管狀結構內電磁傳輸特性理論研究*

吳 昊 蘇新彥 姚金杰 李嘉浩

（中北大學信息探測與處理山西省重點實驗室 太原 030051）

1 引言

電磁場在人類社會進步以及科技發展中起著至關重要的推進作用，由于電磁波可在傳播過程中完成信息探測和能量傳遞的特點，使電磁波在軍事領域、工業生產領域都得到了廣泛應用，如使用雷達進行非接觸式膛內彈道信息獲取，通過分析其膛內運動姿態進行火炮性能評估；在進行機械生產時，某些密閉高壓區域需要使用電磁設備進行信息獲取，譬如特殊金屬管狀結構內信息檢測等。

針對各類場景的電磁理論也日漸完善，J.Rayleigh［1］和H.Lamb［2］研究了無約束條件下彈性波在各向同性板中的傳播特性，開啟了導波技術理論研究的序幕。J.Ghosh［3］求解了導波在空心圓柱中的傳播，得到了縱軸對稱模態的數值解，但他缺少數值分析，也沒有驗證所得結論正確性。Jing Mu［4］用半解析有限元（SAFE）方法求解了帶粘彈性涂層的自由空心圓柱中的導波傳播，給出了軸對稱和彎曲模態的導波頻散曲線和衰減特性。孫繼平［5］用金屬波導法分析了電磁波在隧道中的傳播特性，給出了不同截面形狀隧道衰減的近似計算公式。劉滿堂［6］分析了短波通信的傳輸特性，并給出了短波信道傳播損耗計算模型。王玉龍［7］通過分析微波在輸氣管狀結構中的傳輸衰減規律，計算出微波在管狀結構中的傳輸距離，實現遠距離微波加熱。由于現有對管狀結構內電磁研究大多集中于隧道、礦井等且沒有準確數值，針對雷達波在特殊管狀結構環境（火炮、液壓缸等）內的傳輸特性研究還未見相關報道。

當使用雷達用于管狀結構內的目標探測時，在復雜工作環境下，電磁波傳輸收到很大限制，主要影響因素有管狀結構橫截面半徑、管狀結構長度、傳輸介質和工作頻率等。本文的研究重點是分析電磁波在金屬管狀結構內的傳輸特性及在環境中傳輸的衰減特性，為分析管狀結構內物體運動情況及設計管狀結構內特制雷達系統提供理論支撐。

2 管狀結構電磁波傳輸建模

2.1 管狀結構內電磁波傳輸基本理論

根據實際情況，建立如圖1 所示圓柱坐標系，管狀結構半徑為a，選定電磁波沿z軸方向傳播。

圖1 圓柱坐標系

假定在圖1 所示均勻圓柱體內的電磁場為時諧場，電磁波沿軸向（z軸方向）傳播時，其內的場分布滿足復數形式的亥姆霍茲方程［8］：

其中?2為拉普拉斯算子，k2=ω2με為電磁波波數，μ為磁導率，ε為介電常數，另假設圓柱體內場量表達式：

其中γ為傳播常數，當圓柱體內沒有場源分布，不存在自由電荷和傳導電流，場分布滿足復數形式的亥姆霍茲方程，已知圓柱坐標系下：

其中t方向與導波傳播方向垂直，將式（1）到式（5）聯立求解可以得到：

同理可得：

將式（7）、式（8）在圓柱坐標系下展開成標量形式并整理，得到4 個橫向量分量Eρ、Eφ、Hρ、Hφ與縱向分量Ez、Hz之間的關系如下：

把Ez=P(ρ)Q(φ)e-γz帶入式（7）、式（8），通過分離變量法［9］得到

式（13）的解P(ρ)與的取值有關，其通解如下：

式中，Jm(kc ρ)是以kc ρ為自變量的m 階第一類貝塞爾函數，Nm(kc ρ)是以kc ρ為自變量的m 階第二類貝塞爾函數；Im(kc ρ)和Km(kc ρ)則分別是與Jm(kc ρ)和Nm(kc ρ)相對應的m 階第一類和第二類修正貝塞爾函數。上述各類貝塞爾函數的曲線如圖2所示。

圖2 貝塞爾函數

從圖2（a）、（b）可以看出第一類、第二類貝塞爾函數Jm(kc ρ)和Jm(kc ρ)為振蕩型，主要分布于有限半徑區域。從圖2（c）、（d）可以看出修正貝塞爾函數Im(kc ρ)和Km(kc ρ)則為非振蕩型，主要分布于無限半徑區域。

因此，可以得到圓柱坐標系中Ez的一般解為

同上，圓柱坐標系中Hz的一般解為

式中的A1，A2，B1，B2均為待定系數。三角函數sinmφ、cosmφ與激勵源有關。待定系數A1，A2，B1，B2的值與激勵源強度有關，貝塞爾函數的解與截止波數kc、傳輸結構以及邊界條件［10］有關。

2.2 傳輸模式與截止頻率

圓柱形管狀結構內電磁波可分為兩種模式，即橫電波（TE 波）與橫磁波（TM 波），且不存在TEM波。

對于TM 波，即不存在縱向磁場分量，即Hz=0，所以Ez滿足的方程和邊界條件如下：

通過分析貝塞爾方程曲線，可以得到縱向梁分量Ez只滿足第一類貝塞爾方程，即：

由邊界條件Ez|ρ=a=0 得到截止波數kc：

式中，μmn為Jm(kca)=0 的根，表示m階第一類貝塞爾方程的第n 個零點。m、n 選取整數值的不同，對應的μmn也就不同，一個μmn的值對應一個TM 模式，記作TMmn，其截止波長的計算公式為

其中μmn的部分值如表1所示［11］。

表1 TM模的μmn 部分值

對于TE 波，不存在縱向電場分量，即Ez=0，所以Hz滿足的方程和邊界條件如下：

同理得到：

式中一個的值對應一個TE 模式，記作TEmn。其中的部分值如表2所示［11］。

表2 TE模式的 部分值

表2 TE模式的 部分值

m=0 m=1 m=2 m=3 n=1 3.832 1.841 3.054 4.201 n=2 7.016 5.332 6.705 8.015 n=3 10.174 8.536 9.965 11.344 n=4 13.324 11.706 13.107 14.586

TMmn模式波和TEmn模式波在圓柱體中傳播特性由傳播常數γ確定。截止頻率fc和截止波長λc計算公式為

當電磁波的工作波長λ小于截止波長時λc，該截止頻率或截止波長所對應模式的電磁波便可在圓柱體內傳播。通過對圓柱體內不同模式截止波長大小的計算，可以得到各模式波截止波長分布圖如圖3所示。

圖3 部分模式波截止波長分布圖

TE11作為圓柱體傳播的的主模，是最低截止頻率模式，它的截止波長λc最大，約為3.41a；TM01則為最低型的高次模，約為2.613a；當傳輸波長大于3.41a 時，此時處于截止狀態，沒有模式可以傳播，當傳輸波長在2.613a 與3.41a 之間時，處于單模工作區，此時只能傳播TE11主模，當傳輸波長小于2.613a 時，此時為多模工作區，傳輸波長越短，則能傳輸的波形越多。

3 管狀結構電磁損耗建模

在管狀結構內，當電磁波進行傳輸時，主要受管狀結構半徑、傳輸距離、工作頻率，以及管壁粗糙度和多徑效應等影響。由于電磁波在管狀結構內內傳播時，電場與磁場均呈指數倍衰減［12］。結合實際情況，構建如圖4所示模型結構。

圖4 管狀結構截面圖

在圖4 所示的平面圓形管狀結構中，管狀結構內壁半徑為a1，管狀結構外壁半徑為a2，管狀結構內磁導率為μ1，介電常數為ε1的傳輸媒介，管狀結構本身是由磁導率為μ2，介電常數為ε2的有損材質構成（一般為鋼材），管狀結構長度為d。根據傳輸損耗的定義，即輸出功率與輸入功率之比值，可以定義損耗公式：

式中L 為傳輸損耗比值，P 為d 點遠處的接收功率，P0為發射功率，d 為傳輸距離，α為衰減常數。衰減常數α由導體衰減常數αc和介質衰減常數αm構成。當管狀結構內電磁波傳輸存在TE 和TM 兩種模式時，導體衰減常數表示為［13］

式中：Rs為管壁表面阻抗，a 為管狀結構半徑，μ2為導體磁導率，ε2為導體介電常數，λ為傳輸波長，μmn和μ'mn分別為第一類貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數導函數的解。

針對實際的工程問題，當電磁波在管狀結構內傳播時，電磁波波長遠小于管狀結構深度，由于電磁波工作在受限空間內，所以會受到管狀結構壁影響，因此導體衰減常數會隨管壁粗糙度相變化，當前解決粗糙面散射的方法有基爾霍夫近似法和微擾法等［14～15］，通過文獻［16］，得到受管壁粗糙度影響下的衰減常數與理想導體下衰減常數的關系式：

式中：α'c為考慮管壁粗糙度后管狀結構內電磁波衰減常數，Δ 為管狀結構管壁內表面均方根高度，為趨膚深度，與電磁波頻率f和導體電導率σ2有關［17～18］。

當管狀結構內存在多模傳輸時，接收到的電磁波將是各種模式波相累積，因此導體衰減常數αc將由以下公式計算：

當金屬管狀結構內填充有損介質時，不僅存在由金屬管壁引起的導體損耗，同時還將存在由填充介質引起的介質損耗，并且，當填充介質不是弱導電媒質時，由于填充介質產生的介質損耗將會遠大于管壁引起的導體損耗，成為傳輸過程中的主要衰減因素。管狀結構內介質的衰減常數αm可近似為［19］

式中：μ1為媒質磁導率，ε1為媒質介電常數，σ1為媒質電導率，f為工作頻率，且為損耗角正切。由此我們可以得到計算傳輸損耗值（單位：dB）的公式為

由于電磁波傳輸是朝四周擴散的，所以電磁波在受限空間內傳輸時，還會產生多徑效應，但是由于其不確定性以及復雜性，這里暫不討論。

4 仿真驗證

4.1 管狀結構電磁分布仿真

通過第一部分理論分析，可以知道電磁波在低損耗媒質或無損媒質中沿軸向呈正弦型的波動變化［20］，如圖5所示。

圖5 電磁波傳輸狀態

根據電磁場的基本概念可知，如果空間內存在周期性變化的電場，則在其周圍產生周期性變化的磁場。通過Ansys Electronics Suite仿真軟件構建半徑為30mm，長度為500mm，材質為特制鋼的空心圓柱體，其內填充介質為空氣時，得到其電磁場分布如圖6所示。

圖6 電磁場分布圖

通過圖6 可以清晰地觀察到管狀結構內電磁場的分布情況，其中圖6（a）為管狀結構內電場分布圖，可以看到電場大小波動呈周期性變化，且符合正弦型變化規律，同時通過圖6（b）可以看出管狀結構內磁場隨電場進行周期性變化。總體而言，與管狀結構內場量分布理論相吻合。

4.2 理論數值與仿真對比

當電磁波通過發射設備進入管狀結構時，其衰減損耗主要由入射波在兩種介質分界面上產生的損耗和電磁波在介質內傳輸產生的損耗構成，其中在介質中傳輸產生的損耗占重要部分，因此分析管狀結構的結構變量對傳輸造成的影響是更為重要的一環，其中主要包括管狀結構半徑、傳輸距離以及管狀結構內填充介質等在內的一系列可變因素。

針對實際工程需要，電磁一般工作在特種鋼制身管內，身管半徑在30mm～100mm 及以上不等，長度一般在500mm 以上，通過電磁仿真軟件進行建模并提取仿真數據作圖，當管狀結構半徑為30mm，傳輸距離為500mm 時，其工作頻率與傳輸衰減關系圖如圖7所示。

圖7 頻率與衰減損耗值關系圖

從圖7 可以看出，當工作頻率在1GHz～3GHz區間時，由于傳輸波長大于3.41a，其損耗值大于-70dB，此時幾乎處于截止狀態。因此，后續仿真所選定電磁波的中心頻率為10GHz。在常規工作環境中，特種鋼制管狀結構其電導率σ為1.8×106S/m，磁導率μ為4π×107H/mm ，當管狀結構內無任何填充介質且為空氣時，其介電常數ε為8.85×10-12F/m ，管壁表面阻抗Rs為1.702，當管狀結構半徑在30mm～80mm 變化時，傳輸距離為500mm 時，傳輸損耗隨半徑變化曲線如圖8（a）所示。當傳輸距離在500mm～1000mm 變化時，管狀結構半徑為30mm 時，傳輸損耗隨距離變化曲線如圖8（b）所示。圖中由圓形點所連成的曲線是由Ansys Electronics Suite 仿真軟件所得數據點，由方形點所連成的曲線是把變量值帶入衰減損耗公式后計算得到，由星形點構成的曲線是仿真數值與理論數值的差值，反映出理論計算與仿真之間的差異值。

圖8 空氣介質中傳輸損耗關系圖

圖8（a）中x 軸為管狀結構半徑，y 軸為傳輸損耗值，可以看出當管狀結構半徑增大時，損耗值呈拋物線式減小，造成這種現象的主要原因是因為隨著管狀結構半徑的增大，電磁波收到管狀結構壁的影響越來越小。圖8（b）中x 為傳輸距離，y 軸為傳輸損耗值，隨著傳輸距離的逐漸變遠，傳輸損耗值按照0.1dB/m 直線式增大。因此，當環境變量為固定不變值時，管狀結構半徑越大，傳輸損耗越小；傳輸距離越遠，傳輸損耗越大。

從圖8 中可以看到理論計算與仿真之間有一定的差異值，且差異值為0.02dB 左右，這是因為在進行理論計算時沒有考慮到由于多徑效應所產生的影響。

在實際工程應用中，當管狀結構內填充介質為工程油液時，其相對介電常數ε一般在1 到6 之間（本次取2.1），相對磁導率為1，電導率σ一般為1.0×10-4S/m。當管徑在30mm 到100mm 變化時，傳輸距離為500mm 時，傳輸損耗隨半徑變化曲線如圖9（a）所示。當傳輸距離在500mm 到1000mm 變化時，管狀結構半徑為30mm 時，傳輸損耗隨距離變化曲線如圖9（b）所示。

圖9 工程油液介質中傳輸損耗關系圖

通過圖9（a）與圖9（b）可以看出，在工程油液介質中電磁傳輸損耗規律與在空氣介質中相同，隨著管徑的增大，電磁波在工程油液中傳輸損耗變小，同樣的，隨著傳輸距離的變遠，電磁波在工程油液中的傳輸損耗值按照0.2dB/m速度變大。

值得注意的是圖9 與圖8 結果相對比，當研究介質由空氣轉變為工程油液時，理論計算值與仿真值之間的差異值在0.1dB 左右，而在空氣介質中的差異值為0.02dB，分析其原因，除去多徑效應這一個影響因素外，主要可能是由于工程油液中電磁波傳輸狀況更加復雜，存在一些考慮不周的情況。

通過之前的對比分析，可以基本判定管狀結構內電磁波傳輸理論推導的正確性，接下來將通過仿真數據，對比分析當管狀結構內填充空氣時與填充工程油液時電磁波傳輸損耗的差異，當管狀結構半徑在30mm～80mm 變化時，傳輸距離為500mm 時，傳輸損耗隨半徑變化曲線如圖10（a）所示。當傳輸距離在500mm～1000mm 變化時，管狀結構半徑為30mm 時，傳輸損耗隨距離變化曲線如圖10（b）所示。

圖10 空氣與工程油液損耗對比

從圖10 中可以看出，總體上，相比空氣而言，在工程油液中，電磁波衰減值更大。通過圖10（a）可以看出，隨著管徑的變大，兩種介質下的傳輸損耗同時呈拋物線式變小；，同時兩者的差值趨向于約0.12dB 的穩定值，因此，由于填充介質改變而產生的損耗差值不受管徑變化的影響，通過圖10（b）可以看出，隨著傳輸距離的變遠，兩種介質下的損耗同時變大，但是兩者的差值從0.12dB 開始逐漸變大，說明在工程油液中，電磁衰減幅度更大，衰減更快，因此，當傳輸距離改變時，兩種填充介質所造成的影響不同，電磁波受工程油液的影響更大。

5 結語

本文首先對管狀結構內的電磁環境、傳輸模式進行了理論分析，并總結出了針對管狀結構環境下計算電磁波傳輸損耗值的理論公式，并通過使用Ansys Electronics Suite仿真軟件對其進行建模并仿真。重點分析了傳輸損耗值與管狀結構半徑、傳輸距離以及不同傳輸介質的關系，通過對比分析，驗證了理論的正確性。研究結論表明：隨著管狀結構半徑的變大，衰減損耗值在逐漸減小；隨著傳輸距離的變遠，衰減損耗值在逐漸增大；且對比空氣衰減值，電磁波在工程油液中衰減值更大，管狀結構半徑變化對損耗差值幾乎無影響，傳輸距離對損耗差值影響較大。本文研究方法及結論對使用雷達進行管狀結構內信息探測和設計管狀結構內特制雷達天線系統具有理論指導意義。