探究算理的一致性　培養學生運算能力

張志紅

《義務教育數學課程標準》（2022版）指出：“義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。”核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的，作為落實學生核心素養培養的重要載體，計算教學一直都是小學數學的基礎和核心內容。計算教學的重點在于幫助學生理解算理、掌握算法，引導學生體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力、培養推理意識。

一、小數除法的難點及解決策略

計算教學中，小數除法是教師教起來堵點最多，學生學起來難度最大的一個內容。首先，在加、減、乘、除四則運算中，除法計算是最復雜的。其次，學習小數除法必須要有下列基礎：明確除法的兩種含義，平均分和包含分；明確整數除法的算理，掌握計算法則并能熟練計算。學生在二年級認識了除法的含義，在三年級下冊和四年級上冊分別學習了除數是一位數和兩位數的整數除法。無論哪個內容，都是當時的難點。

在人教版的教材中，小數除法單元的內容編排如圖1所示。

教學的核心內容是“除數是整數的小數除法”和“一個數除以小數”。從圖1可以看出，教材通過創設情境，根據小數的意義將小數除法轉化為整數除法；在整數部分除完以后，在被除數小數部分的末尾添“0”繼續除；整數部分不夠商“1”要商“0”占位；根據商不變性質把一個數除以小數轉化為一個數除以整數。幾個環節看似完美組合，實際上學生的認知是零散的、片段式的，每一個內容都可能成為學生學習的難點。

如何理順小數除法的學習過程，達到既定的學習目標呢？我們要從除法“分”的本質出發，以計數單位為“分”的對象，用“接著分”的方式貫通小數除法和整數除法的算理。打通了算理的“任督二脈”，能夠大幅降低學生學習的難度。在此基礎上指導學生掌握小數除法的基本計算方法，并能根據數據特點靈活選擇計算方法，最終培養學生的運算能力。

二、以“接著分”貫通整數除法和小數除法的算理

二年級初識除法，學習了除法的兩個含義——“平均分”和“包含分”。無論是對除法意義的理解，還是學習除法的計算方法，只要緊緊抓住這兩個“分”，就能破解除法學習難點。

三年級下冊學習“除數是一位數的除法”，我們可以用“平均分”來解釋除法的計算過程，并表現為豎式的形式。

根據一般認知，分東西肯定是先分整盒，再分單支。7盒平均分成3份，每份分2盒；將剩下的1盒與8支合在一起，18支鉛筆平均分成3份，每份分6支（如圖2所示）。

脫離分實物，就可以把分的對象直接看作計數單位，寫成除法豎式如圖3所示。

四年級上冊學習“除數是兩位數的除法”，同樣可以用“平均分”來理解算理，并表現為豎式的形式。計算442÷34，就是把442平均分成34份。4個百平均分成34份，每一份不夠1個百；44個十平均分成34份，每份有1個十，在十位商1；分走了34個十，剩下的10個十和2個一合起來是102，平均分成34份，每份有3個一，在個位商3，正好分完。

學習小數除法前，就可以從喚起學生整數除法算理的記憶開始。比如計算279÷6（如圖4所示）。

明確了除法計算就是將計數單位從大到小依次平均分的過程后，就可以提出新的問題：還能繼續分嗎？因為此時學生對“計數單位”的學習已經從整數部分擴充到小數部分，可以把“3個一”看作“30個十分之一”，當然可以繼續分下去。把30個十分之一，平均分成6份，每份有5個十分之一，在商的十分位上寫“5”（如圖5所示）。

沒有“新知轉化為舊知”的過程，不需要單位換算這樣的腳手架，只要將沒有分完的較大的計數單位轉化為較小的計數單位，就能繼續分下去。通過這樣的處理，小數除法依然是一個“新內容”，小數除法的算理卻是一個“舊知識”，難度自然大幅減少。

三、以“夠不夠分”破解小數除法計算中的典型問題

解決了小數除法的算理，并不意味著學生就能順利計算小數除法題。小數點位置的確定、試商的難度、計算過程復雜等都會影響計算的正確率。學生計算5.88÷0.56正確率較低，下面兩種錯誤就比較常見（如圖6所示）。其實問題是一致的，當28除以56，不夠商“1”時，沒有在個位商“0”占位。

這種商中間的“0”漏掉的情況，在第一階段學完除數是整數的除法后，就安排了類似的練習（如圖7所示），為什么學完了整個內容還有高頻率的類似錯誤？關鍵在于算理不清。我們可以從“夠不夠分”的角度幫助學生解決問題。如14.21÷7，第1次14個一平均分成7份，每一份有2個一，在個位商1；第2次2個十分之一平均分成7份，每一份夠不夠1個十分之一呢？顯然不夠，就要在十分位上商0。每計算一步，都是將計數單位進行平均分，都可以問一問“夠不夠分”。有問有答，有思有果，商中間的“0”就不會遺漏。很多計算中的典型問題不能簡單地歸因為學生計算不細致，大多數不細致背后的原因是算理不清。

四、以“還可以怎樣……”優化計算策略，發展學生思維

數學教學的終極目標是培養學生核心素養，以適應未來社會發展和學生自我成長的需要。學生學習小數除法，不僅要知道“怎樣算”“為什么這樣算”，更要學會思考“還可以怎樣算”“怎樣算更好”，也就是要形成運算能力，能夠根據條件尋找簡潔、高效的運算方法。

培養學生的運算能力，教師要“心里有數”，要有“我是用數學教學生的”的思想認識，通過知識的教學來提升學生的思維水平。只有認識到位了，才不會緊盯著計算結果是否正確，而是以足夠的耐心傾聽學生的想法，關注想法背后的原因。

培養學生的運算能力，要善于挖掘習題的附加值。不僅要做完這個題、做對這個題，還要想一想，還可以怎樣算？還可以提出哪些有價值的問題？

現在的教材很少出現“用簡便方法計算下面各題”的要求。一方面是學生的發展水平不一，不做統一要求；另一方面是有能力的學生要學會主動發現數據特點、靈活運用所學知識進行計算。學生在學完了小數除法的知識后，教材安排了下面這一組計算題（如圖8所示）。

學生獨立完成練習后，教師可以根據反饋交流的情況進行引導：“還有更簡便的算法嗎？”“42÷28”“19.8÷3.3”可以利用商不變的性質將題目化簡為“6÷4” “6.6÷1.1”，豎式計算就可以轉化為口算；“2.5×3.6”“18×0.45”則可以先分解再組合，達到巧算的目的。教學過程中，我們倡導每個學生呈現最真實的思維狀態，用自己的方法去解決問題，更要通過不同方法的比較，培養學生簡潔、優化的思維意識和水平。

一道題的價值有多大，取決于教師對題目的研究深度。教師要看到出題者背后的想法，要考慮還可以從哪些方面引導學生思考呢。學生學完除數是整數的除法后，安排了這樣一個練習（如圖9所示）。

題目的初衷并不是簡單地根據計算結果概括出結論，而是基于除法的意義解釋結論。但是學生剛剛學習小數除法，絕大部分學生都是通過計算來確定這個題的商是否小于1，只有少數學生會觀察被除數和除數的大小，思考整數部分“夠不夠”商1，從而快速做出判斷。此時教師首先要引導學生進行比較，哪種方法的效率更高；其次進行歸納，為什么能這么快地確定它的商小于1。既尊重學生現階段的學習水平，又達成了題目既定的目標。再次，商小于1的有4道算式，另外4道算式的商都大于1，教師可以引導學生思考商大于1的算式有什么共同點？什么情況下商等于1呢？最后，引導學生用估算的策略來確定商的范圍。比如76.5÷45的商肯定大于1，會小于幾呢？只有思路打開了，學生才會積極主動去思考問題；只有經常主動思考問題，思維能力才能得到發展。

五、結語

數學是思維的載體，數學學科的核心素養最終指向的都是學生的思維能力。面對計算教學這樣的基礎內容，教師要有更高的站位，從整體上把握教學內容，在理解整數、小數、分數意義的同時，以計數單位為核心，探究同一種運算本質上的一致性。運算本質一致的認識不僅能有效降低學習難度，提升學習效果，還能加深學生對數的認識和理解。