從歐拉公式說起

趙曉輝 魏文英 李小敏 楊廣武

摘要：復(fù)變函數(shù)論方法在流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、彈性理論等方面，都有重要應(yīng)用。文中僅介紹了重要的歐拉公式，以歐拉公式為基礎(chǔ)，通過復(fù)數(shù)運(yùn)算、共軛運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算等運(yùn)算方法，證明得到了數(shù)學(xué)界公認(rèn)的最美公式，它把數(shù)學(xué)中常用的、、、、5個(gè)數(shù)用一個(gè)式子聯(lián)系在了一起；證明得到了基本三角函數(shù)等指數(shù)表示式，并由此指出復(fù)變函數(shù)中正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的無界性，指數(shù)函數(shù)的周期性；把迪莫夫公式、歐拉公式、共軛運(yùn)算有關(guān)知識(shí)結(jié)合起來，解決了兩個(gè)重要級(jí)數(shù)的求和問題。并在此過程中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在實(shí)變量函數(shù)中，重要極限和一些用洛必達(dá)法則所能處理的問題在復(fù)數(shù)域?qū)⒊霈F(xiàn)危機(jī)，以這些問題來提高學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)的興趣。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；共軛運(yùn)算；復(fù)指數(shù)函數(shù)；歐拉公式；最美公式；共軛復(fù)數(shù)

Starting with Euler's Formula

Zhao Xiaohui1? Wei Wenying1? Li Xiaomin1? Yang Guangwu2

1.School of Software of Hebei polytechnic institute? HebeiShijiazhuang? 050091; 2. College of Science of Hebei University of Science and Technology? HebeiShijiazhuang? ?050018

Abstract： The method of complex function theory has important applications in hydrodynamics， aerodynamics， elasticity theory and so on. This paper only introduces the important Euler formula. On the basis of Euler formula， The most beautiful formula in mathematics is obtained by complex number operation， conjugate operation， trigonometric function operation and other operation methods， which links the 、、、、 five numbers. The research has obtained exponential expressions such as basic trigonometric functions， the unbounded nature of sine and cosine functions in complex functions， and the periodicity of exponential functions. The problem of summing two important series is solved through the combination of Dimov's formula， Euler's formula， conjugate operation. In this process， students are guided to find that in the function of real variables， the important limits and some problems that can be dealt with by L 'Hopital's rule will be in crisis in solving complex number domain， and these questions are used to improve students' interest in complex functions.

Keywords： complex number; Conjugate operation; Complex exponential function; Euler's formula; The most beautiful formula; Conjugate complex number

歐拉被尊為近世三大數(shù)學(xué)家之一，他28歲時(shí)，一眼失明，在他生命的最后17年間，雙目失明，但憑借著他那了不起的記憶力和豐富的想象力，加上有人幫助他口述筆錄，又寫出了浩繁的著作和四百篇研究。歐拉是頂瓜瓜的方法家，又是一位數(shù)學(xué)巨匠，他研究了數(shù)學(xué)在許多方面的應(yīng)用。由于他的高尚品質(zhì)和貢獻(xiàn)，贏得了廣泛的尊重，從而在他晚年能把那時(shí)歐洲的所有數(shù)學(xué)家當(dāng)作他的學(xué)生。人們可以在數(shù)學(xué)的所有分支中找到他的名字，其中有歐拉公式、歐拉多項(xiàng)式、歐拉常數(shù)、歐拉積分和歐拉線等。我們先來介紹歐拉公式，并簡單的介紹一點(diǎn)歐拉公式的應(yīng)用。

1 歐拉公式

將實(shí)變量的相應(yīng)冪級(jí)數(shù)展式推廣到復(fù)變量

我們規(guī)定：

注意到（2）（3）的符號(hào)以4個(gè)位置為周期以及也有同樣的周期：即

將（1）中的換為，并整理，有

便得到重要的歐拉公式：

歐拉公式有許多各種各樣的應(yīng)用，在歷史上，它的發(fā)現(xiàn)是促使進(jìn)一步研究復(fù)變函數(shù)的主要誘

因之一。[1-8]

“最美公式”

由（2）（3）知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。將（4）中的換為，有

由（4）（5）相加減，我們得到

（6）為基本三角函數(shù)的指數(shù)表示式，它表明對(duì)三角函數(shù)的研究，可化為對(duì)指數(shù)函數(shù)的研究。

由歐拉公式，有

（7）把五個(gè)“最重要的數(shù)”、、、、聯(lián)系在了一起，人們稱其為“最美的”公式。

另外，由級(jí)數(shù)乘法可以證明，在整個(gè)平面上都不等于零，事實(shí)上，設(shè)，有，。

對(duì)三角函數(shù)和，兩角和（差）公式，以為周期，以及都是仍然成立的，但其證明方法不同于實(shí)數(shù)域內(nèi)的證明。所以學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)時(shí)要與數(shù)學(xué)分析（或高等數(shù)學(xué)）有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系比較，注意它們的同異。[5-8]

1.3只在實(shí)數(shù)域范圍內(nèi)，不可能有歐拉公式，不能建立，，之間的關(guān)系

在實(shí)數(shù)域中，指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，而在復(fù)數(shù)域內(nèi)是周期函數(shù)，周期為，事實(shí)上

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，，而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)可以算出：，所以，而且，在復(fù)數(shù)域內(nèi)與是無界的，事實(shí)上，如在射線，上，有

要注意，不能從（8）（9）比較等式兩端實(shí)虛部而得到（10）（11），因?yàn)椴荒艽_定及為實(shí)的[8-9]。

2 共軛運(yùn)算一些推廣及應(yīng)用之例

（1）共軛復(fù)數(shù)是概念，也是運(yùn)算，只知道概念和簡單的運(yùn)算，是不應(yīng)該滿足的，要思考和試探研究其推廣。本段以應(yīng)用為目的，用例題的形式，說明共軛運(yùn)算在求的實(shí)部和求級(jí)數(shù)和中的應(yīng)用。如，由指數(shù)乘法及歐拉公式，有

據(jù)此可以證明

以及由三角函數(shù)的指數(shù)表示式，有，和（因），

（2）例1查表求的實(shí)部

解：

這樣，便可以通過查指數(shù)函數(shù)表和三角函數(shù)表而求得.

級(jí)數(shù)求和是重要的，以下給出重要級(jí)數(shù)求和的例子

例2 ，設(shè)，求級(jí)數(shù)

及的和

解：由和，知有收斂的級(jí)數(shù)：

由，（12）式可以寫為

對(duì)（13）式兩邊取共軛，有

（13）+（14），有

由（15）即有

（13）—（14），有

即

3 幾個(gè)小問題

“時(shí)空”觀的問題介紹很重要，一定要知道是在什么范圍、什么條件下討論問題的。有人只說注意復(fù)變函數(shù)論與實(shí)變數(shù)學(xué)分析的類同之處，而忽視了它們的區(qū)別。本段用幾分小例子提醒各位，既要看到類同，又要注意區(qū)別。

設(shè)為復(fù)變量，

哥德巴赫猜想、費(fèi)馬定理都是在正整數(shù)范圍內(nèi)討論問題的。由求解代數(shù)方程知道，在不同的數(shù)域內(nèi)，方程根的情況不同，只有在復(fù)數(shù)域內(nèi)，才能說次代數(shù)方程有個(gè)根。

我們知道，在實(shí)變量的情形，有一個(gè)熟知的重要極限。這個(gè)結(jié)果，是用“夾逼準(zhǔn)則”證明得到的。在我們這里，應(yīng)該特別著重地說明，復(fù)數(shù)不比大小，復(fù)數(shù)集是“無序集”（亦稱“良序集”。這一點(diǎn)，近年來一些復(fù)變函數(shù)的書，沒有加以說明），因此在復(fù)數(shù)域內(nèi)就沒有“夾逼準(zhǔn)則”，沒有“單有界準(zhǔn)則”，也沒有左右極限的概念，你有辦法解決嗎？

在實(shí)變量范圍內(nèi)，由，知。而在復(fù)變量范圍內(nèi)不再成立，具體說，而且和都是無界的。這個(gè)極限會(huì)怎么樣呢？

我們知道，在實(shí)變量的情形，對(duì)用洛必達(dá)法則，可得。而洛必達(dá)法則，是作為“微分學(xué)中值定理”應(yīng)用而證明得到的，在復(fù)變函數(shù)中沒有“微分學(xué)中值定理”，沒有洛必達(dá)法則，這個(gè)極限怎么樣呢？怎么處理呢？[10-12]

這些問題，在討論解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其留數(shù)時(shí)都可以解決。

本文以歐拉公式、共軛復(fù)數(shù)和幾個(gè)小問題為例，想說明：第一，我們不但要學(xué)習(xí)前人所創(chuàng)造的知識(shí)，還要學(xué)習(xí)前人艱苦奮斗、研究創(chuàng)新、著重應(yīng)用的精神。第二，讀書時(shí)要學(xué)思想、學(xué)方法，要敢于提出問題、想問題，要接受和推廣前人的結(jié)果，要敢于考慮和解決前人沒有解決的問題。第三，科學(xué)家的貢獻(xiàn)是寶貴的，但任何科學(xué)家的認(rèn)識(shí)都是有歷史局限性的。本文只就點(diǎn)滴的復(fù)變函數(shù)知識(shí)說了一點(diǎn)話，現(xiàn)在復(fù)變函數(shù)理論的應(yīng)用（如在彈性理論、空氣動(dòng)力學(xué)等等方面），又有很多的發(fā)展，所以我們總是說學(xué)精神、學(xué)思想、學(xué)方法，要學(xué)習(xí)繼承，要?jiǎng)?chuàng)新發(fā)展。

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課題：河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究課題（課題編號(hào)：ZC2023168）

作者簡介：趙曉輝（1982—? ），女，漢族，河北順平縣人，碩士，講師，研究方向：偏微分方程的函數(shù)論方法、教材教法研究；魏文英（1982—? ），女，漢族，河北邯鄲人，碩士研究生，副教授，研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革及研究；李小敏（1981—? ），女，土家族，湖南慈利人，研究生，副教授，研究方向：大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、一般拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)優(yōu)化理論研究；楊廣武（1935—? ），男，漢族，河北威縣人，本科，教授，享受國務(wù)院特殊津貼，研究方向：偏微分方程的函數(shù)論方法。