從歐拉公式說起

趙曉輝 魏文英 李小敏 楊廣武

摘要：復變函數論方法在流體力學、空氣動力學、彈性理論等方面，都有重要應用。文中僅介紹了重要的歐拉公式，以歐拉公式為基礎，通過復數運算、共軛運算、三角函數運算等運算方法，證明得到了數學界公認的最美公式，它把數學中常用的、、、、5個數用一個式子聯系在了一起；證明得到了基本三角函數等指數表示式，并由此指出復變函數中正弦函數、余弦函數的無界性，指數函數的周期性；把迪莫夫公式、歐拉公式、共軛運算有關知識結合起來，解決了兩個重要級數的求和問題。并在此過程中引導學生發現，在實變量函數中，重要極限和一些用洛必達法則所能處理的問題在復數域將出現危機，以這些問題來提高學生對復變函數的興趣。

關鍵詞：復數；共軛運算；復指數函數；歐拉公式；最美公式；共軛復數

Starting with Euler's Formula

Zhao Xiaohui1? Wei Wenying1? Li Xiaomin1? Yang Guangwu2

1.School of Software of Hebei polytechnic institute? HebeiShijiazhuang? 050091; 2. College of Science of Hebei University of Science and Technology? HebeiShijiazhuang? ?050018

Abstract： The method of complex function theory has important applications in hydrodynamics， aerodynamics， elasticity theory and so on. This paper only introduces the important Euler formula. On the basis of Euler formula， The most beautiful formula in mathematics is obtained by complex number operation， conjugate operation， trigonometric function operation and other operation methods， which links the 、、、、 five numbers. The research has obtained exponential expressions such as basic trigonometric functions， the unbounded nature of sine and cosine functions in complex functions， and the periodicity of exponential functions. The problem of summing two important series is solved through the combination of Dimov's formula， Euler's formula， conjugate operation. In this process， students are guided to find that in the function of real variables， the important limits and some problems that can be dealt with by L 'Hopital's rule will be in crisis in solving complex number domain， and these questions are used to improve students' interest in complex functions.

Keywords： complex number; Conjugate operation; Complex exponential function; Euler's formula; The most beautiful formula; Conjugate complex number

歐拉被尊為近世三大數學家之一，他28歲時，一眼失明，在他生命的最后17年間，雙目失明，但憑借著他那了不起的記憶力和豐富的想象力，加上有人幫助他口述筆錄，又寫出了浩繁的著作和四百篇研究。歐拉是頂瓜瓜的方法家，又是一位數學巨匠，他研究了數學在許多方面的應用。由于他的高尚品質和貢獻，贏得了廣泛的尊重，從而在他晚年能把那時歐洲的所有數學家當作他的學生。人們可以在數學的所有分支中找到他的名字，其中有歐拉公式、歐拉多項式、歐拉常數、歐拉積分和歐拉線等。我們先來介紹歐拉公式，并簡單的介紹一點歐拉公式的應用。

1 歐拉公式

將實變量的相應冪級數展式推廣到復變量

我們規定：

注意到（2）（3）的符號以4個位置為周期以及也有同樣的周期：即

將（1）中的換為，并整理，有

便得到重要的歐拉公式：

歐拉公式有許多各種各樣的應用，在歷史上，它的發現是促使進一步研究復變函數的主要誘

因之一。[1-8]

“最美公式”

由（2）（3）知為偶函數，為奇函數。將（4）中的換為，有

由（4）（5）相加減，我們得到

（6）為基本三角函數的指數表示式，它表明對三角函數的研究，可化為對指數函數的研究。

由歐拉公式，有

（7）把五個“最重要的數”、、、、聯系在了一起，人們稱其為“最美的”公式。

另外，由級數乘法可以證明，在整個平面上都不等于零，事實上，設，有，。

對三角函數和，兩角和（差）公式，以為周期，以及都是仍然成立的，但其證明方法不同于實數域內的證明。所以學習復變函數時要與數學分析（或高等數學）有關內容聯系比較，注意它們的同異。[5-8]

1.3只在實數域范圍內，不可能有歐拉公式，不能建立，，之間的關系

在實數域中，指數函數是單調函數，而在復數域內是周期函數，周期為，事實上

在實數范圍內，，而在復數范圍內可以算出：，所以，而且，在復數域內與是無界的，事實上，如在射線，上，有

要注意，不能從（8）（9）比較等式兩端實虛部而得到（10）（11），因為不能確定及為實的[8-9]。

2 共軛運算一些推廣及應用之例

（1）共軛復數是概念，也是運算，只知道概念和簡單的運算，是不應該滿足的，要思考和試探研究其推廣。本段以應用為目的，用例題的形式，說明共軛運算在求的實部和求級數和中的應用。如，由指數乘法及歐拉公式，有

據此可以證明

以及由三角函數的指數表示式，有，和（因），

（2）例1查表求的實部

解：

這樣，便可以通過查指數函數表和三角函數表而求得.

級數求和是重要的，以下給出重要級數求和的例子

例2 ，設，求級數

及的和

解：由和，知有收斂的級數：

由，（12）式可以寫為

對（13）式兩邊取共軛，有

（13）+（14），有

由（15）即有

（13）—（14），有

即

3 幾個小問題

“時空”觀的問題介紹很重要，一定要知道是在什么范圍、什么條件下討論問題的。有人只說注意復變函數論與實變數學分析的類同之處，而忽視了它們的區別。本段用幾分小例子提醒各位，既要看到類同，又要注意區別。

設為復變量，

哥德巴赫猜想、費馬定理都是在正整數范圍內討論問題的。由求解代數方程知道，在不同的數域內，方程根的情況不同，只有在復數域內，才能說次代數方程有個根。

我們知道，在實變量的情形，有一個熟知的重要極限。這個結果，是用“夾逼準則”證明得到的。在我們這里，應該特別著重地說明，復數不比大小，復數集是“無序集”（亦稱“良序集”。這一點，近年來一些復變函數的書，沒有加以說明），因此在復數域內就沒有“夾逼準則”，沒有“單有界準則”，也沒有左右極限的概念，你有辦法解決嗎？

在實變量范圍內，由，知。而在復變量范圍內不再成立，具體說，而且和都是無界的。這個極限會怎么樣呢？

我們知道，在實變量的情形，對用洛必達法則，可得。而洛必達法則，是作為“微分學中值定理”應用而證明得到的，在復變函數中沒有“微分學中值定理”，沒有洛必達法則，這個極限怎么樣呢？怎么處理呢？[10-12]

這些問題，在討論解析函數的孤立奇點及其留數時都可以解決。

本文以歐拉公式、共軛復數和幾個小問題為例，想說明：第一，我們不但要學習前人所創造的知識，還要學習前人艱苦奮斗、研究創新、著重應用的精神。第二，讀書時要學思想、學方法，要敢于提出問題、想問題，要接受和推廣前人的結果，要敢于考慮和解決前人沒有解決的問題。第三，科學家的貢獻是寶貴的，但任何科學家的認識都是有歷史局限性的。本文只就點滴的復變函數知識說了一點話，現在復變函數理論的應用（如在彈性理論、空氣動力學等等方面），又有很多的發展，所以我們總是說學精神、學思想、學方法，要學習繼承，要創新發展。

參考文獻：

[1]李小平，趙旭波.利用歐拉公式解兩類特殊類型函數的不定積分[J].高等數學研究，2021，24（06）：47-48.

[2]張捍衛，喻錚錚，雷偉偉.四元數的基本概念與向量旋轉的歐拉公式[J].大地測量與地球動力學，2020，40（05）：502-506.

[3]何基好.基于教學-自主學習的復變函數教學改革研究[J].才智，2021（10）：83-84.

[4]吳延紅.復變函數與積分變換課程教學與學習情況調研分析及對策研究[J].黑龍江科學，2021，12（17）：102-103.

[5]H.И穆斯赫里什維里.數學彈性力學的幾個基本問題[M].王柔懷，陳詩華，等，譯.北京：科學出版社，1958.

[6]L.倍爾斯.準解析函數[M].聞國椿，譯.北京：科學出版社，1964.

[7]聞國椿，楊廣武，黃沙，等.廣義解析函數及其拓廣[M].河北：河北教育出版社，1989.

[8]趙曉輝，楊廣武.講同類，講區別：談關于復變函數論的教與學[J].數學學習與研究，2017（22）：7-9.

[9]趙曉輝，楊廣武.復數共軛運算的推廣及應用[J].江漢大學學報（自然科學版），2018，46（01）：27-30.

[10]趙曉輝，楊廣武.關于微分學中值定理的一些注解和新證法[J].河北北方學院學報（自然科學版），2019，35（09）：6-10.

[11]趙曉輝，楊廣武.關于勃拉希克型逼近的注記（英文）[J].黑龍江大學自然科學學報，2016，33（02）：200-204.

[12]趙曉輝，聞國椿，楊廣武.一類二階退化雙曲型方程Darboux問題解的存在唯一性[J].溫州大學學報（自然科學版），2017，38（03）：16-22.

課題：河北省高等學校科學技術研究課題（課題編號：ZC2023168）

作者簡介：趙曉輝（1982—? ），女，漢族，河北順平縣人，碩士，講師，研究方向：偏微分方程的函數論方法、教材教法研究；魏文英（1982—? ），女，漢族，河北邯鄲人，碩士研究生，副教授，研究方向：大學數學教學改革及研究；李小敏（1981—? ），女，土家族，湖南慈利人，研究生，副教授，研究方向：大學數學教學、一般拓撲學和數學優化理論研究；楊廣武（1935—? ），男，漢族，河北威縣人，本科，教授，享受國務院特殊津貼，研究方向：偏微分方程的函數論方法。