從新課標的“一致性”談數學的基本原則

摘要 數學的基本原則包括簡單性、精確性、連貫性、一致性和完美性，它們相互關聯，是數學在其發展過程中顯露的特征、方法與追求。只有在充分理解這些原則的基礎上，教材編寫者才能貫徹課標精神，教師才能合理用好教材，學生也才能真正學好數學。

關? 鍵? 詞 新課標 數學教學 教學原則

引用格式 吉智深.從新課標的“一致性”談數學的基本原則[J].教學與管理，2023（17）：31-33+38.

隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）的頒布，數學的一致性成為這次數學課程標準修訂的一個新要求、新亮點，也成為大家研討的熱門話題之一。一致性其實是數學的基本原則之一，數學的基本原則還包括簡單性、精確性、連貫性、完美性，它們都是數學在其發展過程中所遵循的一般原則。《2022年版課標》提醒我們要關注數學的這些基本原則，希望呈現在學生面前的數學是精確的、一致的、連貫的，能夠展示數學對簡單性與完美性的追求。這就要求即將使用的新教材在呈現數學課程內容時不違背這些原則，也要求教師真正理解這些數學基本原則，努力遵循這些原則，教好數學，也讓學生真正理解數學。

一、簡單性

“從數學產生之時，一個最基本、最顯著的特征和方法就顯露出來了，就是簡單化。”[1]數學是如何顯露簡單性呢？讓數學研究對象抽象化，抽象是把復雜事物簡單化的過程。5個人、5只羊、5個石塊、5根手指，數學把這些有限集合的共同特征標記為數字“5”，其他如直線、射線、線段、平面、三角形等數學概念都是抽象的結果。

不僅數學概念是抽象的，數學的表達、數學的方法也是抽象的。數學追求用簡單符號表達復雜的數學規律與自然規律，如數學的公式、定理以及物理學中的公式等。數學方法抽象的目的也是為了簡單，這在小學數學的算法中體現得很明顯。如前一段時間爭論比較多的話題“豎式重要，還是橫式重要？”如果從數學的簡單性原則看，豎式也是重要的，雖然橫式能夠說清楚算理，但設想一下：如果用橫式來計算四位數乘以四位數，雖然借助于乘法的運算法則也可以求出結果，但與豎式比較，豎式的簡便性不必多說。如果讓學生用橫式來計算三位小數乘以兩位小數，估計很多學生都做不了。不能因為橫式表達的是計算算理，就說豎式不重要。豎式不僅簡單，而且也可以表征算理，比如用豎式計算24×12時，為什么把240后面的0省略，因為省略0以后，就把兩位數乘以兩位數的問題轉化為兩位數乘以一位數的問題，把要解決的問題轉化為已經解決的問題，這也是追求簡單的表現。

數學的簡單性無處不在，有了長度單位1厘米以后，我們可以用1厘米的線段測量物體的長度，有幾個1厘米，它的長度就是幾厘米，但是這樣一段一段量太麻煩，于是就有了帶刻度的尺。角的開口方向不同，于是就有了量角器的內圈與外圈之分。長方形的面積開始是通過“數小方格”得到的，但麻煩，于是想辦法用簡單的公式來計算。數學根據問題的不同，總結出不同的模型，如歸一問題、雞兔同籠問題、植樹問題等，也體現了解決問題的簡單化。

數學教師要看到數學的簡單性，理解數學的簡單性，通過數學活動中的比較與反思，讓學生體會與理解數學的簡單性。

二、精確性

精確性也是數學的本質特征之一，具體表現在數學概念要有精確的定義，數學命題要有無誤的判斷，數學推理要有嚴謹的過程。

小學數學對定義有著很嚴重的排斥心理，認為定義只不過是“多了一個需要死記硬背的東西”。我們要淡化形式，注重實質，注重數學概念的本質。但凡事不能絕對，不能從一個極端到另一個極端，如方程的定義有其特殊性，能夠從本質上給出方程的概念，也不失為一種好做法。有些定義是會參與到今后的邏輯推理過程之中的，如平行四邊形的定義等。雖然小學教材給出了平行四邊的定義，但這個定義是通過“用兩把三角尺研究一下，平行四邊形的邊有什么特點”得出的，用兩把三角尺就能研究出它的對邊平行？即使研究出來，也不夠準確。與其這樣，不如直接用兩組平行線相交，得到一個四邊形，我們把這樣的四邊形稱為平行四邊形。這樣定義平行四邊形就水到渠成。數學定義的得到，不要處處從實際生活出發，這樣既不準確，也容易割斷數學知識之間的聯系。對邊相等也不能僅僅通過測量得到，而應通過“把平行四邊形剪成兩個三角形，發現這兩個三角形能夠完全重合”得到，學生的理性精神得益于幾何推理，而不是簡單測量。

如蘇教版《數學》六年級上冊“分數除法”單元，在探究“分數除以分數”時，教材用了“分果汁”這樣一個問題情境：“量杯里有9/10升果汁，玻璃杯的容量是3/10升。量杯里的果汁倒入玻璃杯，能倒滿幾杯？”并且提問：“分數除以分數，也可以用被除數乘除數的倒數來計算嗎？先試著算一算，再在圖中分一分，看結果是否相同。”通過算一算、分一分，很容易得出結論，也容易看出這是驗證“除以一個分數等于乘以它的倒數”這一分數除法計算法則，但并沒有說清楚分數除以分數的算理。

數學的精確思維讓人類能夠客觀地、定量地思考并描述世界，也才使得數學成為解決很多問題的強有力工具與模型。因此，我們都要從精確性的角度考慮如何準確地定義數學概念、有邏輯地進行數學推理。

三、一致性

《2022年版課標》強調數學教學要體現數的概念本質與數的運算本質的一致性，這也提示教材編寫者及廣大教師要更多地關注數學的一致性，如數學度量本質的一致性、度量教學環節的一致性以及數學問題解決所執行計劃的一致性等。

度量的本質是將待度量與公認的基準進行比較，具體來說是指用一個帶單位的數值描述可度量物體或現象的某一個屬性，從而形成某個具有特殊含義的“量”[2]，如長度、面積、容積、體積、角度、質量、方位、溫度、時間、貨幣等。度量的核心要素有兩個：度量單位和度量值。從概念上來看，度量是用一個數值來表示物體的某一屬性；從行為上看，度量是一個待測量和一個標準量（單位）進行比較，“標準”的個數就是度量的結果。同一量不同“標準”單位之間的進率是一致的，如相鄰兩個長度單位之間的進率通常是10，厘米、分米、米后面應該是十米、百米、千米，只不過十米、百米不常用，比米大的常用的長度單位就成了千米，這與十進制計數法中“滿十進一”是一致的。此外，度量中單位與單位的乘積形成新的度量單位，如長方形的長（厘米）乘以寬（厘米）得到它的面積，同時得到新的面積單位“平方厘米”，這與數的運算中“計數單位乘計數單位，得到新的計數單位”是一致的。

度量教學環節也基本遵循著一致性的原則：第一步，意識到物體與現象某些可測的屬性，如線段有長與短之分，角度有大與小之分。第二步，為得到一個確定的、一致的結果，借助工具或者通過抽象制定出“標準”。第三步，直接用“標準”來度量待測量，如用1厘米的線段來測量一個線段，這個線段有3個1厘米，得到這條線段的長度是3厘米。第四步，根據需要反思“標準”制定的合理性，隨著生活的需要和現代科學的發展需要引入更小的或者更大的長度單位，如納米和光年等。第五步，嘗試用工具、公式或估測等方式得到待測量的結果。如測量物體的長度可以用尺簡單測量出來，長方形的面積可以通過公式計算得出，或者在精確度要求不高的情況下，通過估測活動得到待測量的結果。

問題解決是數學課程的總目標之一，教材把解決問題的策略作為必教內容，只不過編寫方式不同。如蘇教版數學教材設置關于“問題解決的策略”的專門章節，而人教版數學教材則把解決問題的策略滲透到每一個數學問題的解決過程之中，各個版本數學教材在解決問題策略的編寫上各有特色，教學時應有意識地探尋解決問題方法，系統地學習數學模型的構建與使用。

“四能”（發現問題能力、提出問題能力、分析問題能力與解決問題能力）成為《2022年版課標》的課程總目標。“問題解決是學校數學教育的基石。沒有問題解決能力，數學思想、知識和技能的作用和力量會是很有限的”[3]。數量關系在解決問題中的重要性不言而喻，但它不能代表問題解決的全部。所以，讓學生制定并執行一個計劃去解決問題，比單純利用數量關系解決問題要深入得多，也更有用途。

四、連貫性

如果說數學的一致性是強調數學概念、數學方法的一致性，那么數學的連貫性則主要強調數學學習過程的連貫性。每個概念、定義與性質在學生初學時都是新知識，但學生在繼續學習新知識、解決新問題時，它們又變成學生可以利用的舊知識。“數學是一組相互關聯的紐帶，其中每個概念或技巧是某條紐帶中的一個結。”[4]這種連貫性應在教材與教學中有明確的體現，也應讓學生了解數學知識是如何關聯的，從而深入理解并掌握新的知識與方法。

在教學5以內數的加減法前，幾乎所有數學教材都先讓學生理解等于、大于與小于。采用對應法讓小學生理解小猴與桃子一樣多時，用“=”表示小猴與桃子兩者的數量；小猴比香蕉多時，用“”表示小猴與香蕉兩者的數量關系，小猴比梨少時，用“”表示小猴與梨兩者的數量關系。這樣做的目的是通過對應法凸顯兩個事物之間數量的大小關系，特別是能夠揭示“=”的本質。然而在后面講授加法時，似乎看不到用對應法得到兩側物體數量相等的例子。事實上如果在前面學習“相等、多與少”的基礎上，在少的那一側“添加”若干個物體，使得兩側的物體的數量一樣多，可以幫助學生理解加法的意義，強化學生對“=”本質的理解，對學生將來理解方程的意義以及等價關系也有很大幫助。這應該是《2022年版課標》強調要“引導學生通過具體操作活動，利用對應的方法理解加法的意義”的原因吧。

類似的問題還有，對于自然數的加法，小學生一開始是通過往后數數得出結果的，比如一堆粉筆有3支，另一堆粉筆有5支，一共有幾支粉筆？不管是放在一起數，還是看出一堆的數量，從另一堆開始往后數，都是“往后數”。但現行教材中的分數加法，沒有“往后數”的影子，我們的教材是否可以改為：“1/4米長的線段加上1/2米長的線段，拼接成的線段多長？”已經有了1/4米，往后數，一共有幾個1/4米”[5]，這與“自然數相加，往后數，看看一共有幾個1”是一致的，這樣的連貫性，讓學生沒有陌生感，也不會對分數加法產生學習恐懼。

當前的數學教學出現了一些誤區，過分強調數學情境的創設，過分強調數學與生活的聯系，這些做法很容易割裂數學的連貫性，數學的連貫性不能因為數學生活化而被打破。

五、完美性

數學不僅追求簡單性，還追求完美性。數學的完美性首先體現在數學語言上，世界各國的語言各異，但數學與數學符號卻是通用的。各國的數學家借助通用的數學語言，可以毫無障礙地交流與學習，這促進了數學的發展，也促進了科技的進步與人類的發展。

數學推廣是數學追求完美性的體現。數學推廣是“指在一定范圍內或一定層次上對數學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立”[6]。一元二次、一元三次、一元四次方程都有公式解，那么一元五次方程、一元六次方程……是不是都有公式解呢？如果一次方程都有公式解，那么就是完美的結果。因此，數學家前赴后繼尋找一元五次、一元六次方程的解，雖然最后結果事與愿違，阿貝爾證明了一元四次方程以上沒有公式解，但數學這種追求完美的精神是值得贊頌的。

如果數學某個方面沒有完美性，怎么辦？想辦法讓它完美。函數是數集與數集之間的一種特殊對應關系，如何定義三角函數呢？角度不是實數，怎么辦？引入弧度制，建立角度與實數之間的一一對應，這樣，三角函數就定義在兩個數集之間。

數學的完美性還表現在對問題總想有一個完美的解答：為什么要研究這些數學概念？為什么對頂角相等？為什么數學猜想是正確的？……數學總是想方設法去證明每一個論斷，但這些證明過程很快就會被學生遺忘，那么數學證明的價值到底是什么呢？首先它培養學生的一種意識，那就是應用別人已獲得的結果時，要去檢驗它們，別讓自己用錯了；其次在分析與學會數學證明的過程中，培養與保持學生的洞察力；最后數學證明能夠培養學生條理化、系統化思考問題的習慣。可以說，數學證明在培養學生追求真理、保持洞察力上的表現也是完美的。

小學數學應該重視歸納推理，因為沒有具體例子就沒有一般化的結論與方法，但不對結論與方法進行反思與推理，數學是不完美的。所以，小學數學也應該根據需要，滲透與培養學生的證明意識與證明能力。利用基本事實證明自然數除法法則與分數除法法則的一致性。

總之，教材編寫者應該關注并落實數學的基本原則，把數學的基本原則滲透到每一個數學概念、方法的教學中；數學教師應該理解數學的基本原則，在處理教材、閱讀文獻時，能夠獨立思考，辯證地看待與處理爭議內容，在數學基本原則的指導下，理解數學知識的本質，挖掘數學的教育價值，發揮數學學科的力量，教師與教材協同發力，努力實現數學學科立德樹人的目標。

參考文獻

[1] 方運加.數學教師應信仰數學真理[J]．中小學數學：小學版，2012（Z1）：20-21.

[2] 劉加霞.把握度量的本質，積累度量活動的經驗——兼評趙娣老師的“毫米的認識”一課[J].小學教學：數學版，2013（05）：24-26.

[3] 全美數學教師理事會.美國學校數學教育的原則和標準[M].蔡金返，等譯.北京：人民教育出版社，2004：167.

[4] 伍鴻熙，趙潔譯.鳳凰涅槃：讓核心數學標準煥發生機[J]．數學通報，2012，51（04）：1-12.

[5] 吉智深.數學推廣：模式、方法及教育價值[J].中小學教師培訓，2023（03）：29-34.

[6] 鄭隆炘.數學推廣的類型與思想方法[J]．武漢教育學院學報，1999（03）：5-10.

［責任編輯：陳國慶］