帶擾動的多閾值馬爾可夫調制風險模型中的Gerber-Shiu 函數

魏世鴻,江五元

(湖南理工學院 數學學院,湖南 岳陽 414006)

0 引言

在經典保險理論中,一般假設索賠到達時間間距和索賠數量是相互獨立的.實際上,這種獨立性假設不太符合現實情況.基于此,許多學者研究索賠時間間距與索賠數量相互依賴的保險風險模型[1～3].在馬爾可夫調制風險模型中,索賠間隔的分布依賴于先前的索賠數量,該模型由Janssen 和Reinhard 提出[4].Albrecher 和 Boxma 利用Laplace-Stieltjes 變換研究馬爾可夫調制風險模型中的折現罰函數,得到Gerber-Shiu 函數的閉式解和漸近行為[5].Cheung 和 Landriault 推廣了文[5]的工作[6].Liu 等將馬爾可夫調制風險模型擴展到包含障礙策略的情況[7].Yang 等討論一個具有恒定利率和重尾分布的馬爾可夫調制風險模型,分析在某些特殊情況下破產概率的漸近行為[8].在離散馬爾可夫調制風險模型中,Chen 等考慮離散馬爾可夫調制風險模型的生存概率,提出計算雙狀態模型下生存概率的遞歸方法[9].Chen 等討論離散馬爾可夫調制風險模型的股息問題,推導出總預期折現股息的表達式[10].

在分紅策略保險風險模型中,恒定障礙策略和閾值策略是保險理論中較普遍的兩種分紅策略.Cheung和 Landriault 考慮障礙分紅策略下的擾動馬爾可夫到達(MAP)風險模型,分析折現紅利支付的時刻和Gerber-Shiu 函數[11].Cheng 和Wang 討論閾值分紅策略下的擾動MAP 風險模型,得到Gerber-Shiu 函數和總紅利支付時刻的解析解[12].多閾值分紅模式使得保險公司可以根據自身當前資本數量來改變分紅或保險費率.當保險公司希望對其收益保持固定的保留比例,并向投保人支付紅利時,這種動態保費保單可能更合理.文[13～15]研究多閾值分紅問題.Liu 等考慮具有障礙策略的馬爾可夫依賴風險模型,得到當初始盈余為零或所有索賠金額分布均屬于有理族時的Gerber-Shiu 函數的解析解[7].Zhou 等討論具有多閾值分紅策略的馬爾可夫依賴風險模型[16].文[17]和[18]研究擴散擾動風險模型.

本文在多閾值分紅策略的馬爾可夫依賴風險模型中引入擴散干擾,得到Gerber-Shiu 函數所滿足的積分-微分方程,并對方程進行求解.

1 風險模型構建

本文考慮多閾值帶干擾的馬爾可夫調制風險模型,其盈余過程為

其中u≥0是初始盈余;c(U(t))是t時刻的保費率,而c(x)是一個確定的正函數;B(t)為標準布朗運動,σ為擾動系數;N(t)表示到時間t的索賠次數,N(t)=max{k|W1+W2+…+Wk＜t},Wi表示第i-1次到第i次索賠之間的間隔時間.

在多閾值風險模型下,設 0=b0＜b1＜b2＜…＜bn=∞,則

因此有

類似文[5],定義如下的馬爾可夫調制的風險模型結構:

其中 {Zl,l≥0}是離散時間馬爾可夫鏈.

E={1,2,3,…,m}和Λ=(αij)m×m是關于Zl的狀態空間和轉移矩陣.在每一次索賠到達時刻,馬爾可夫鏈跳轉到一個狀態j,并且該索賠分布Fj取決于新的狀態j,與下一次到達時間的時間間隔服從參數為λj的指數分布.在給定狀態Zl-1和Zl時,Wl和Xl是相互獨立的,但索賠數量和連續索賠時間之間存在自相關,即Wl和Xl之間存在自相關.設在狀態k時索賠數量的j階矩為,為滿足在每一層閾值下的收入為正,假設,其中π={π1,π2,…,πm}是過程 {Zn}的平穩分布.

定義T=inf{t≥0:U(t)≤0}為破產時間,P(T＜∞|U(0)=u,Z0=i) 為破產概率,其中P(T＜∞,U(t)＜0|U(0)=u,z0=i)是由索賠引起的破產概率,P(T＜∞,U(t)=0|U(0)=u,z0=i)是由干擾引起的破產概率.

令Li,d(u)=E[e-δTI(T＜∞,U(t)=0)|U(0)=u,Z0=i]為由干擾引起的破產時間T的Laplace 變換.

定義ω(x,y),x,y≥0是非負的懲罰函數,則

為由索賠引起破產的期望折現罰(Gerber-Shiu)函數.設ω(0,0)=1,則

這里Li(u)表示總的Gerber-Shiu 函數.

在下文第3、4 節中只考慮由索賠引起的破產,所以其中的Li(u)就表示Li,s(u).

2 積分微分方程

令Ls(u)=(L1,s(u),L2,s(u),…,Lm,s(u))T,Ld(u)=(L1,d(u),L2,d(u),…,Lm,d(u))T,其中T 表示矩陣的轉置.

定理1對于初始盈余u,若c(u)在u處是連續的,則Ls(u)和Ld(u)滿足積分微分方程:

證明給定z0=i,考慮時間間隔(0,dt),有

因為U(t)在除有限點外是遞增且可微的,令s=U(dt),則有 ds=c(s)dt,又U(0)=u,所以.代入式(7),得

由Itó 公式,有

將上式代入式(8),得

用矩陣形式表示可得式(5),同理可得式(6).

下面考慮由索賠引起的破產情況.首先由定理1,可得

由式(7)可知,Ls(u)在u處總是連續的,但在各層的閾值點是不可微的,所以有

注1 當n=1 時,表示保險公司不會向股東支付紅利.此時為文[5]所研究風險模型帶干擾項的情形.

注2 當m=1 時,相當于將馬爾可夫調制風險模型(2)簡化為經典的具有多層閾值帶干擾的復合poisson 風險模型,若再令σ=0,則與文[5]考慮的模型相同.

注3 令σ=0,假設從狀態1 開始,,且索賠只發生在狀態1,則風險模型(2)即為多層閾值下具有廣義Erlang(m)索賠時間的風險模型.

3 積分微分方程的解

首先放寬式(10)中的條件bi-1≤u＜bi為bi-1≤u,設L(u,i)為下面非齊次積分微分方程的解,

由微分方程的一般理論,有

其中kij是常系數,vij是相關齊次積分-微分方程的m個線性無關的解.于是

且vij(u)=(vij(u,1),vij(u,2),…,vij(u,m))T,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m.

當 det[Ai(s)]≠0時,有

定理2 若δ,σ,λj＞0,j=1,2,…,m,則方程

在復平面的右半平面有m個根.

證明設O表示復平面上圓心在(δ+λ,0),半徑為δ+λ的圓,其中λ=maxλj,j=1,2,…,m.

即Ai(s,μ)為嚴格對角占優矩陣,故 det[Ai(s,μ)]≠0.

設g(μ)表示det[Ai(s,μ)]=0當z在圓O內部時的根的個數,顯然此時s的實部大于0,由柯西輻角原理,有

下面設定理2 中的m個正根ρi,1,ρi,2,…,ρi,m是不同的,定義差分形式:

對于不同的ρi,1,ρi,2,…,ρi,m,易知式(16)中的分子為0,所以

從而

經過重復迭代,有

因此,L(bi-1,i)可表示為

利用Song 等[19]的方法,可得

接下來,考慮齊次積分-微分方程的解,齊次方程(14)的解是由初始條件唯一確定的.現給定初始條件vij(bi-1,k)=I(k=j),i=1,2,…,n,j,k=1,2,…,m.令y=u-bi-1,Ψi(y)=Ψi(u-bi-1)=vi(u),i=1,2,…,n,則方程(14)可變為

由拉普拉斯變換可得

故

所以有

其中 Δ-1為拉普拉斯逆變換,Ψi(0)=vi(bi-1).

4 索賠分布為有理函數族時Gerber-Shiu 函數的顯式解

下面考慮索賠分布為有理函數族的情況,即其密度函數的拉普拉斯變換為

定理3 當索賠數量分布屬于有理函數族時,方程(14)的解為

其中

定理4 若索賠金額分布屬于有理函數族,則方程(12)的解可表示為

其中

定理3、4 的詳細證明可以用類似Zhou 等[17]的方法得到.

5 結束語

本文在多閾值馬爾可夫調制風險模型的基礎上,研究了帶擾動的多閾值馬爾可夫調制風險模型下的Gerber-Shiu 函數,推導了Gerber-Shiu 函數在該模型下所滿足的積分-微分方程,并證明了在帶擾動情況下的倫德伯格方程仍有m個解,并以此對積分-微分方程進行求解.