弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)六自由度剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的研究*

李成平

（陜西國(guó)防工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710300）

凸輪結(jié)構(gòu)在自動(dòng)機(jī)床、輕工機(jī)械和機(jī)電一體化產(chǎn)品中得到廣泛應(yīng)用。當(dāng)凸輪受輸入力的作用連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，會(huì)帶動(dòng)分度盤(pán)周期性間歇運(yùn)動(dòng)，所引起的慣性載荷使從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律發(fā)生變化，導(dǎo)致凸輪機(jī)構(gòu)輸出的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與理論值存在偏差。為了提高凸輪機(jī)構(gòu)的定位精度和動(dòng)態(tài)特性，需要在提高其零部件幾何精度的同時(shí)，充分研究凸輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，掌握最佳的激勵(lì)狀態(tài)。筆者針對(duì)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)，結(jié)合機(jī)械振動(dòng)力學(xué)和彈性力學(xué)知識(shí)，建立了一種等效的模型來(lái)有效模擬其實(shí)際情況，建立了六自由度剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)分析的數(shù)學(xué)方程[1-2]，為弧面分度凸輪的動(dòng)力學(xué)研究提供借鑒。

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

1.1 剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型

剛體動(dòng)力學(xué)假設(shè)所有構(gòu)件都是剛體，從而進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，但難以模擬機(jī)構(gòu)受力后的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。柔性動(dòng)力學(xué)考慮構(gòu)件本身的彈性，從而對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，能更加真實(shí)地還原機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況，但在分析過(guò)程中需要將彈性體拆分為多個(gè)自由度的離散系統(tǒng)，增加了系統(tǒng)的求解參數(shù)，動(dòng)力學(xué)分析方程的求解難度也大大增加[3]。

充分考慮剛體動(dòng)力學(xué)求解難度小、柔性動(dòng)力學(xué)接近真實(shí)情況等特點(diǎn)，將精度要求較高或者高速工況下較容易發(fā)生變形的構(gòu)件假設(shè)為彈性體，將不容易發(fā)生變形或者變形對(duì)輸出結(jié)果影響較小的構(gòu)件假設(shè)為剛體，構(gòu)建由彈性體和剛性體組成的機(jī)械系統(tǒng)，從而進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。這樣不僅最大限度地模擬了機(jī)構(gòu)實(shí)際動(dòng)態(tài)性能，而且降低了動(dòng)力學(xué)模型方程的建立與求解難度。

1.2 柔性動(dòng)力學(xué)模型的建立

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)由輸入軸、凸輪、分度盤(pán)、滾子、輸出軸、工位盤(pán)等組成。根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采取質(zhì)量集中的方法，把弧面凸輪分度機(jī)構(gòu)離散為有3 個(gè)質(zhì)量點(diǎn)和6 個(gè)自由度的系統(tǒng)，3 個(gè)質(zhì)量點(diǎn)分別集中于弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的分度盤(pán)、凸輪和載荷盤(pán)上。該系統(tǒng)的每個(gè)質(zhì)量點(diǎn)均具有質(zhì)量m、剛度k和阻尼C。考慮凸輪扭轉(zhuǎn)振型、分度盤(pán)與載荷盤(pán)的扭轉(zhuǎn)與平動(dòng)振型，建立該機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型[4-7]，如圖1 所示。

圖1 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)柔性動(dòng)力學(xué)模型

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的輸出軸為細(xì)長(zhǎng)軸，容易發(fā)生變形；其凸輪和分度盤(pán)的長(zhǎng)徑比相對(duì)較小、剛度相對(duì)較大，變形通常可以忽略。

1.3 剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的建立

根據(jù)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型的相關(guān)研究方法，弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的輸出軸為回轉(zhuǎn)體，具有一定的長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形，直接影響分度盤(pán)的定位精度，在動(dòng)力學(xué)分析時(shí)需要考慮；凸輪與滾子嚙合部位的撓度相對(duì)較小，為簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型，降低分析難度，彎曲變形可以忽略；輸入軸較短且長(zhǎng)徑比較小，剛度相對(duì)較大且不易發(fā)生變形，可以忽略不計(jì)。因此，在弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型建立過(guò)程中，可以將輸出軸與載荷盤(pán)認(rèn)定為柔性體，將輸入軸、凸輪、分度盤(pán)等構(gòu)件認(rèn)定為剛體，即在研究弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)時(shí)，只需針對(duì)其輸出系統(tǒng)開(kāi)展研究。同時(shí)，載荷盤(pán)安裝在輸出軸上，根據(jù)質(zhì)量集中法，可將兩者集中為一個(gè)等效質(zhì)量點(diǎn)，假設(shè)等效質(zhì)量點(diǎn)構(gòu)件質(zhì)量為m，建立輸出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

在弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，等效質(zhì)量體在坐標(biāo)系中有六個(gè)自由度，分別是x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸的軸向振動(dòng)和繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。其中，質(zhì)量體繞x、y、z三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jx、Jy、Jz，由于載荷盤(pán)與輸出軸為繞z軸的回轉(zhuǎn)體，故Jx≈Jy。

根據(jù)弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)等效質(zhì)量體動(dòng)力學(xué)模型，建立其動(dòng)力學(xué)方程[8-10]。輸出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中存在的扭轉(zhuǎn)變形會(huì)產(chǎn)生非線性因素，因此對(duì)其進(jìn)行線性處理：

其中，τ、.τ、..τ分別為機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)等效質(zhì)量體的理論轉(zhuǎn)角、角速度與角加速度；qx、qy、qz分別為機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)等效質(zhì)量體繞x、y、z軸的等效轉(zhuǎn)角；θx、θy、θz分別為機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)等效質(zhì)量體繞x、y、z軸的實(shí)際轉(zhuǎn)角。

由于等效質(zhì)量體的等效轉(zhuǎn)角很小，可等效為線位移。因此，qx=θx-τ(θ)；qy=θy-τ(θ)；qz=θz-τ(θ)。

x、y、z，kx、ky、kz，kθx、kθy、kθz分別為機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)等效質(zhì)量體在x、y、z方向線位移、等效抗彎剛度、等效扭轉(zhuǎn)剛度；Cθz為等效質(zhì)量體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的阻尼系數(shù)。

由于載荷盤(pán)與輸出軸為繞z軸的回轉(zhuǎn)體，所以其在x、y方向的等效抗彎剛度與等效扭轉(zhuǎn)剛度相似。故kx≈ky，kθx≈kθy。

1.4 動(dòng)力學(xué)模型數(shù)學(xué)方程的建立

建立弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

將式（2）至（7）代入式（8）中，得到該機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的參數(shù)矩陣。

1）廣義坐標(biāo)矩陣：

在圖1 所示的弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)柔性動(dòng)力學(xué)模型中，當(dāng)凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，凸輪和分度盤(pán)的嚙合作用會(huì)帶動(dòng)分度盤(pán)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。以坐標(biāo)軸的正方向移動(dòng)為線位移正向，沿坐標(biāo)軸的逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檗D(zhuǎn)角正向。

2）質(zhì)量矩陣：

3）阻尼矩陣：

弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作過(guò)程中存在多種阻尼，通常情況下，該類阻尼對(duì)輸出的影響較小，可不做研究；但當(dāng)激振頻率接近機(jī)構(gòu)的固有頻率時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)共振的現(xiàn)象，其影響會(huì)顯著增強(qiáng)，阻尼的影響也必須考慮，其振型為：

按振型阻尼處理可得：

4）慣性載荷矩陣：

在弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)中，載荷的形式主要有慣性力和摩擦力。該機(jī)構(gòu)屬于高精密零件，摩擦力很小，可以忽略，因此只考慮慣性載荷，其慣性載荷矩陣為：

5）剛度矩陣：

1.5 動(dòng)力學(xué)模型的固有頻率計(jì)算

根據(jù)以上動(dòng)力學(xué)方程和參數(shù)，采用模態(tài)疊加法，將時(shí)間離散為單元時(shí)間，并將凸輪機(jī)構(gòu)視為定常系統(tǒng)，以此求解式（8）的矩陣方程：

求解方程（16），可得各階固有頻率ωr和對(duì)應(yīng)的各階振型矢量?r(r=1,2,…,n)，n為振型數(shù)，在弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)輸出系統(tǒng)中，n=6。

求解以上方程，得弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)的固有頻率方程：

2 結(jié)論

筆者以機(jī)械振動(dòng)理論和剛?cè)狁詈侠碚摓榛A(chǔ)，綜合考慮弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)各結(jié)構(gòu)彈性變形對(duì)其動(dòng)力學(xué)的影響，建立了弧面分度凸輪機(jī)構(gòu)六自由度動(dòng)力學(xué)模型和固有頻率的求解方程，為此類機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析提供了參考。