微分求積法求解懸臂L梁固有振動特性研究*

李智超, 郝育新

(北京信息科技大學 機電工程學院, 北京 100192)

0 引 言

相比于常見的懸臂直梁結構,懸臂L梁結構由于其柔性更大、可設計性更強、空間利用更充分、振動過程中變形方式更多樣等優點,被廣泛投入到工程應用中,尤其是近年來作為壓電俘能結構的主體而倍受關注與研究.在這些研究中,Chen等[1]以懸臂L梁為研究對象,研究了其2∶1內共振及其幅頻響應特性,繼而研究了如何改善其作為能量泵時的帶寬,并研究了L梁參數對帶寬的影響.Erturk等[2]提出了一種新型L型梁-質量可調結構作為壓電能量收集器應用于無人機起落架,通過使結構前兩階固有頻率相對接近,從而實現在更寬的頻帶內收集更多的能量.Harne等[3]提出的L型梁振動能量收集系統可以在諧波激勵條件下利用1∶2內共振與飽和現象來提高能量轉換性能,即使輸入振動包含高水平的附加白噪聲.Li等[4]研究了幾何和材料特性對L型梁壓電俘能器響應的影響,證明了考慮非線性效應時有助于提高在外激勵振幅較大和強電場條件下俘能器性能的預測精度.Kim等[5]提出并研究了一種由懸臂梁和剛性臂組成的頻率可變的L型能量采集器,該梁的特點是兩根梁都水平放置,他們還深入研究了剛性梁的長度對系統固有頻率的影響,并研究了該能量采集器的輸出電壓特性.

值得注意的是,在這些關于L型梁壓電俘能應用的研究中,往往用到了懸臂L梁結構的內共振關系.因此,對L梁結構的固有振動特性進行深入研究,得到L梁各參數對其固有振動特性的影響規律,對其作為壓電俘能結構的設計與應用具有重要的指導意義.

雖然運用有限元軟件可以得到懸臂L梁結構的固有振動特性,但是不便于我們研究影響其固有振動特性的機理,因此有必要建立懸臂L梁的固有振動動力學模型,從理論上對其固有振動特性進行研究.自Bert等[6]首次將微分求積法投入結構力學求解與分析中起,該方法便已成為除Galerkin法、Rayleigh-Ritz法、擬譜法等傳統空間離散方法外的又一高階偏微分方程近似求解方法[7-8].其優勢在于可以直接得到系統在物理空間中的解,而不是模態空間.Wang[9]和Tornabene等[10]將近年來微分求積法與微分求積單元法的最新進展做了詳細的總結,列舉了多種插值基函數的選取方式,討論了多種邊界條件的施加方法,并比較了各種方法的適用情況和優缺點.在實際應用方面,夏雨等[11]采用微分求積法研究了4種邊界條件情況下等截面梁與變截面梁的內力和位移,并獲得了變截面軸向功能梯度Euler-Bernoulli梁若干低階固有頻率.葛仁余等[12]利用微分求積法理論將變系數常微分控制方程轉化為標準型的廣義代數特征值問題,并提出了一種令節點呈等比數列分布的方法,以研究變截面軸向功能梯度Timoshenko梁的屈曲臨界荷載.Khakpour等[13]利用三階剪切變形理論,研究了熱環境下彈性基體簡支功能梯度多孔梁的固有頻率,并使用了微分求積法對控制方程進行離散.Peng等[14]研究了預壓縮梁橫向自由振動的固有振動特性,將微分求積法直接應用于修正后的橫向自由振動控制方程,求得固有頻率的數值解.近年來,有學者還將微分求積法的應用范圍延伸至二維板、殼、盤型結構振動領域.Szekrényes[15]采用微分求積法對分層復合板進行了數值模擬,解決了一些具有簡單支撐和剛性固定邊緣的包含材料缺陷的板問題.Liu等[16]采用修正偶應力理論(MCST),對層合旋轉微系統進行了頻率模擬和臨界角速度模擬,并利用二維廣義微分積分方法求解了各種邊界條件下的非經典控制方程.Al-Furjan等[17]研究了具有蜂窩芯、兩層含有SMA纖維的中間層和兩層MHC外層的夾層盤的頻率響應,根據Hamilton原理,運用廣義微分求積法推導并求解了該結構的動力學方程.劉旭等[18]基于Kirchhoff薄板理論與非局部彈性理論,對熱環境中旋轉功能梯度納米環板的振動頻率進行研究,通過微分求積法對徑向和橫向耦合運動變系數微分方程進行離散并求解.葛仁余等[19]通過應用微分求積法,將雙材料平面接頭問題轉化為含應力奇性指數的常微分方程組的特征值求解問題,通過奇性指數的計算以確保工作條件下連接件在連接點處的強度足夠.

本文以末端附加質量塊的矩形等截面均質懸臂細長L梁為研究對象,根據所建立的動力學方程以及邊界條件,用微分求積法對其固有振動特性進行了研究.首先通過對比研究,驗證了本文所用的微分求積法計算過程與結果的正確性,并研究了末端質量、內外梁的長度比、寬度、厚度對各階固有頻率的影響.特別地,本文創新地運用微分求積這一方法求解懸臂L梁的固有振動特性,相比于傳統的直梁結構,額外考慮了其內梁的扭轉變形與拐點處特殊的連續性條件,從而確保了計算精度,推廣了該方法在工程結構中的適用范圍.此外,本文創新地將邊界條件精確施加于邊界點上,在進一步提高計算精度的同時簡化了計算.

1 模型與動力學方程的建立

末端附加質量塊的矩形等截面均質懸臂L梁模型如圖1所示,L梁在計算過程中被分為內、外兩段,以內梁末端(固支端)為原點建立正交固定坐標系O1X1Y1Z1,并以內、外梁連接拐點處為原點建立正交運動坐標系O2X2Y2Z2.

本文考慮內、外梁在振動過程中發生的XOZ面內的橫向彎曲振動與內梁發生的扭轉振動,由此引入內梁撓度w1、外梁撓度w2和內梁扭轉角θ.令內、外梁均為滿足跨高比大于10的細長梁,故可將兩段梁均視為Euler-Bernoulli梁,忽略其剪切變形及繞中性軸轉動慣量的影響.此時動力學方程為內梁的XOZ面內橫向彎曲振動方程(1a)、扭轉振動方程(1b)與外梁的XOZ面內橫向彎曲振動方程(2):

(1a)

(1b)

(2)

其中EI為L梁的抗彎剛度,GIp為L梁的抗扭剛度,ρ為梁的密度,S為梁的橫截面面積.

2 微分求積法求解

2.1 節點坐標的選取

分別將內、外梁的長度正規化為[0,1]后,取Chebyshev多項式的根作為節點坐標進行劃分.在內、外梁各自的長度方向上分別劃分N1與N2個節點,此時各節點坐標為

(3a)

(3b)

其中l1,l2分別為內、外梁的長度.

2.2 插值基函數的選取

選用Lagrange插值基函數進行離散,由插值理論可得

(4a)

(4b)

其中p1j(X),p2j(X)選用Lagrange插值基函數:

(5a)

(5b)

2.3 權系數矩陣的計算

將式(4a)兩側對X1求m階導數,式(4b)兩側對X2求m階導數,分別代入X1=x1i和X2=x2i并化為矩陣形式可得

(6a)

(6b)

其中內、外梁權系數矩陣中的每個元素分別為

(7a)

(7b)

將式(5)代入式(7),可得到一階權系數表達式(8a)與高階權系數表達式(8b):

(8a)

i,j=1,2,…,N1,2;i≠j;m=2,3,…,N1,2-1.

(8b)

2.4 邊界條件的處理

在傳統的節點替代法(δ法)的基礎上,將施加于內部點的邊界條件全部改為施加于邊界點,并減少靠近邊界點處相應數量內部點的四階微分控制方程,得到改進后的邊界條件:

固支端X1=0處

w1(0,t)=0,w′1(0,t)=0,θ(0,t)=0;

(9)

自由端X2=l2處

(10)

其中M2為外梁截面彎矩,Fs2為外梁截面剪力.

L梁拐點處的連續性邊界條件可表示為

(11)

其中M1為內梁截面彎矩,T1為內梁截面扭矩,Fs1為內梁截面剪力.

將X1=x1i代入式(1a)、(1b),得到內梁的內部節點控制方程:

(12a)

(12b)

將X2=x2i代入式(2),得到外梁的內部節點控制方程:

(13)

由以上改進的節點替代法得到邊界條件方程(9)、(10)、(11)共10個,內部節點控制方程(12)、(13)共2N1+N2-10個.

2.5 固有振動特性的求解

設w1(X1,t),w2(X2,t),θ(X1,t)的位移形式為

w1(X1,t)=φ1(X1)e-iωt,w2(X2,t)=φ2(X2)e-iωt,θ(X1,t)=φ(X1)e-iωt.

(14)

聯立式(9)—(13),并將式(14)中的位移形式代入得

(15)

利用微分求積法將高階微分方程組(15)轉化為代數方程組:

(16)

上式可化簡為如下矩陣形式:

(K-ω2M)α=0,

(17)

其中

α=[φ1(x11),φ1(x12),…,φ1(x1N1),φ2(x21),φ2(x22),…,φ2(x2N2),

φ(x11),φ(x12),…,φ(x1N1)]T.

3 結果對比驗證

為了驗證計算結果的正確性, 將本文結果與Cao等[20]利用Galerkin法得到的該系統的各階固有頻率進行對比.對比所用的材料與幾何參數值如表1所示, 表2為微分求積法收斂性研究, 本文理論計算結果與Cao等[20]的理論計算結果以及PATRAN、COMSOL有限元結果的對比情況見表3.

表1 懸臂L梁的幾何與材料參數表

表2 不同節點數下的結構前五階固有頻率表(單位: Hz)

表3 結構前五階固有頻率對比表(單位: Hz)

如表2所示,當N1,2=13時,結構前五階固有頻率已經收斂,故隨后的計算中取節點數N1,2=13.表3中對比結果顯示,本文通過微分求積理論計算得到的各階固有頻率誤差均不超過2%,故本文提出的用微分求積法求解懸臂L梁固有頻率的方法是可行的.有限元求解得到結構前五階模態如圖2所示.

(a)一階,1.405 3 Hz (b)二階,5.554 0 Hz (c)三階,27.779 0 Hz

4 參數討論與分析

首先通過改變外梁長度l2調節內、外梁的長度比,其中當l2/l1為0時,懸臂L梁退化為懸臂直梁.如圖3所示,隨著長度比的增加,結構各階固有頻率均下降,且下降幅度逐漸減小.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

圖4為梁的寬度b的增加對系統固有頻率的影響.由圖可見微分求積法求得的各階固有頻率均呈現上升趨勢,且上升幅度逐漸減小.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

如圖5所示,隨著梁厚h的增加,結構各階橫向彎扭振動固有頻率均顯著上升,在本文研究范圍內,這一變化趨勢接近線性.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

圖6為梁的末端質量m的增加對系統固有頻率的影響,由圖可知各階固有頻率均呈現下降趨勢,且下降幅度逐漸減小.

(a)一階 (b)二階 (c)三階

綜上所述,通過增大梁長比l2/l1、末端質量m,或減小梁寬b、梁厚h等方式均可實現固有頻率的降低.在本文研究范圍內,利用微分求積法求解得到的前五階固有頻率與COMSOL有限元結果的對比誤差均不超過5%,故該算法具有高階精度.值得注意的是,造成這一誤差的主要原因在于:梁結構參數的某些改變導致該結構與Euler-Bernoulli梁理論適應性降低,因此為保證各階固有頻率的計算精度,末端質量m和梁寬b均不宜取值過大,梁長l1,l2也不宜取值過小,應滿足l1,2≥10b.

5 結 論

本文利用微分求積法,對末端附加質量塊的矩形等截面均質懸臂細長L梁的各階固有頻率與模態進行了計算.首先在內、外梁末端分別建立正交坐標系后,建立了結構的動力學方程.之后運用微分求積法,將內、外梁長度方向上的計算區間正規化為[0,1],選取Chebyshev多項式的根作為節點坐標劃分計算區域,并選用Lagrange插值基函數進行插值,進一步求得各階權系數.在列出直接法或改進后的節點替代法處理后的邊界條件方程與連續性條件方程以及內、外梁的內部節點控制方程后,可將方程中給定節點處的函數與其各階導數項用求解域內全部節點函數值的加權和進行表示,整理得到代數方程組并表示為矩陣形式,通過求解廣義特征值問題得到結構各階固有頻率與模態.最后研究了末端質量、內外梁的長度比、寬度、厚度對結構各階固有振動特性的影響.本方法可以進一步應用推廣到相關結構振動的研究中.