代數思維在數學課堂中的落地生根

馬曉華

【摘 要】數學思維是數學核心素養的集中體現，其中代數思維相較于算術思維，更側重于關系的符號化、結構化、抽象化和概括化。小學數學學習，要在算術思維的基礎上，更加注重代數思維的培養與發展，深入培養學生的數學思維品質，為學生后續進一步學習函數等重要知識打下堅實的基礎。本文圍繞“用字母表示數”這節課，闡述如何讓代數思維真正在教學課堂中落地生根。

【關鍵詞】符號意識 代數思維 代數思想

“符號意識”是新課標提出的核心概念之一。“符號意識”主要是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。培養符號意識可以促進學生代數思維的衍生與發展。“用字母表示數”是蘇教版數學五年級上冊的內容，這是一節培養學生“符號意識”的基礎課，也是學生由具體的“算術語言”向抽象的“代數語言”過渡的開始，是后續學生學習代數方程、代數式、函數等代數知識的重要基礎。下面，筆者結合本節課的實際教學，具體談一談如何在教與學過程中讓代數思維在小學數學課堂中落地生根。

一、代數思維與算術思維的區別

談到代數思維，首先讓人想到的必定是算術思維，它們是一組相對的概念。小學低、中年級的數學內容在思維方式上大多傾向于算術思維，算術思維的對象主要是數字及其計算與拆合，它側重于程序性思維，著重利用數量計算求出答案，這個過程具有情境性、特殊性和計算性等特點。與其不同的是，代數思維的對象則主要是代數式及其運算與變換，它本質上是一種關系思維，其核心是一般化思想，即發現一般化的關系和結構以及明確這些關系與結構之間的聯系。代數思維的運算過程是結構性的，側重的是關系的符號化。結構化、符號化、抽象化和概括化是代數思維的特征。

例如：紅花有15朵，紅花的數量是黃花的3倍多6朵，求黃花有幾朵？對于這個實際問題，運用算術思維應該這樣解答：15-6=9（朵），9÷3=3（朵）。運用代數思維則尋求的是結構化的數量關系，其思維方式是：設黃花有x朵，則3x+6=15。簡單來說，算術思維是一題一法，注重計算，而代數思維就是尋求通法、注重表征。

二、代數思維在課堂中的落實

（一）以概括的思想驅動代數思維

代數思維主要包含概括的思想、等價的觀念和變化與函數的思想，用字母表示數這一創舉就是要能體現代數思想的高度概括性與簡潔性。縱觀代數的發展史，從早期用文字來表示一個代數問題解法的修辭代數，到古希臘數學家丟番圖使用希臘字母“ζ ”來表示未知數的縮略代數，再到法國數學家韋達開創用元音字母表示未知量、用輔音字母表示已知量的符號代數，都鮮明地表明用字母表示數是代數史上一次偉大的跨越，也是代數發展的一個必然趨勢。其最大的價值就是把數學中的無限數字、數量用一個簡單字母高度地歸納概括了出來。代數就是用符號來代替數量與式子，一個“代”字，所表達的就應該是概括的思想。教師在教學“青蛙兒歌”這道例題時，就應該以概括的思想為抓手，以概括的思想驅動代數思維，讓學生初步感知代數思維。

首先從“1只青蛙4條腿”出發，引導學生繼續說下去：2只青蛙 條腿、3只青蛙 條腿、10只青蛙 條腿、120只青蛙 條腿、1000只青蛙 條腿。然后引導學生思考并提出問題：“像這樣說下去說得完嗎？有什么辦法能把這樣的意思簡單地概括出來呢？”這樣一來，學生就會從概括總結規律的角度來思考問題，不同思維水平的學生都能用自己的數學語言來描述這個問題，為后續開放性的深入探究奠定基礎。大部分學生都能想到用一個字母來表示青蛙的數量，有“a只青蛙、b只青蛙、n只青蛙……”。對比滿屏的數，字母會帶給學生一種視覺和思維的強烈沖擊。在這里，用字母表示數首先體現出來的作用就是高度的概括性，其次才是字母可以表示未知變化的數。這樣學生就能初步感知用字母概括變化的數也是一種簡潔獨特的數學語言。

（二）創開放的課堂延展代數思維

學生是學習的主人，教師只是學習的組織者、引導者與合作者。“用字母表示數”這節課的知識內容非常多，許多教師為了在有限的40分鐘把教學內容上“完整”，課堂安排非常緊湊，全程牽著學生往前“趕”，想讓學生馬上“吃飽吃透”，因此一節課結束，教師以為課堂內容已經全部講完了，實際上學生已經在字母中迷失了。真正的好的數學課堂絕不應該是這樣的，教師控制得太多，學生自主權就會太少，所以教師要想方設法創設能給予學生自主思考、自主探究、自主實踐的機會與空間，真正把學習的主動權交還給學生，讓學生在開放的數學課堂中延展代數思維。

為了實現這一目標，在“青蛙兒歌”這個新授環節，筆者這樣處理：

學生已經從概括思想的角度嘗試用字母來代替未知的青蛙數量，所以筆者匯總學生可能會呈現的三種語言描述：“a只青蛙a條腿”“a只青蛙b條腿”“a只青蛙a×4條腿”。接下來不是急于判定好與不好，而是把大問題提出來：“大家仔細讀一讀、比一比，你們有什么想說的？”然后組織學生小組討論并交流想法，此時一定要給足時間。在匯報想法時，討論探究的重點有兩個：一個是“a只青蛙有a×4條腿”是怎樣思考出來的？另外一個是“a只青蛙b條腿”這種表示方法是否正確？課堂上，對于第一個問題，大家都沒有意見，一致認為可以用“a×4”來表示青蛙腿的數量。讓筆者意想不到的是，對于第二個問題，大家展開了激烈的爭論。有學生說：“a和b是兩個不同的字母，肯定可以表示兩個不同的數量，所以正確。”也有學生說：“既然確定是a只青蛙了，那它的腿數一定要是a的4倍，只能是a×4，不能隨隨便便找個不同的字母來代替它的腿數。”還有學生反駁道：“這里的b可以看作a×4。”在這個問題上，學生的思維有點脫離了筆者課前的教學預設，讓筆者措手不及。關于“a只青蛙b條腿”這種表示方式到底對不對，其實很多教師都有不同的看法。筆者認為，對與不對得看角度問題，站在本節課的角度，因為是符號意識與代數思維的啟蒙課，講得就應該直觀淺顯一點，“a×4”表示腿的數量肯定比“b”這個字母好，因為“b”對初學者來說是不確定的、任意的，是和“a”毫無關系的，所以不認可。但是隨著代數思想的深入，站在等量替換的角度，也可以認為當“b= a×4”時，這句話也是成立的。

開放的課堂不應該就是像這樣的嗎？如果知識的探究能達到這個高度，學生對代數思想就會有更高、更深層次的理解和感悟。

（三）從變化的角度內化代數思維

德國數學家開普勒說過，數學就是研究千變萬化中不變的關系！在“用字母表示數”這節課中，字母或含有字母的式子在很多情境中主要表示的是一些變化未知的數量，正因為數量是不確定的，所以我們需要用符號來概括表示出來。但“變化”又是最讓學生頭疼的，所以教師又需要引導學生在變化中尋找一些規律，即所謂“不變的東西”，這樣才能把數學問題的本質凸顯出來，才能有利于我們找到分析問題和解決問題的思路和方法。根據“變”與“不變”的關系，為了能讓學生在代數思維下體會到數學的本質，為了更好地內化學生的代數思維，筆者又選取了“年齡”這個素材來展開更深入的教學。

筆者以某一家三口的年齡為研究對象，先假設爸爸x歲，兒子y歲，給出爸爸比兒子大23歲的條件，所以兒子的年齡還可以用“x-23”來表示。在比較的過程中，讓學生再次進一步體會字母或含有字母的式子都可以表示未知變化的數量。然后x取不同的數值，代入計算兒子的年齡，感受兩人年齡不斷在變化，但兩人的年齡差這個數量關系永遠不變。緊接著給出媽媽的年齡“x+1”，再次比較并觀察三人的年齡，從代數式上找到年齡的關系。最后，改變代數設定的思路，假設兒子年齡是x歲，那爸爸、媽媽的年齡怎么表示？接著對這兩組含有字母的式子進行多角度分析比較，得出三人的年齡不斷在變化，字母x的對象也可以不斷變化，作為結果的字母式也會隨之而變化，但有一樣是自始至終不會改變的，學生異口同聲回應道：“年齡差！”

站在更高的層次，從變化的角度來研究數學問題，使學生進一步感受字母和含有字母的式子這種“別扭”的數學語言具有其獨特的優勢和價值。變只是表象，不變才是我們要研究的本質，代數思維就是研究數學變化中不變關系最強有力的武器。

（四）設梯度的練習生根代數思維

練習是學生訓練技能、掌握知識的重要方法。具有層次性、遞進性和綜合性的練習才是有效的練習，才能真正發展學生的數學核心素養。設計有效的練習就是對練習的內容、形式、數量等進行周密的考慮，使練習真正起到鞏固知識、發展思維能力的作用。

為了讓學生在練習中進一步生根代數思維，形成代數思想，筆者把本節課的練習分成了“基礎練習”“綜合練習”“拓展練習”三大板塊。“基礎練習”重點訓練用含有字母的式子表示數量關系；“綜合練習”在緊抓數量關系的同時，強調代入數值計算；“拓展練習”以訓練學生數學思維為目標。在拓展練習里，筆者設計了這樣一個問題：“三個連續的自然數，其中一個數是m，則三個自然數的和是多少？”這個問題在這節課里絕對是一個難題，旨在考查學生多方面的能力。這里不僅要能運用代數思想解決問題，還涉及分類討論的思想。問題起點很高，但對學生思維能力的促進有好處。學生就應該在這樣的日常訓練中不斷提升發現、分析和解決問題的能力，發展數學思維，生根代數思維，真正讓代數思想成為解決數學問題的常規武器。

總之，在“用字母表示數”這節課，因為抽象思維的升級，學生必須改變固有的思維和認知方式，體會符號意識與代數思想。教師要以這節課為抓手，為學生精準把脈，精心設計教學環節，讓學生的代數思維在課堂與練習中自然地生成和自由地生長。

代數思維的生成與發展絕不是一朝一夕的事情，教師要遵循學生的學習心理特點，在學生的認知難點上著重下功夫，幫助學生真正理解代數思維，讓代數思維切實在數學課堂中落地生根。