尋基于實證的教學重構

基于實證分析，筆者對“有余數的除法”進行教學重構，在問題的引領下，尋找證據，分析證據，應用證據，從而改進教學（如圖7）。

重構后的教學，關注“均分后有剩余”與“平均分”的強關聯；從學生已有的知識經驗出發，比較不同算式的表示方式與有余數的除法算式之間的聯系，將除法的意義從“剛好分完”向“均分后有剩余”擴展；在操作中抽象比較“包含除”與“等分除”，凸顯對“等分除”過程中有余數的除法的含義的理解。

（一） 在聯系比較中明晰概念內涵

對數學概念的理解離不開分析、比較、辨析、歸納等思維活動，學生的思維活動有助于概念的原型建構和變式比較。教師的教學需要在多元表征的基礎上，建立“余數”與平均分及除法算式之間的關聯，讓學生理解“有余數的除法”與除數的關系。

1.有余數的除法算式順向遷移，在多維生成中比較聯系

借助任務一的題組（如圖8），讓學生在相同的情境中，實現從“剛好分完”到“均分后有剩余”的比較遷移，構建新的認知結構。理解概念時，引導學生從原有的認知基礎出發，多向生成，優化有余數的除法算式的表征，初步建立余數概念。教學反饋時，通過兩次對比幫助學生完成概念的建構。

（1）第一次對比，比較有余現象的原始表征和有余數的除法算式。教師呈現學生列出的算式：①3+3+3+1=10；②3×3+1=10；③10-3-3-3=1；④10-3×3=1；⑤10-1=9，9÷3=3；⑥10÷3=3……1。讓學生對應圖說說這些算式分別表示什么意思，并借助這些不同的算式，理解10÷3=3……1表示的含義。學生在比較中明確了乘加、乘減等算式與有余數的除法算式的關聯，而優化有余數的除法能清楚地表示圈后有余的結果。

（2）第二次對比，比較圖8中兩道題的算式：10÷5=2和10÷3=3……1。這兩道題為什么都可以用除法表示分后的結果？它們有什么相同點和不同點？讓學生理解有余數的除法也需要平均分，也可以用除法算式表示，并結合動作、語言和圖式等進一步理解除法算式。

學生通過兩個不同層次的比較，建立“剛好分完”和“均分后有剩余”兩種情況之間的聯系，初步認識了有余數的除法含義。

2.規律歸納開放生成，在多向聯系中感悟內化

對于二年級學生來說，形式化的告知只能使他們機械識記規律。因此，教師教學時要明確余數與除數的關系，讓學生借助任務驅動，助推規律的生成，并在多向聯系中比較、歸納、感知規律（如圖9）。

（1）橫向對比，感知除數是4時余數的特點。①用10根小棒擺正方形，鞏固有余數的除法算式的含義、讀寫法等。②自己設定小棒的數量，畫一畫，用除法算式表示結果，從而得到除數都是4，被除數各不相同的有余數的除法算式。通過不完全歸納比較，理解所有除數是4的除法算式中，不管被除數是幾，余數都只有1、2或3（余數是0通常不寫）。教師引導學生思考：“有沒有畫出余數是4或比4大的？”“余數除了1、2和3，還有其他的可能嗎？”“如果小棒根數再多一些，余數會發生變化嗎？”讓學生通過操作演示，理解“余數要比除數小”這一規律。

（2）縱向對比，不僅從擺正方形（除數4）的算式中概括余數比除數小的規律，還可以通過擺五邊形和三角形（除數是5或3），進一步感悟余數和除數的關系。讓學生通過對□÷4=□……□、□÷5=□……□、□÷3=□……□三組算式中余數與除數關系的思辨，概括規律。

“余數要比除數小”的規律，不是僅通過按序觀察一組算式得到的。要讓學生利用開放式的生成資源，自己設定小棒數量進行感悟，從具體到抽象，跳出被除數按序排列的框架，跳出單一除數的限制，用歸納的方式橫向對比相同除數的算式，并用不同除數進行縱向對比，在聯系和遷移中深度理解概念和規律。

（二）在任務驅動中改進學習方式

基于實證的數學課堂，既要對教師的教學方式進行改進，又要對學生的學習方式進行優化。用問題情境和任務驅動的方式依序推進教學，能激發不同層次學生的探究欲望，使他們在比較和歸納中形成概念。課堂重構后，學生在三次對比任務的驅動下完善對概念的理解。任務驅動的學習材料典型而簡約，有結構且具有可操作性。

任務三是在操作中理解“包含除”與“等分除”，重點是有余數的除法中的“等分”過程。

（1）第一次對比平均分19根小棒，比較每5根均分與平均分成5份（如圖10）。19根小棒平均分成5份，剩余的4根無法繼續一一等分，這就是余數。讓學生從中感受“包含除”和“等分除”均分過程的不同，理解一一等分是余數與除數（份數）建立聯系。

（2）第二次對比平均分19根小棒，比較平均分成5份與平均分成3份（如圖11）。讓學生通過操作進一步感受“等分除”有剩余的過程，理解余數與除數（份數）的關系。“為什么平均分成5份時，余數可以是4，而平均分成3份時，剩余的4根還要繼續均分呢？”學生在追問中理解了有余數的除數的本質，明確了除數與余數的關系。

兩次對比注重過程和關聯，學生經歷動作、語言、圖式的不同表征過程，完善了對概念的認知。

實證教學，關注的是學生的“學”，指向的是學生的動態發展過程。它關注學生的知識經驗，從現狀出發剖析成因，從一節課的教學追溯到一個體系的教學。教師要根據有效數據的反饋和分析，實施精準教學，重構課堂，從而促使學生實現對概念的深度理解。

參考文獻：

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（浙江省臺州市椒江區教育教學發展中心）