異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的預設時間一致性*

龔 平

(廣東外語外貿(mào)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 廣州 510006)

0 引 言

近年來,基于多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制方法被應用于移動機器人[1]、無人機[2]、分布式傳感器網(wǎng)絡[3]和交通運輸系統(tǒng)[4]等不同應用領域.這種控制方法的廣泛應用是因為其克服了集中控制體系結(jié)構(gòu)的某些能力的限制,如設備和傳感器的空間分布,短距離通信和計算負擔[5].分布式一致性問題[6-7]作為分布式協(xié)同控制的一個基本問題和熱點問題,它要求每個智能體僅使用或獲得有限局部信息,使得所有智能體的狀態(tài)在任意初始條件下達成一致.文獻[8-9]對多智能體系統(tǒng)一致性問題進行了綜述,從中可知多智能體系統(tǒng)的分布式一致性問題研究成果豐富,但也存在一些未解決的問題.

分數(shù)階微積分是傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的擴展,它為描述各種材料和過程的記憶和遺傳特性提供了一個極好的工具.近幾十年來,分數(shù)階微積分引起廣泛關注并被應用于信號學、黏彈性理論、流體力學、計算機網(wǎng)絡、電路和控制理論等領域[10-11].分數(shù)階微積分數(shù)學模型的應用可以提高對實際動態(tài)系統(tǒng)的表征、設計以及控制能力,分數(shù)階微積分在控制領域的應用成為一個研究熱點.根據(jù)智能體工作環(huán)境的復雜性,許多自然現(xiàn)象的動力學特性不能應用整數(shù)階方程描述,更適合用分數(shù)階(非整數(shù)階)動力學的智能個體合作行為來解釋.例如在有大量微生物和黏性物質(zhì)的海底工作的水下機器人和在復雜太空環(huán)境運行的無人駕駛飛行器等[12].基于此,分數(shù)階多智能體系統(tǒng)分布式一致性問題研究已經(jīng)得到了相當多的關注,如無領導者的分布式一致性問題[13-17]和有一個領導者的分布式一致性跟蹤問題[18-22].

收斂速率是多智能體系統(tǒng)一致性算法設計的一個重要性能指標.存在的一致性算法大多是漸近收斂算法[8],這意味著智能體狀態(tài)只能在無限時間內(nèi)趨于一致.若需要及時完成某項控制任務,漸近收斂算法顯然無法滿足需求,這就需要設計有限時間內(nèi)收斂的算法.針對分數(shù)階多智能體系統(tǒng),文獻[16,21]設計了含分數(shù)次冪的有限時間收斂算法,并得到了依賴于系統(tǒng)參數(shù)和初始值的算法收斂時間上確界估計.有限時間收斂算法通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)可以滿足某一有限收斂時間的要求.基于固定時間穩(wěn)定性理論[9,23],文獻[24-30]針對不同階數(shù)動態(tài)的多智能體系統(tǒng)設計了含分數(shù)次冪的固定時間一致性算法,并得到了僅依賴系統(tǒng)參數(shù)的算法收斂時間上確界估計.值得注意的是,固定時間控制算法和有限時間控制算法一樣,只能得到依賴于系統(tǒng)參數(shù)的收斂時間上確界估計,因此具有保守性.另一方面,為了減小收斂時間估計值往往需要增加控制參數(shù)值,從而需要更大的控制能量或成本.為了實現(xiàn)不依賴于任何系統(tǒng)參數(shù)和初始值的收斂時間,文獻[31-32]分別針對高階單積分系統(tǒng)和二階線性多智能體系統(tǒng)發(fā)展了基于時變函數(shù)的預設時間控制方法.此外,文獻[33]針對一階線性多智能體系統(tǒng)提出了一種基于時變函數(shù)的預先指定有限時間控制算法,實現(xiàn)了智能體在無需依賴系統(tǒng)參數(shù)和初值的指定有限時間達到一致.進一步地,文獻[34]研究了具有飽和執(zhí)行器的多智能體系統(tǒng)的指定時間一致性跟蹤問題.我們注意到,已有的預設(或指定)時間控制方法要求所有智能體都具有線性或同質(zhì)動態(tài),但通常異質(zhì)非線性動態(tài)廣泛存在于現(xiàn)實場景[21].此外,由于傳感器的感知范圍不均勻,智能體之間的通信拓撲通常由非對稱有向圖而不是對稱無向圖來描述[20].基于預設(或指定)時間控制方法的已有研究成果大多基于無向拓撲下的線性動態(tài)多智能體系統(tǒng),具有較大局限性.據(jù)筆者所知,目前還沒有文獻考慮具有異質(zhì)非線性動態(tài)和有向拓撲的多智能體系統(tǒng)的預設時間一致性問題,雖然異質(zhì)非線性動態(tài)和有向拓撲都增加了問題的研究難度,但更符合實際工程應用背景,具有重要而廣泛的工程應用價值.

基于以上觀察,本文研究了一類異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)在連通無向圖和含生成樹有向圖情況下的預設時間一致性問題.一個主要問題是一些用于同質(zhì)線性多智能體系統(tǒng)框架的工具不能用于異質(zhì)非線性多智能體系統(tǒng)框架; 此外,異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的復雜性與有向網(wǎng)絡圖的非對稱性和局部性,都增加了解決本文研究問題的難度.為了處理具有復雜動態(tài)的異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng),在控制器的設計中同時引入了具有分數(shù)階動態(tài)的濾波變量,一類非負時變函數(shù)和符號函數(shù),將異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)在某個預設時刻轉(zhuǎn)化成了易處理的一階線性多智能體系統(tǒng).通過矩陣變換方法來處理含生成樹有向圖中非對稱的Laplace矩陣.

本文的主要貢獻如下: 1)與文獻[16,21,24-30]中設計的含分數(shù)次冪的有限時間或固定時間控制算法比較,本文設計的預設時間控制算法設計簡單,控制成本低,收斂時間可以預先指定且不依賴于系統(tǒng)參數(shù)和初值.此外,文獻[24-25,27-29]中僅考慮無向圖,而本文考慮了含生成樹的有向圖.2)已有的預設時間一致性問題成果僅限于具有整數(shù)階動態(tài)的多智能體系統(tǒng),本文考慮了具有異質(zhì)分數(shù)階非線性動態(tài)的多智能體系統(tǒng).本文將已有的預設時間一致性問題研究成果推廣到更一般的,具有異質(zhì)分數(shù)階非線性動態(tài)的多智能體系統(tǒng),豐富和發(fā)展了多智能體系統(tǒng)分布式協(xié)同控制理論和方法.

1 預 備 知 識

本節(jié)將給出符號說明、分數(shù)階算子、符號圖論和一些引理等預備知識.

1.1 符號說明

1.2 分數(shù)階算子

定義1、定義2和引理1如下,可參見文獻[11].

定義1 函數(shù)f(t)∈C([0,∞),)的α階積分為

定義2 函數(shù)f(t)∈C([0,∞),)的Caputo分數(shù)階(α階,0<α≤1)導數(shù)為

引理1 當0<α≤1和f(t)∈C([0,∞),)時,有和Dα[Iαf(t)]=f(t).

1.3 代數(shù)圖理論

1.4 重要引理

引理2[33]令h(t,T)∈為一個非負時變函數(shù),如果存在一個常數(shù)γ>0使得

其中

(1)

(2)

m>2為一個實數(shù),T>0為預設時刻.則當t≥T時,有l(wèi)imt→T-V(t)=0和V(t)≡0,這意味著V(t)的原點是全局預設時間穩(wěn)定.此外

(3)

引理3[35]如果圖G為包含有向生成樹的有向圖,L為圖G的Laplace矩陣,

(4)

則存在某個全列矩陣M∈N×(N-1)和某個正定矩陣Q∈(N-1)×(N-1)使得L=ME和

QEM+(QEM)T>δQ

成立,其中0<δ<2mini∈{1,2,…,N-1}Re(λi(EM)),Re(λi(EM))表示矩陣EM的第i個特征值的實部.

2 系統(tǒng)模型和問題描述

考慮由N個智能體組成一個多智能體系統(tǒng).令G為N個智能體之間的網(wǎng)絡拓撲圖.考慮如下異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的預設時間一致性問題:

Dαxi(t)=ui(t)+fi(xi,t), 0<α≤1,i∈I={1,2,…,N},

(5)

其中Dαxi(t)=[Dαxi1(t),Dαxi2(t),…,Dαxin(t)]T∈n,xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T∈n,xi(t)和ui(t)∈n分別表示智能體i的狀態(tài)和控制輸入,異質(zhì)非線性函數(shù)fi(xi,t)∈n表示智能體i的異質(zhì)非線性動態(tài)或異質(zhì)時變擾動.

定義3(預設時間一致性[32-33]) 異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)達到預設時間一致性,如果對于任意的初始狀態(tài)xi(0)都有

(6)

成立,其中T>0為一個預先設定的時間點或時刻.

本文要解決的問題是: 為每個智能體i∈I設計一個分布式控制器ui,使得異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)達到預設時間一致性,即實現(xiàn)控制目標(6).

下文中,為了簡便將省去(t),如將xi(t)簡寫為xi等.

3 主 要 結(jié) 論

在本節(jié)中,通過設計基于時變函數(shù)的預設時間一致性算法,先解決分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)在連通無向圖情況下的預設時間一致性問題,然后把上述結(jié)論拓展到含生成樹的有向圖情況.

3.1 連通無向網(wǎng)絡圖的預設時間一致性

本小節(jié)研究異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)的網(wǎng)絡拓撲圖和異質(zhì)非線性函數(shù)滿足如下假設.

假設1[33]網(wǎng)絡拓撲圖G為連通的無向圖.

注1 假設1中連通無向圖的假設條件在無向網(wǎng)絡中是一個基本的假設條件,如文獻[33]; 此外,在下一小節(jié)中,考慮了更一般的含生成樹有向圖情況,進一步弱化了條件假設1.本文中為了保證控制輸入信號全局有界,假設異質(zhì)非線性函數(shù)fi(xi,t)滿足假設2.當fi(xi,t)有界時顯然滿足假設2,存在很多有界函數(shù)fi(xi,t),如fi(xi,t)=(aiarctan(xi)+gi)3,其中ai為常數(shù);gi=[gi1,gi2,…,gin]T∈n,gik為icos(t),ei-tsin(t),(i+t)-2或i2tanh(t)等有界的時變函數(shù),k=1,2,…,n.注意到,當fi(xi,t)表示異質(zhì)時變擾動時,其有界性假設是一個常見的假設條件,見文獻[32].

當假設1成立時,則圖G的Laplace矩陣L對稱,且對稱的Laplace矩陣L有N個特征值λi滿足0=λ1<λ2≤…≤λN,詳見文獻[6].

首先,引入兩類濾波變量yi和zi分別滿足如下分數(shù)階微分方程:

D1-αyi=xi-zi,

(7)

(8)

令

(9)

若圖G為連通的無向圖,考慮如下基于時變函數(shù)的預設時間分布式一致性控制算法(i∈I):

(10)

(11)

γj>0,j=1,2,b≥1/λ2,時變函數(shù)h(t,Tj)和exi分別由式(1)和(9)定義,T2>T1>0為預先設定時間點(時刻).

注2 實際上,由引理2中定義的非負時變函數(shù)h(t,T)可知

(12)

圖1 閉環(huán)分數(shù)階多智能體系統(tǒng)的框架

定理1 如果假設1和假設2成立,考慮分布式控制器(10),濾波變量(7)、(8)和虛擬控制器(11),則異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)在時刻t=T2時達到預設時間一致性.此外,控制輸入信號全局有界.

證明本定理的證明分為如下3步: 第一步, 證明濾波變量yi在原點是全局預設時間穩(wěn)定; 第二步, 證明多智能體系統(tǒng)(5)的狀態(tài)xi達到預設時間一致性, 即實現(xiàn)控制目標(6); 第三步, 證明控制輸入ui全局有界.

第1步證明濾波變量yi在原點是全局預設時間穩(wěn)定.

利用引理1,分數(shù)階微分方程(7)和(8),有

(13)

將控制器(10)代入式(13)得

(14)

考慮Lyapunov函數(shù)

(15)

由式(14)和假設2可得到Lyapunov函數(shù)V1(t)的導數(shù)滿足

(16)

(17)

(18)

(19)

將虛擬控制器(11)代入式(19)有

(20)

第2步證明多智能體系統(tǒng)狀態(tài)xi達到預設時間一致性.

由假設1可知,Laplace矩陣L有N個特征值λ1,λ2,…,λN滿足0=λ1<λ2≤…≤λN.令

Λ=diag(λ0,λ2,…,λN),Λ0=diag(0,λ2,…,λN),

其中λ0>0為某一常數(shù).易知ex=(L?In)x.假設1成立,則存在一個酉矩陣U∈N×N滿足UTU=UUT=IN,使得L=UTΛ0U.考慮如下Lyapunov函數(shù):

(21)

注意到UTΛ-1U為一個正定矩陣.由文獻[6]可知V2(t)=0當且僅當xi=xj,?i,j∈I.取Lyaunov函數(shù)(21)的導數(shù),有

(22)

事實上,由式(22)可知Lyapunov函數(shù)(21)等價于V2(t)=(1/2)xT(L?In)x.將式(20)代入式(22),可得

(23)

(24)

第3步證明控制輸入ui全局有界.

下面分3種情況證明.

(25)

聯(lián)立式(14)和(18)可得

(26)

(27)

(28)

(29)

□

(S1)設計濾波變量(7)和(8),將分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)轉(zhuǎn)化成含濾波變量的分數(shù)階多智能體系統(tǒng):

(30)

(31)

(32)

(S4)設計vi,即設計預設時間虛擬控制器(11)使得一階線性多智能體系統(tǒng)(32)達到預設時間一致性.

3.2 含生成樹有向網(wǎng)絡圖的預設時間一致性

本小節(jié)把上一小節(jié)中的連通無向網(wǎng)絡圖推廣到更一般的含生成樹有向網(wǎng)絡圖,即研究分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)的網(wǎng)絡拓撲圖滿足如下假設.

假設3 假設網(wǎng)絡拓撲圖G為含一條有向生成樹的有向圖.

若假設3成立,則由定理3可知,存在全列矩陣M∈N×(N-1)和正定矩陣Q∈(N-1)×(N-1)使得L=ME和

QEM+(QEM)T>δQ

(33)

成立,其中0<δ<2mini∈{1,2,…,N-1}Re(λi(EM)),Re(λi(EM))表示矩陣EM的第i個特征值的實部.

若圖G為含有向生成樹的有向圖,考慮如下基于時變函數(shù)的預設時間分布式一致性控制算法(i∈I):

(34)

(35)

γl>0,l=3,4,c≥2/δ,時變函數(shù)h(t,Tl)和exi分別由式(1)和(9)定義,T4>T3>0為預先設定的時間點(時刻).

定理2 如果假設2和假設3成立,考慮分布式控制器(34),濾波變量(7)、(8)和虛擬控制器(35),則異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)在時刻t=T4時達到預設時間一致性.此外,控制輸入信號全局有界.

證明本定理的證明分為如下3步: 第一步,證明濾波變量yi在原點是全局預設時間穩(wěn)定;第二步,證明多智能體系統(tǒng)(5)達到預設時間一致性;第三步,證明控制輸入信號全局有界.

(36)

下面證明多智能體系統(tǒng)(5)達到預設時間一致性.令

選取Lyapunov函數(shù)為

(37)

(4)定義的矩陣E和式(36)可知

(38)

沿著軌跡(38),可得Lyapunov函數(shù)(37)的導數(shù)滿足

(39)

其中最后一個不等式成立因為c≥2/δ.然后利用引理2知

(40)

□

特別地,當α=1時,分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)(5)簡化為如下一階非線性多智能體系統(tǒng):

(41)

由定理2可直接得到如下定理.

定理3 如果假設2和假設3成立,則一階非線性多智能體系統(tǒng)(41)在時刻t=T6時達到預設時間一致性,當

(42)

yi=xi-zi,

(43)

(44)

γp>0,p=5,6,d>2/δ,時變函數(shù)h(t,Tp)和exi分別由式(1)和(9)定義,T6>T5>0為預先設定時間點(時刻).此外,控制輸入信號全局有界.

注6 注意到文獻[16,21,24-30]中設計了含分數(shù)次冪的有限或固定時間控制器,并得到了依賴于系統(tǒng)初值或參數(shù)的收斂時間的上確界值估計.因收斂時間上確界值估計依賴于系統(tǒng)初值或參數(shù)而具有保守性,當無法預先觀測到系統(tǒng)初值或系統(tǒng)參數(shù)不可測時就無法保證規(guī)定的收斂時間,從而無法及時完成某項控制任務.本文設計的基于時變函數(shù)的分布式控制算法(10)和(34)能在某一時刻實現(xiàn)一致性控制,該收斂時刻由時變函數(shù)預先給定且不依賴于系統(tǒng)初值和參數(shù).因此本文設計的基于時變函數(shù)的分布式控制算法(10)和(34)能夠保證預設收斂時間,從而及時完成某項控制任務.

注7 雖然本文設計的控制算法(10)和(34)能夠以分布式的方式在預先給定的獨立于系統(tǒng)參數(shù)和初值的時刻實現(xiàn)低成本和零誤差的一致性控制,但算法(10)和(34)的控制增益依賴于全局信息,如b≥1/λ2和c≥2/δ.因此算法(10)和(34)都不是完全分布式的.如何消除本文設計的預設時間一致性算法中控制增益對全局信息的依賴性,是未來的一個重要研究課題.

4 仿 真 實 例

例1 注意到定理1和定理3都是定理2的一種特殊情況, 本例只驗證定理2的理論結(jié)果.為了驗證定理2中理論結(jié)果的有效性, 考慮如圖2所示的6個智能體之間的含生成樹有向圖G,其中權(quán)重已在圖中給出.令

圖2 含生成樹有向圖G

易知假設2和假設3都成立.此外,為了比較分數(shù)階參數(shù)α對系統(tǒng)控制性能的影響,我們考慮具有不同階數(shù)而其他參數(shù)和初值都相同的控制算法(34)和控制算法(42)(即考慮定理2和定理3中的控制算法).定理2中設計的控制算法的參數(shù)和初值分別選取為:α=0.8,γ3=γ4=1,m=3,T3=0.8 s,T4=2 s,

通過計算可得mini∈{1,2,…,5}Re(λi(EM))=0.5,故取δ=0.5和c=5>2/δ,

[x1(0),x2(0),…,x6(0)]=[1,5,-3,-4,3,2],

[y1(0),y2(0),…,y6(0)]=[5,-1,3,-5,1,-3],

[z1(0),z2(0),…,z6(0)]=[-1,1,2,-2,-3,3].

圖3 當α=0.8時,濾波變量yi和一致性誤差的軌跡

圖4 當α=1時,濾波變量yi和一致性誤差的軌跡

圖5 當α=0.8時,控制器和ui的軌跡

進一步觀察比較圖5和圖6可知,分數(shù)階多智能體系統(tǒng)(α=0.8)比一階多智能體系統(tǒng)(α=1)在達到預設時間一致性時所需消耗的控制能量更少,這說明分數(shù)階控制算法能夠獲得比傳統(tǒng)整數(shù)階控制算法更好的控制性能.此外,我們注意到圖5和圖6中控制器ui在零附近線條比較粗,這是因為控制器ui含有在零點不連續(xù)的符號函數(shù),而不連續(xù)符號函數(shù)易引起抖振現(xiàn)象,從而導致控制器ui在零附近線條比較粗.

圖7 取不同參數(shù)γ3,γ4和初值x(0)時,一致性誤差的軌跡

注8 值得注意的是,文獻[16,21,24-30]中設計了含分數(shù)次冪的有限時間或固定時間控制器,并得到了算法收斂時間的上確界估計值,該上確界估計值依賴于系統(tǒng)參數(shù)且估計具有保守性.為了得到較小的上確界估計值需要選取較大的控制增益, 從而需要更大的控制能量或控制成本.與文獻[16,21,24-30]中設計的有限時間或固定時間控制器比較, 本文設計的預設時間控制器具有如下優(yōu)點: 1)收斂時間與系統(tǒng)參數(shù)和初值無關; 2)能夠預先保證精確的收斂時間; 3)低控制成本; 4)設計簡單.

5 結(jié) 論

本文研究了一類異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)的預設時間一致性問題.當多智能體網(wǎng)絡圖是連通無向圖和含生成樹的有向圖時,通過引入濾波變量和一類非負時變函數(shù),分別設計了實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)精確預設時間一致性控制的分布式控制器.最后,通過仿真實例驗證了所提出的預設時間控制算法的有效性.把本文的結(jié)果推廣到更高階的異質(zhì)分數(shù)階非線性多智能體系統(tǒng)中,是未來一個有趣的研究方向.此外,如何設計連續(xù)的控制算法,以消除本文設計的不連續(xù)算法容易引起的抖振現(xiàn)象,亦是未來的一個研究方向.