采用自適應遺忘因子的永磁同步電機預測電流控制

龍 濤,劉蘊博,常九健

(1.合肥工業大學 汽車與交通工程學院, 合肥 230009;2.合肥工業大學 汽車工程技術研究院, 合肥 230009)

0 引言

永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有高效率、高功率密度、高轉矩電流比、寬調速范圍等優勢,得到了廣泛應用[1]。在PMSM本體結構不斷優化更新的同時,PMSM控制技術也得到了快速發展,目前研究比較成熟且應用廣泛的是基于磁場定向的矢量控制策略(field oriented control,FOC),FOC是通過坐標變換實現對定子電流勵磁分量和轉矩分量的獨立控制,從而完成對轉矩和磁鏈的解耦過程。FOC是基于比例積分(proportional integral,PI)控制器在多環級聯結構中實現的,具有較好的穩態性能。但是由于PI控制器存在積分飽和現象,并且在控制過程中無法考慮電流幅值和電壓幅值等約束條件,已不能滿足所要求的良好的動態響應能力。在電機的其他控制方法中,模型預測控制具有控制結構簡單、動態響應快、易于實現多目標協同控制、易于處理系統約束條件等優點,受到了國內外學者的廣泛關注與研究[2-3]。其中有限狀態集(finite-control-set MPC,FCS-MPC)模型預測控制技術基于系統預測模型,通過遍歷逆變器的所有開關狀態對應的電壓矢量,以及預測模型計算出預測值,代入表示控制目標以及約束條件的代價函數進行評估,得到最優控制矢量用于下一個周期的控制驅動[4-5]。FCS-MPC由于操作簡單,原理簡潔直觀,且不需要調制模塊,從而具有更好的動態響應性能,是電機控制領域的熱點。

然而FCS-MPC控制策略仍有一些問題,有限集模型預測控制在一個控制周期內只采用一種電壓矢量,影響控制精度,為了提高控制性能,通常要求較高的采樣頻率[6-7]。由于FCS-MPC是基于系統的數學模型實現的,所以控制性能高度依賴于控制模型參數的準確性,由于測量精度等問題,電機的參數值難以準確獲取,并且實際運行過程中,電機參數會隨著運行工況發生變化,如電阻和磁鏈會受溫度的變化而變化,溫度升高時,電阻會增大,磁鏈會降低。電感會受到磁鏈飽和的影響,電流又是導致磁鏈飽和的重要原因。當電機運行在負載變化的工況時,電機電流的變化最終會導致電機的電感參數發生變化。這種參數變化的現象會造成預測控制模型與電機實際模型的參數失配,從而導致控制系統的控制效果下降,隨著參數失配的程度越大,控制效果越差。

針對這種問題,國內外學者展開了眾多研究,有研究表明可以采用設計觀測器的方法實現擾動觀測補償[8-9],通過觀測器可以將影響控制性能的眾多因素,如參數失配、外部擾動、測量誤差、逆變器非線性帶來的影響統一視為一個總的擾動,通過觀測器估計擾動的數值并在控制過程中進行前饋補償,但是由于觀測器的使用加上引入相關參數的調節等問題,會增加算法的復雜程度,進而影響其動態響應性能。

除此之外,可以通過將本周期的實際采樣值與上一周期預測得到的電流預測值做差,得到預測誤差,將預測誤差用于下一周期的電流預測中對其進行補償[10],然而前一周期的電流誤差值是在其特定的電壓矢量時產生的,與其余矢量沒有直接關系,這樣直接用在下一周期的預測中會嚴重影響控制效果。另有文章采用了無模型MPC,此方法不需要通過數學模型進行預測,而是直接對不同電壓矢量對應的電流變化率進行電流預測,無需依賴電機的具體參數,但是該方法要求很高的采樣精度,并且預測過程中存在著明顯的滯后現象[11]。文獻[12]提出了一種比例-積分-微分型代價函數,但是該方法僅在參數變化范圍較大的情況能起到降低誤差的效果,并且代價函數的復雜化直接影響到每一次采樣時的計算時間,進而影響控制性能。還可以用參數辨識的方法實時辨識變化的電機參數值,目前參數辨識的研究多用于永磁同步電機的矢量控制中,常見的有遞推最小二乘法[13-14]、擴展卡爾曼濾波法[15-16]、模型參考自適應法[17],其中遞推最小二乘法由于結構簡單、計算量小、識別精度高、收斂速度快等優點,在PMSM參數辨識中得到廣泛應用。Xun等[18]將帶遺忘因子的最小二乘法應用到永磁同步電機的參數辨識中,提高了辨識算法的動態性能。在基于遺忘因子的最小二乘法參數辨識過程中,大多將遺忘因子設成恒定值,當設置較小的遺忘因子值時,可以提高算法的收斂速度,與此同時也會降低算法的穩定性,當設置成較大的遺忘因子值時得到的結果和較小值相反。這樣就會面臨一個動態性能和穩定性能的取舍的矛盾問題。

針對上述問題,本文設計一種基于自適應遺傳因子的遞推最小二乘法參數辨識,在辨識過程中,根據當前時刻的實際采樣值與上一個時刻辨識結果的理論值做差,根據差值建立自適應遺忘因子動態函數,實時計算遺忘因子的取值,實現了遺忘因子的自適應選擇,解決了收斂速度與穩定性的取舍矛盾問題,提高模型預測控制算法的綜合性能。

1 有限集模型預測電流控制

1.1 永磁同步電機數學模型

本文采用內嵌式永磁同步電機(interior permanent magnet synchronous motor,IPMSM)進行分析,對三相靜止坐標系下的IPMSM數學模型經過坐標變換可以得到d、q軸兩相同步速旋轉坐標系下IPMSM的電壓方程:

(1)

式中:Ud、Uq為分別為d、q軸定子電壓;Rs為定子電阻;id,iq為d、q軸定子電流;Ld、Lq分別為d、q軸電感;ωe為轉子電角速度;ψf為永磁體磁鏈;Ud、Uq由α、β坐標系下Uα、Uβ經過Park變化計算得到,即

(2)

式中:θ為電角度。本文研究的PMSM控制方法基于三相兩電平電壓源逆變器實現,其結構如圖1所示。其中8種開關狀態對應8個電壓矢量(U0、U1、U2、U3、U4、U5、U6、U7),如圖2所示,Uα、Uβ可根據逆變器開關狀態Sabc,見表1,表1中Udc為直流母線電壓。

圖1 電壓源逆變器結構示意圖 圖2 和開關狀態對應的電壓矢量圖

表1 開關狀態

1.2 永磁同步電機預測控制模型

算法在DSP等微處理器上運行,所以本文采用前向歐拉法[19]對式(1)在k時刻離散化,得到預測模型為:

(3)

(4)

(5)

由上述分析可知,控制算法在整個預測過程中都依賴于電機的數學模型,其中電機參數準確與控制系統的綜合性能起著至關重要的作用,因此保證預測控制數學模型與電機實際的參數匹配具有重要意義。

2 基于參數補償模型預測電流控制

針對運行過程中電機參數變化導致因參數失配影響控制性能的問題,本節將具體闡述如何用基于自適應遺忘因子最小二乘法的方法對電機參數進行實時辨識,首先介紹傳統的最小二乘法。

2.1 傳統最小二乘法

最小二乘法算法的基本模型如下

y(k)=φT(k)θ(k)+e(k)

(6)

式中:θ為參數向量集;φT(k)為輸入矢量;y(k)為輸出量;e(k)為噪聲向量。輸入量和輸出量在算法運行過程中都可以通過測量得到,將測量值代入到代價函數g(θ)中,使代價函數最小進而修正參數向量集。代價函數g(θ)公式為:

ε(θ)=y(k)-φT(k)θ(k)

g(θ)=ε(θ)Tε(θ)

(7)

L(k)=P(k-1)φ(k)[I+φT(k)P(k-1)φ(k)]-1

θ(k)p=θ(k-1)p+L(k)[y(k)-φT(k)θ(k-1)p]

P(k)=[I-L(k)φT(k)]P(k-1)

(8)

式中:θ(k)p、θ(k-1)p參數向量預測值,也就是所要辨識的參數;P(k)為協方差矩陣;L(k)為增益矩陣;I為單位矩陣。

本文對預測精度影響較大的2參數值Ld,Lq進行辨識,令電阻Rs與ψf為常量。對比電機模型可知,該辨識算法在永磁同步電機中應用時各變量如下:

(9)

其中,隨著遞推次數的遞增,P(k)會越來越小,采樣新值對辨識的影響越來越小,即數據飽和現象,導致收斂的速度變慢,為了提高收斂速度,對過去的數據乘上權重因子λ,人為降低舊數據的作用,加入權重因子后,算法的公式為:

L(k)=P(k-1)φ(k)[λ·I+φT(k)P(k-1)φ(k)]-1,

θ(k)p=θ(k-1)p+L(k)[y(k)-φT(k)θ(k-1)p]

P(k)=[I-L(k)φT(k)]P(k-1)/λ

(10)

λ又被稱為遺忘因子,所以算法又被稱為基于遺忘因子的遞推最小二乘法,當λ=1時,算法就是傳統的遞推最小二乘法。

2.2 基于自適應遺忘因子的最小二乘法參數辨識

遺忘因子可以人為降低舊數據的作用,λ通常取0.95～1之間,λ值取小可以起到提高收斂速度的作用,但是該值太小又會導致在參數辨識過程中出現過大的噪聲,影響辨識結果的穩定性,而λ通常是一個固定值,這就會造成收斂速度與穩定性的取舍的矛盾問題,針對此問題,本文提出一種自適應遺忘因子的最小二乘法參數辨識,可在辨識過程中同時保證穩定性與動態性能。

根據當前時刻的實際采樣值與上一個時刻辨識結果的理論值做差,根據差值建立自適應遺忘因子動態函數,實時計算遺忘因子的取值,實現了遺忘因子的自適應選擇。實際采樣值與上一個時刻辨識結果的理論值做的差值η(k)為:

η(k)=(y(k)-φT(k)θ(k-1)P)2

(11)

式中:η(k)表示辨識過程中變化情況,當η(k)較大時,證明正在辨識的參數變化較快,因為此時辨識算法的首要任務是提高算法的收斂速度,所以要采用較小的遺忘因子λ。當η(k)較小時,證明辨識的參數逐漸趨于穩定,因為此時辨識算法的首要任務是盡量減少噪聲帶來的影響,得到穩定且精度高的辨識結果,所以要采用較大的遺忘因子λ。

經過上述分析,本文可以提出自適應遺忘因子λ(k)的函數為:

(12)

式中:參數1為設置的遺忘因子的上限;α為設置的遺忘因子的下限;β為可調參數;因為η(k)為二階矩陣且各變量變化一致,所以選擇其中一階參數τ(k)進行計算。將自適應遺忘因子函數代入遞推最小二乘法,得到最終優化后的算法公式為:

L(k)=P(k-1)φ(k)[λ(k)·I+φT(k)P(k-1)φ(k)]-1

θ(k)p=θ(k-1)p+L(k)[y(k)-φT(k)θ(k-1)p]

P(k)=[I-L(k)φT(k)]P(k-1)/λ(k)

(13)

經過上式迭代計算后的θ(k)p,即為最小二乘法參數辨識得到的電感值,利用辨識結果對預測控制數學模型進行參數更新,保證預測控制數學模型的參數與電機實際的參數匹配,從而提高模型預測控制算法的控制性能。

3 仿真分析與討論

為驗證基于自適應遺忘因子參數辨識的情況以及預測電流控制的綜合性能,在Matlab/Simulink仿真環境中進行驗證,仿真所用的永磁同步電機參數見表2。

表2 電機參數

3.1 自適應遺忘因子參數辨識分析

為了研究參數變化時會對參數辨識產生何種影響,采用電機的數學模型進行仿真,此方法可以給電機階躍的參數變化。因為電感受到磁鏈飽和的影響發生變化且d軸電感和永磁體磁鏈處于同一方向,所以d軸磁鏈本身處于比較飽和的狀態,d軸電流變化時,d軸電感變化相對較小;而q軸磁鏈則完全由q軸電流產生,因此,q軸電感隨著電流的變化發生大幅度變化。所以在仿真過程中,以q軸電感為例進行分析,設置遞推最小二乘法參數辨識協方差矩陣初值P(0)=eye(3)×10-4,參數向量集初值θ(0)=[0.000 1 0.000 1 0]T,設置仿真采樣周期為0.1 ms,仿真時間為2 s,令永磁同步電機q軸電感在1 s時降低30%,即Lq由0.425 mH下降到0.3 mH。本文提出的基于自適應遺忘因子的最小二乘法參數辨識的自適應遺忘因子λ(k)由(12)式取值。α為辨識算法的下限值,本文取0.95。β為可調參數,經過大量仿真得知,當β取0.7時,可得較好的辨識結果。分別對遺忘因子λ=0.950、λ=0.999以及λ=λ(k)進行對比仿真分析,參數辨識的仿真結果如圖3所示。

由圖3可知,當λ=0.999時,遞推最小二乘法參數辨識的穩定性較好,不易受到噪聲干擾,但是辨識算法收斂的速度慢。當λ=0.950時,遞推最小二乘法參數辨識的動態性能有很大改善,但在辨識過程中出現了很大的波動,穩態性能變差。當λ=λ(k)時的辨識算法在辨識過程中具有快速的收斂性,并且能夠穩定地跟隨電機參數的變化。

圖3 λ=0.99和λ=0.95以及λ=λ(k)時Lq辨識情況

通過對比不同算法之間的上升時間tr以及在0.5～1 s穩定時辨識結果的方差D,可以定量分析不同算法間的動態性能和穩態性能,結果如表3所示。

表3 不同遺忘因子時的結果

由表3可知,λ=λ(k)時的上升時間tr小于λ=0.999時的上升時間,并且穩定時的方差小于λ=0.950時的算法。由數據分析可知,基于變遺忘因子的算法相比于遺忘因子為固定值的算法,在辨識時具有不錯的動態性能和穩態性能。

3.2 基于參數辨識時模型預測控制性能驗證

針對電機參數變化導致因參數失配的問題,本文采用參數辨識的方法實時辨識電機參數,修正控制預測模型,為體現控制性能的優化程度,在Matlab/Simulink仿真環境中進行驗證,仿真所用的永磁同步電機參數見表1所列。采用電機的數學模型進行仿真,為了仿真變載時電感變化的工況,令永磁同步電機q軸電感在1 s時降低30%,設置仿真采樣周期為0.01 ms,仿真時間為2 s,令電機運行于200 r/min,負載轉矩為50 N·m。為分析電感參數變化對控制性能的影響,對傳統模型預測電流控制與利用參數辨識算法優化后的模型預測電流控制進行對比仿真。Lq變化時對q軸電流Iq,轉矩Te,d軸電流Id的影響仿真如圖4所示。

圖4 有無參數辨識算法時的仿真圖

當Lq變化后,q軸電流Iq,轉矩Te,d軸電流Id的方差如表4所示。

表4 有無參數辨識時的方差

從圖4中可以看出,在0～1 s電感未發生變化時,無參數辨識算法與有參數辨識算法的仿真效果一致。當q軸電感發生變化時,從圖4(a)和圖4(b)可以看出,無參數辨識算法中,q軸電流和轉矩都產生了較大的脈動,從圖4(c)可以看出,Lq的變化對d軸電流影響不明顯。由表4可以看出,在Lq變化時,優化后算法q軸電流和轉矩的方差小于未優化時的方差。d軸電流的方差無明顯變化。在q軸電感降低30%時,無參數辨識MPC算法中的Iq和Te的波動比有參數辨識后的Iq和Te的波動大43.6%。由此得知無參數辨識MPC算法的控制效果明顯下降。

令永磁同步電機仍運行在相同工況下,對普通的λ為0.999的最小二乘法參數辨識與基于自適應遺忘因子的最小二乘法參數辨識進行對比仿真。Lq變化時對q軸電流Iq,轉矩Te,d軸電流Id的影響仿真如圖5所示。

圖5 不同參數辨識算法時的仿真圖

由圖3分析可知,當Lq變化時,基于自適應遺忘因子的算法比λ為0.999固定值的普通參數辨識算法具有更好的動態性能。因此取1～1.3 s內的q軸電流Iq,轉矩Te,d軸電流Id的方差如表5所示。

表5 基于自適應遺忘因子與普通辨識算法的方差

從圖5可以看出,在1～1.3 s時,普通最小二乘法參數辨識的q軸電流和轉矩都產生了較為明顯的脈動。由表5可以看出,基于自適應遺忘因子的算法的q軸電流和轉矩的方差小于普通的最小二乘法參數辨識的方差。d軸電流的方差無明顯變化,由(4)式可知,當算法計算步長很小時,q軸電感對d軸電流的影響比重不大。同理可知,永磁體磁鏈ψf,與電阻Rs對電流預測時的比重很小。又因為d軸電感變化相對較小,故本文只分析q軸電感變化。

綜上所述,圖4的仿真和表4說明當電感變化時,沒有參數辨識的MPC算法由于預測模型參數不匹配導致控制效果變差。參數辨識可以抑制因電感變化而導致的電流,轉矩脈動增大的現象,穩態性能明顯好于無參數辨識的算法。另一方面,圖5的仿真和表5說明,本文提出的基于自適應遺忘因子的參數辨識算法相較于普通的參數辨識算法,在參數突變的一段時間內,電流、轉矩脈動低于普通的最小二乘法參數辨識算法,具有更好的控制效果。

4 結論

針對永磁同步電機模型預測控制在電機模型參數失配時影響控制性能的問題,提出一種基于自適應遺忘因子的最小二乘法參數辨識方法,使用基于模型預測算法的電機模型對參數辨識時的動態以及穩態性能進行仿真分析,并且對有無參數辨識的模型預測算法以及基于自適應遺忘因子的參數辨識算法和普通的參數辨識算法分別進行對比分析。仿真結果顯示,基于參數辨識的模型預測算法對電感變化具有一定的抗干擾性?；谧赃m應遺忘因子的最小二乘法參數辨識在辨識過程中具有快速收斂性且能夠穩定地跟隨電機參數的變化,相較于一般最小二乘法參數辨識算法,具有更好的控制效果。