基于增廣Lyapunov 泛函的時(shí)變時(shí)滯T-S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

龍奕璇，肖伸平

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 電傳動(dòng)控制與智能裝備湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

近幾十年來(lái)，T-S 模糊模型得到了學(xué)者們的廣泛研究，這是因?yàn)樗ㄟ^(guò)將局部線性模型與模糊隸屬函數(shù)相結(jié)合，可以有效地描述非線性系統(tǒng)[1]。眾所周知，T-S 模糊系統(tǒng)不可避免地會(huì)存在時(shí)滯現(xiàn)象，而時(shí)滯的存在可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能惡化或者不穩(wěn)定，而系統(tǒng)的穩(wěn)定性是保證控制系統(tǒng)正常運(yùn)行的基石[2-6]。因此，對(duì)T-S 模糊系統(tǒng)中的時(shí)滯問(wèn)題進(jìn)行研究顯得至關(guān)重要。

雖然對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的方法有很多，但是能夠有效地應(yīng)用于線性、非線性、時(shí)不變和時(shí)變系統(tǒng)的方法只有李雅普諾夫泛函方法。基于該方法分析時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí)，其首要任務(wù)是選擇合適的李雅普諾夫泛函。常見(jiàn)的李雅普諾夫泛函構(gòu)造方法包括增廣李雅普諾夫泛函法[7]、時(shí)滯分段李雅普諾夫泛函法[8]，以及時(shí)滯乘積型李雅普諾夫泛函法[9]。其次，需要對(duì)李雅普諾夫泛函求導(dǎo)后產(chǎn)生的積分項(xiàng)進(jìn)行準(zhǔn)確地估計(jì)。比較有效且流行的估計(jì)方法是積分不等式法，常用積分不等式主要包括Jensen 不等式[10]、Writinger 不 等 式[11]、Bessel-Legendre 不等式[12]、自由權(quán)矩陣積分不等式[13]。目前，這些方法已被應(yīng)用到時(shí)滯T-S 模糊系統(tǒng)的研究中。例如，文獻(xiàn)[14]采用了增廣李雅普諾夫泛函方法與線積分李雅普諾夫函數(shù)的方法，研究了時(shí)變時(shí)滯T-S 模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性和鎮(zhèn)定性問(wèn)題，但是對(duì)泛函求導(dǎo)后的積分項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)時(shí)，仍然使用了具有一定保守性的Writinger 不等式。文獻(xiàn)[15]在李雅普諾夫泛函中引入了時(shí)滯乘積項(xiàng)，并且運(yùn)用了改進(jìn)逆凸不等式方法，放寬了泛函的正定條件。文獻(xiàn)[16]采用二階時(shí)滯乘積方法，在泛函中引入了二階時(shí)滯乘積項(xiàng)，使構(gòu)造的李雅普諾夫泛函包含更多的有效信息。由此可見(jiàn)，一個(gè)合適的李雅普諾夫泛函直接影響著系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)的保守性。

綜上所述，本文擬對(duì)時(shí)變時(shí)滯T-S 模糊系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性研究。為了得到較小保守性的穩(wěn)定性判據(jù)，首先，利用增廣李雅普諾夫泛函方法與線積分李雅普諾夫函數(shù)，構(gòu)造一個(gè)能捕捉到更加有效時(shí)滯信息的泛函。然后，運(yùn)用估計(jì)精度更高的廣義自由權(quán)矩陣積分不等式方法處理由李雅普諾夫泛函求導(dǎo)后產(chǎn)生的積分項(xiàng)，從而得到了一個(gè)保守性更低的三階時(shí)滯依賴的穩(wěn)定條件。最后，通過(guò)三階矩陣多項(xiàng)式的判定方法，將此穩(wěn)定條件轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。

整文采用如下標(biāo)號(hào)，Rn表示實(shí)數(shù)域的n維向量空間；Rn×m和Sn分別表示n×m維實(shí)矩陣和n×n對(duì)稱矩陣；上標(biāo)‘T’和‘-1’分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和逆；diag{}表示對(duì)角陣；0 表示具有適當(dāng)維數(shù)的零矩陣；*表示矩陣中的對(duì)稱項(xiàng)；Sym{A}=A+AT。

2 問(wèn)題描述

3 主要結(jié)論

4 數(shù)值實(shí)例

本節(jié)中，將提供兩個(gè)數(shù)值實(shí)例來(lái)驗(yàn)證所使用方法的優(yōu)越性和有效性。

例1考慮帶有以下系統(tǒng)矩陣的系統(tǒng)（3）：

對(duì)于不同的時(shí)滯導(dǎo)數(shù)上界μ=μ1=-μ2，表1 列出了基于定理1、推論1 和其他現(xiàn)有穩(wěn)定性判據(jù)所得到的最大允許時(shí)滯上界，其結(jié)果如表1 所示。

表1 例1 中不同μ 下得到的最大時(shí)滯允許上界Table 1 Maximum allowable upper bound of delays with different μ values in example 1

從表1 可以看出，定理1 計(jì)算出的最大時(shí)滯允許上界最大，這說(shuō)明本文提出的穩(wěn)定性判據(jù)具有較小的保守性。通過(guò)比較定理1 和推論1 的數(shù)值結(jié)果可與看出，基于定理1 所得到的最大允許時(shí)滯上界更大，這說(shuō)明了本文引入的線積分李雅普諾夫函數(shù)Va(t)和增廣李雅普諾夫函數(shù)Vb(t)有利于降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性。

例2考慮帶有下列系統(tǒng)矩陣的系統(tǒng)（3）：

表2 列出了通過(guò)各種方法計(jì)算出的最大允許延遲上界。不難看出，對(duì)于不同的時(shí)滯上界導(dǎo)數(shù)μ=μ1=-μ2，基于定理1 所得到的最大允許時(shí)滯上界高于其它的穩(wěn)定性判據(jù)，這再次說(shuō)明本文所提出的方法且具有一定的優(yōu)越性。

表2 例2 中不同的μ 下得到的最大時(shí)滯允許上界Table 2 Maximum allowable upper bound of delays with different μ values in example 2

5 結(jié)語(yǔ)

采用李雅普諾夫理論對(duì)含有時(shí)變時(shí)滯的T-S 模糊系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。通過(guò)構(gòu)造一個(gè)包含更多時(shí)滯有效信息的李雅普諾夫泛函，并結(jié)合估計(jì)精度更高的廣義自由權(quán)矩陣積分不等式，得到了一個(gè)新的保守性更低的穩(wěn)定性判據(jù)。再利用三階矩陣不等式方法將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的形式。最后，通過(guò)兩個(gè)實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的優(yōu)越性。