基于連續損傷力學的剩余疲勞壽命隨機預測

劉世洲,何聲馨,張二亮

(鄭州大學 機械與動力工程學院, 鄭州 450001)

0 引言

疲勞破壞是材料在循環載荷作用下損傷累積、性能退化,最終導致斷裂的一種失效形式,對構件的結構完整性和可靠性構成嚴重威脅。因此,預測在變幅加載下的剩余疲勞壽命是設計和維護階段抗疲勞措施的主要關注點[1]。然而,構件在服役工況下的疲勞過程通常具有不確定性,主要來自材料特性和外部載荷的隨機性,使得變幅加載下剩余疲勞壽命預測變得更加復雜[2]。為了解決疲勞過程中材料疲勞性能的固有可變性給疲勞壽命預測帶來的潛在不確定性問題,Gao等[3]將不同應力水平下的疲勞壽命視為隨機變量,借助基于統計分布函數的S-N曲線和可靠性分析理論,來量化疲勞壽命的概率特征;Zheng等[4]利用不同可靠度下S-N曲線,預測45鋼缺口件的疲勞壽命概率分布。

除了材料特性的隨機性外,考慮外部加載的隨機性也是可靠的疲勞壽命預測的關鍵。由于線性損傷累積準則往往忽略加載順序、載荷交互作用等外部加載的影響[5],為了避免其固有的缺點和局限性,許多非線性損傷累積模型被提出,Xia等[6]結合等損傷曲線的概念,提出一種基于韌性損耗的損傷累積模型,用于兩級加載下疲勞壽命的預測;由于CDM模型可以考慮外部加載的影響,Zhang等[7]提出一種結合連續損傷力學(CDM)和裂紋擴展速率方程修正的損傷累積模型,以裂紋尺寸作為損傷指標來估算剩余疲勞壽命;Leonetti等[8]基于平均應力修正的隨機疲勞極限模型,結合相對線性損傷準則,提出一種變幅載荷下焊接細部的概率疲勞壽命預測模型。

確定性疲勞損傷累積模型不能考慮疲勞壽命的分散性,使用非侵入方法構建隨機模型,會由于模型參數眾多導致模型復雜度和計算成本急劇增加。基于方差分析的Sobol方法是一種全局敏感性分析(GSA)方法,它能用于顯著性模型參數的選取和模型簡化等。Du等[9]將基于Sobol方法的全局敏感性分析應用于參數服從正態分布的基于循環塑性的損傷累積模型,研究輸入參數的變化對疲勞壽命的影響。

本文提出一種簡單實用的方法來考慮兩級加載下剩余疲勞壽命的不確定性。首先,通過構建P-S-N曲線,獲得材料特定參數的概率分布;其次,采用非侵入蒙特卡洛模擬方法,基于連續損傷力學的剩余疲勞壽命預測模型,實現不確定度的傳遞和量化,并借助統計推斷獲得不同加載順序下剩余疲勞壽命的概率分布;再其次,引入基于Sobol方法的全局敏感性分析,篩選對剩余疲勞壽命有顯著影響的模型參數;然后,利用K-L散度量化預測與實驗的剩余疲勞壽命概率分布之間的差異,評價疲勞壽命預測精度;最后,借助熱軋16Mn合金鋼的疲勞壽命實驗數據對所提方法進行驗證。

1 剩余疲勞壽命預測

1.1 CDM模型

材料的疲勞行為可以看作是一個損傷累積,直至疲勞失效的連續過程,在本文研究案例中,只考慮對稱循環應力載荷(應力比R=-1)和單軸應力問題,由Chaboche[10]提出的疲勞損傷微分方程為:

(1)

式中:D為損傷變量,D=0代表無損傷狀態,D=1代表疲勞失效狀態,隨著疲勞損傷不斷累積,D逐漸趨近于1;σa為循環應力幅,n是給定σa下的循環次數;β和M0取決于材料的參數;指數α是σa的函數,指數α選用如下函數表達式[11]:

(2)

式中:a和H為由實驗確定的參數;σf為材料疲勞極限;σu為材料抗拉強度;〈〉為麥考利括號符,x>0時,〈x〉=x;x<0時,〈x〉=0。

在疲勞失效前的一般瞬時,即D<1,n

(3)

(4)

式中:N1和N2分別為在σa1和σa2下的疲勞壽命;α1和α2分別為σa1和σa2的函數。

1.2 P-S-N曲線構造

本文假設應力水平Si下每組對數疲勞壽命服從正態分布[13],給定可靠度P下的對數疲勞壽命lgNp有:

lgNp=lgN0.5-upσ

(5)

式中:lgN0.5為對數疲勞壽命的均值;σ為對數疲勞壽命的標準偏差;up為標準正態偏量。

本文選用三參數冪函數方程[13]來描述應力水平與疲勞壽命之間的關系,取對數后可轉換為:

lgNp=A+Blg(Si-S0)

(6)

式中:A和B為待擬合參數;S0為擬合疲勞極限。通過最大化線性擬合相關系數,利用割線法[13]迭代求S0的最優解,從而確定三參數A、B和S0。

1.3 全局敏感性分析

本文將全局敏感性分析應用于研究剩余疲勞壽命的不確定性如何歸因于CDM模型參數的變化,從而減少模型不確定性輸入,有助于模型的校準、驗證和簡化等[14]。

Sobol敏感性分析是一種基于方差分解的全局敏感性分析方法,其物理意義明確、不依賴于特定的模型假設、適用于非線性模型,被廣泛應用于各個領域[15]。

設基于CDM模型的剩余疲勞壽命預測方程為n2=f(σf,σu,a,H,N1,N2),輸入變量包含6個模型參數。首先,將不同可靠度下的模型參數作為原數據,基于拉丁超立方采樣進行2次相互獨立的采樣,在各輸入變量的取值范圍內,按其服從的概率分布擴充至T組數據,分別獲得矩陣M1和重采樣矩陣M2;然后,將采樣得到的模型參數代入預測方程中,計算相應的n2;最后,基于Sobol提出的蒙特卡洛估計法[15],求出各模型參數對n2的一階敏感性指數SEi:

(7)

1.4 剩余疲勞壽命的概率分布

為了模擬兩級加載下n2的不確定性,首先,考慮材料特性的隨機性,構建P-S-N曲線獲得模型參數的概率分布;然后,基于CDM的剩余疲勞壽命預測方程傳遞模型參數的不確定性;最后,通過統計推斷得到n2的概率分布。

1) 在模型參數的取值范圍內,基于拉丁超立方采樣,從其服從的概率分布中隨機抽取1 000組參數,代入基于CDM的剩余疲勞壽命預測方程,即可獲得n2樣本集。

2) 經GSA篩選敏感性參數后,對n2影響顯著的參數,基于拉丁超立方采樣,從其服從的概率分布中隨機抽取1 000組參數,對n2影響微弱的參數,將其設定為對應可靠度為50%的常數,代入基于CDM的剩余疲勞壽命預測方程,即可獲得經GSA的n2樣本集。

3) 本文選用正態分布來描述n2、經GSA的n2和實驗的n2的分布特征,根據已獲得的n2、經GSA的n2和實驗的n2的有限樣本集,進行合理的統計推斷,從而獲得三者總體的概率分布。

1.5 K-L散度

本文選用K-L散度作為評估指標,來衡量預測與實驗剩余疲勞壽命概率分布之間的相似性[16],將剩余疲勞壽命視作連續隨機變量x,2個連續的概率分布W和Q之間的K-L散度定義為:

(8)

式中:W為預測的剩余疲勞壽命概率分布;Q為實驗的剩余疲勞壽命概率分布;w(x)和q(x)分別為W和Q的概率密度函數。K-L散度越大,表示W和Q差異越大;K-L散度越小,表示W和Q越相似。

2 實驗驗證

2.1 實驗數據

本文選擇文獻[17]中疲勞試驗數據,試驗材料為熱軋16Mn合金鋼,光滑試樣的材料成分、力學性能和幾何形狀參見文獻[17]。

恒幅加載下疲勞試驗數據包含3種不同應力水平,3種應力水平分別為394、373、344 MPa,每個應力水平Si下選用15個光滑試樣進行旋轉彎曲疲勞試驗,得到相應的疲勞壽命數據點。恒幅加載下的疲勞試驗數據及統計特性[18]被用來擬合P-S-N曲線。

兩級加載下疲勞試驗數據包含2組加載序列,2組加載序列分別為373～394 MPa和394～373 MPa,2組加載序列的第一級循環比n1/N1分別為0.32和0.23,每組加載序列選用10個光滑試樣進行疲勞試驗。為了驗證所提方法在不同加載水平和順序下的適用性,將兩級加載下的疲勞試驗數據與預測結果進行對比,來分析兩級加載對剩余疲勞壽命的影響。

2.2 P-S-N曲線

熱軋16Mn合金鋼的P-S-N曲線如圖1所示。從圖1可知,選擇可靠度為5%和95%的S-N曲線作為邊界,可以較好地反映實驗疲勞壽命數據的分散范圍;采用割線法迭代求解的S0與材料的疲勞極限真實值接近,故可選用S0替代σf,參考σu和σf之間關系的經驗公式[19]計算σu。

圖1 熱軋16Mn合金鋼的P-S-N曲線

對式(1)從D=0到D=1積分,獲得給定σa下疲勞壽命的函數表達式[11],與傳統S-N曲線相比,Dattoma等[11]證明該式可以較好地近似對數疲勞壽命和應力水平的關系。借助該函數表達式和恒幅加載下疲勞試驗數據,結合蒙特卡羅方法和非線性最小二乘方法來估計a、β、H、M0,以誤差平方和最小為準則,返回對數疲勞壽命殘差的2-范數平方最小值。

假設σf、σu、a、H、N1、N2均服從正態分布,選擇可靠度5%和95%分別作為初值和終值,以可靠度5%為間隔的步長,基于P-S-N曲線,并結合非線性最小二乘法,獲得模型參數的概率分布。如圖2所示,分別為模型參數的概率密度函數。

圖2 模型參數的概率分布

2.3 基于GSA篩選敏感性參數

以0.3為閾值篩選敏感性參數[9],將對n2影響微弱的參數,即小于0.3時,將其固定為對應可靠度為50%的常數;對n2影響顯著的參數,即大于0.3時,從其服從的概率分布中隨機抽取。模型參數的一階敏感性指數如表1所示。

2）渭北中、北部海拔較高、水肥條件較好和采用矮化中間砧（短枝型品種）與4 m×1.5～2 m行株距定植的蘋果園，宜采用細長紡錘形。

表1 模型參數的一階敏感性指數

由表1可知,在低高加載和高低加載下,σf、σu、a、H、N1影響較小,N2具有重要影響。這是由于第一級循環比較小,意味著第一級應力循環加載后,試樣仍處在疲勞過程的前期,導致第二級應力循環加載在試樣疲勞損傷累積中占主導地位;由于恒幅加載下疲勞壽命的分散性較大,與其他參數相比,波動范圍的量級過大。

2.4 兩級加載下剩余疲勞壽命預測

如圖3—4所示,分別為在低高加載(LH)和高低加載(HL)下n2的概率密度函數,n2(GSA)和n2(EX)分別代表經GSA篩選敏感性參數后的和實驗的剩余疲勞壽命,紅色虛線代表n2(EX)的平均值。

圖3 低高加載下剩余壽命的概率分布

圖4 高低加載下剩余壽命的概率分布

由圖3—4可見:

1) 在LH加載和HL加載下,n2和n2(EX)二者概率分布的整體形狀相似,且分散范圍接近,說明所提方法的不確定性預測是合理的。

2) 在LH加載和HL加載下,與n2相比,n2(GSA)的分散范圍縮小,且與n2概率分布的整體形狀相似且均值相差很小,說明采用GSA方法篩選敏感性參數是有效的。

2.5 K-L散度

選擇K-L散度量化n2和n2(GSA)、n2(EX)的概率分布之間的差異,如表2所示。

表2 K-L散度

由表2可以看出:在LH加載和HL加載下K(n2‖n2(EX))與K(n2(GSA)‖n2(EX))較低、相差很小,K(n2(GSA)‖n2(EX))低于K(n2‖n2(EX))。說明預測的‖n2概率分布與實驗的n2概率分布較匹配,且n2‖(GSA)概率分布與n2(EX)概率分布更接近,故可選用n2(GSA)的概率分布代替n2的概率分布,保留精度的同時,從而減少模型輸入的不確定性,降低模型復雜度。

3 結論

針對由材料特性和外部加載的隨機性引起剩余疲勞壽命不確定性的問題,提出一種基于連續損傷力學的剩余疲勞壽命隨機預測方法,該方法通過利用P-S-N曲線構造模型參數概率分布考慮材料特性的隨機性,并引入基于Sobol的全局敏感性分析方法篩選敏感性參數,保證預測精度的同時,降低了時間計算成本,結果表明:在兩級加載下,對于不同加載順序,預測與實驗剩余疲勞壽命均值的相對誤差均在高周疲勞可接受的相對誤差范圍內,驗證了該方法的可行性。下一步將通過多級加載下的工程案例進一步驗證本文方法的有效性。