量子常循環碼的構造研究

朱士信

摘要：量子糾錯碼是實現量子通信和量子計算的有效編碼方案，如何構造高性能的量子糾錯碼是量子糾錯理論最基本的研究課題之一.量子常循環碼具有良好的代數結構，可以通過量子線性移位寄存器進行編譯，在未來量子通信系統中有著廣泛的應用前景.本綜述將介紹量子常循環碼的構造方法，揭示經典常循環碼與量子糾錯碼之間的聯系，闡述經典常循環碼在量子MDS碼和糾纏輔助量子MDS碼中的應用.

關鍵詞：常循環碼; 量子碼; 量子MDS碼; 糾纏輔助量子碼A

中圖分類號：O236.2 文獻標志碼：文章編號：1001-8395（2023）05-0569-12

20世紀80年代，人們發現利用量子物理的并行計算機制可以極大地加快計算和通信速度，量子信息理論獲得迅速發展，量子信息理論和技術成為信息領域研究的熱門課題.近20年來，以量子力學為基礎的量子通信和計算不僅在技術上取得了快速發展，而且在理論上不斷獲得突破，展現出廣闊的應用前景.量子通信和量子計算在安全、速度、計算、搜索等方面相比經典數字通信具有巨大優勢.然而，存儲量子信息的物理系統不可避免會與環境相互作用，受到噪音的干擾或影響而失去量子特性，與經典數字通信相似，出現量子比特錯誤.同時，在量子通信和量子計算中還存在消相干現象，破壞了量子信息在傳輸過程中量子態的相干疊加，致使量子信息和量子計算發生錯誤.因此，可靠的量子通信和量子計算要求對邏輯量子比特進行編碼、譯碼和糾錯，并在糾錯保護下進行量子邏輯門操控，從而實現量子信息的有效傳輸.量子糾錯碼被證明是克服量子錯誤和消相干最有效的方法，能切實保障量子通信和量子計算的可靠性和安全性[1-2].

目前，第五代移動通信系統5G逐漸走向商業化，5G的發展源于用戶對移動數據日益增長的需求.美國主導的LDPC碼、中國華為公司主導的Polar碼分別被采納為5G eMBB場景的數據信道編碼方案和控制信道編碼方案.無論是Turbo碼、LDPC碼，還是Polar碼，都屬于有限域上經典的糾錯編碼.進入21世紀，全球科技創新進入空前密集活躍時期，量子信息技術也成為當今世界科技實力和創新能力的一大表現，正在逐步影響信息產業發展和經濟發展方向，世界正在由數字信息時代步入量子信息時代，而量子信息和量子計算必將成為這一時代的核心技術和科技競爭焦點.

由于量子信道的錯誤率會限制可執行的量子信息計算和傳輸長度.因此，如果要進行高效可靠的量子通信和量子計算，首先必須解決好量子糾錯問題，“糾錯”是量子技術面臨的最大挑戰.從這個意義上說，量子通信和量子計算依賴于量子糾錯編碼.解決糾錯問題是實現量子信息傳輸和量子計算的關鍵.量子糾錯碼是目前克服量子信道干擾最有效的編碼方案，它不僅能實現量子信息在帶有噪音的量子信道上可靠傳輸，而且能保證量子計算的有效進行.隨著量子傳輸的實現，構造高性能的量子糾錯碼具有十分重要的理論意義和應用價值.量子常循環碼作為一類重要的量子糾錯碼，具有豐富的代數結構，可以通過量子移位寄存器進行編譯，它的發展對量子信息傳輸和量子并行計算的發展具有重要意義.

1基本概念

2量子常循環碼

3量子常循環BCH碼

經典的BCH碼是一類循環碼，其參數可以通過設計距離進行界定，成為構造量子碼的首選碼源.文獻[8，26]給出了量子BCH碼的編碼和譯碼方法.文獻[27-28]給出了歐幾里得對偶包含BCH碼存在的充要條件，并構造了量子BCH碼.2007年，Aly等[29]確定了歐幾里得和厄密特對偶包含BCH碼的最大設計距離，建立了量子BCH碼的一般理論框架，其結果也成為量子碼性能的參照標準.通常，利用有限域上常循環碼構造量子碼，需要確定常循環碼滿足對偶包含性的最大設計距離.一個主要目標是選取恰當的定義集，使得對偶包含碼的最大設計距離盡可能大，由此產生的量子碼具有更強的糾錯能力.文獻[30-32]研究了各種長度的厄密特對偶包含碼，由此構造了一系列量子BCH碼.對于一般的常循環碼，歐幾里得對偶包含碼僅存在循環碼或負循環碼，而厄密特對偶包含碼存在其他類型的常循環碼.因而，量子常循環BCH碼受到了極大的關注.文獻[33-36]研究了各種類型量子常循環碼的參數.下面主要介紹文獻[33]的工作.

4糾纏輔助量子MDS碼

量子穩定子碼通過某種內積下對偶包含碼進行構造，這極大地限制了量子糾錯碼的發展.早在2002年，Bowen [37] 指出在量子信道兩端預先共享糾纏態c，可以提高信道容量.2006年，Brun等[38]證明了收發端在預先共享糾纏態c的情況下，可以利用任意經典線性碼進行量子信息傳輸并糾錯，由此建立了糾纏輔助穩定子碼編碼方案.這一重要發現標志著糾纏輔助量子碼這一新的理論分支的誕生.糾纏輔助量子碼可以直接利用經典的線性碼進行量子信息傳送，克服了標準量子碼對偶包含條件的限制，這不僅使得所有的經典線性碼得以量子化，還大大簡化了量子糾錯碼的構造理論.本節介紹糾纏輔助量子碼的相關概念和構造方法，重點介紹糾纏輔助量子MDS碼方面的工作進展.

5總結

本文從代數結構、構造方法、糾錯性能等方面詳細介紹了量子常循環碼的研究成果，結合實例闡述了量子常循環碼、量子MDS碼和糾纏輔助量子MDS碼的構造方法.量子糾錯理論在近30年獲得了重大突破和快速發展，已成為計算機科學、通信、物理和數學的一個交叉前沿領域.隨著量子傳輸與量子計算在實驗室中不斷得以實現，亟待建立系統而有效的量子編碼和譯碼方案.量子常循環碼是經典常循環碼的量子推廣，目前理論研究表明，量子常循環碼具有優良的糾錯性能，并且可以使用量子移位寄存器進行編譯.此外，量子常循環碼具有碼長靈活和類型豐富的特點，理論上自然成為量子傳輸和量子計算中首選的糾錯碼源.如何真正在技術上實現量子常循環碼在量子信道中進行信息傳輸并糾錯，從而降低誤碼率，是量子常循環碼應用的關鍵，這需要從量子比特測量和量子編碼電路等方面對量子常循環碼開展深入的研究.

參考文獻

[1] SHOR P W. Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory[J]. Physical Review A，1995，52（4）：2493-2496.

[2] STEANE A M. Multiple particle interference and quantum error correction[J]. Proceedings of the Royal Society A，1996，452（1）：2551-2577.

[3] MACWILLIAMS F J， SLOANE N J A. The Theory of Error-Correcting Codes[M]. Amsterdam：North-Holland，1977.

[4] KRISHNA A， SARWATE D V. Pseudocyclic maximum-distance-separable codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，1990，36（4）：880-884.

[5] DINH H Q， LPEZ-PERMOUTH S R. Cyclic and negacyclic codes over finite chain rings[J]. IEEE Trans Inform Theory，2004，50（8）：1728-1744

[6] HUFFMAN W C， PLESS V. Fundamentals of Error-Correcting Codes[M]. Cambridge：Cambridge University Press，2003.

[7] KAI X S， ZHU S X， LI P. Constacyclic codes and some new quantum MDS codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2014，60（4）：2080-2086.

[8] GRASSL M， BETH T. Cyclic quantum error-correcting codes and quantum shift registers[J]. Proceedings of the Royal Society A，2000，456（2003）：2689-2706.

[9] 馮克勤，陳豪. 量子糾錯碼[M]. 北京：科學出版社，2010.

[10] RAINSE M. Nonbinary quantum codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，1999，45（6）：1827-1832.

[11] KETKAR A， KLAPPENECKER A， KUMAR S， et al. Nonbinary stabilizer codes over finite fields[J]. IEEE Trans Inform Theory，2006，52（11）：4892-4916.

[12] CALDERBANK A R， RAINS E R， SHOR P W， et al. Quantum error correction via codes over GF（4）[J]. IEEE Trans Inform Theory，1998，44（7）：1369-1387.

[13] AHIKHMIN A， KNILL E. Nonbinary quantum stabilizer codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2001，47（7）：3065-3072.

[14] STEANE A M. Enlargement of Calderbank-Shor-Steane quantum codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，1999，45（7）：2492-2495.

[15] LING S， LUO J Q， XING C P. Generalization of Steanes enlargement construction of quantum codes and applications[J]. IEEE Trans Inform Theory，2010，56（8）：4080-4084.

[16] GRASSL M， GEISELMANN W， BETH T. Quantum Reed-Solomon codes[C]//Applied Algebra， Algebraic Algorithms and Error-Correcting Codes. Berlin：Springer，1999：231-244.

[17] FENG K Q. Quantum codes ［［6，2，3］］p and ［［7，3，3］］p（p≥3） exist[J]. IEEE Trans Inform Theory，2002，48（8）：2384-2391.

[18] SARVEPALLI P K， KLAPPENECKER A. Nonbinary quantum Reed-Muller codes[C]//Proceedings of International Symposium Information Theory. Adelaide：IEEE，2005：1023-1027.

[19] GRASSL M， BETH T， RTTLER M. On optimal quantum codes[J]. International Journal Quantum Information，2004，2（1）：757-775.

[20] LI Z， XING L J， WANG X M. Quantum generalized Reed-Solomon codes：unified framework for quantum maximum-distance-separable codes[J]. International Journal of Quantum Information，2008，77（1）：012308.

[21] JIN L F， LING S， LUO J Q， et al. Application of classical Hermitian self-orthogonal MDS codes to quantum MDS codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2010，56（9）：4735-4740.

[22] CHEN B C， LING S， ZHANG G H. Application of constacyclic codes to quantum MDS codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2015，61（3）：1474-1484.

[23] ZHANG T， GE G N.Some new classes of quantum MDS codes from constacyclic codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2015，61（9）：5224-5228.

[24] WANG L Q， ZHU S X. New quantum MDS codes derived from constacyclic codes[J]. Quantum Information Processing，2015，14（3）：881-889.

[25] LI S X， XIONG M S， GE G N. Pseudo-cyclic codes and the construction of quantum MDS codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2016，62（4）：1703-1710.

[26] GRASSL M， BETH T. Quantum BCH codes[C]//Proceedings of International Symposium on Theoretical Electrical Engineering. Magdeburg：IEEE，1999：207-212.

[27] COHEN G， ENCHEVA S， LITSYN S. On binary constructions of quantum codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，1999，45（7）：2495-2498.

[28] MA Z， LU X， FENG K Q， et al. On non-binary quantum BCH codes[C]//The 3rd International Conference on Theory and Applications of Models of Computation. Berlin：Springer-Verlag，2006：675-683.

[29] ALY S A， KLAPPENECKER A， SARVEPALLI P K. On quantum and classical BCH codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2007，53（3）：1183-1188.

[30] LA GUARDIA G G. Constructions of new families of nonbinary quantum codes[J]. Physical Review A，2009，80（4）：042331.

[31] LA GUARDIA G G. On the construction of nonbinary quantum BCH codes[J]. IEEE Trans Inform Theory，2014，60（3）：1528-1535.

[32] LI R H， ZUO F， LIU Y， et al. Hermitian dual-containing BCH codes and construction of new quantum codes[J]. Quantum Inform Computation，2013，12（1/2）：0021-0035.

[33] WANG L Q， SUN Z H， ZHU S X. Hermitian dual-containing narrow-sense constacyclic BCH codes and quantum codes[J]. Quantum Information Processing，2019，18（10）：323.

[34] YUAN J， ZHU S X， KAI X S， et al. On the construction of quantum constacyclic codes[J]. Designs， Codes and Cryptography，2017，85（1）：179-190.

[35] LIU Y， LI R H， LV L D， et al. A class of constacyclic BCH codes and new quantum codes[J]. Quantum Information Processing，2017，16（3）：66.

[36] WANG J L， LI R H， LIU Y， et al. Some negacyclic BCH codes and quantum codes[J]. Quantum Information Processing，2020，19（2）：323.

[37] BOWEN G. Entanglement required in achieving entanglement-assisted channel capacities[J]. Physical Review A，2002，66（5）：052313.

[38] BRUN T， DEVETAK I， HSIEH M. Correcting quantum errors with entanglement[J]. Science，2006，314（5798）：436-439.

[39] LAI C Y， BRUN T A， WILDE M M. Duality in entanglement-assisted quantum error correction[J]. IEEE Trans Inform Theory，2013，59（6）：4020-4024.

[40] ALLAHMADI A， ALKENANI A， HIJAZI R， et al. New constructions of entanglement-assisted quantum codes[J]. Cryptography and Communications，2022，14（1）：15-37.

[41] MARKUS G. Entanglement-assisted quantum communication beating the quantum Singleton bound[J]. Physical Review A，2021，103（2）：L020601.

[42] WILDE M M， BRUN T A. Optimal entanglement formulas for entanglement-assisted quantum coding[J]. Physical Review A，2008，77（6）：64302.

[43] CARLOS G， FERNANDO H， RYUTAROH M， et al. Correction to：entanglement-assisted quantum error-correcting codes over arbitrary finite fields[J]. Quantum Information Processing， 2021， 20（6）：116.

[44] KENZA G， SOMPHONG J， AARON G T. Constructions of good entanglement-assisted quantum error correcting codes[J]. Designs， Codes and Cryptography，2018，86（1）：121-136.

[45] 李瑞虎，許根，呂良東. BCH碼的定義集分解及應用[J]. 空軍工程大學學報（自然科學版），2013，14（2）：86-89.

[46] CHEN J Z， HUANG Y Y， FENG C H， et al. Entanglement-assisted quantum MDS codes constructed from negacyclic codes[J]. Quantum Information Processing，2017，16（12）：303.

[47] LIU Y， LI R H， LV L D， et al. Application of constacyclic codes to entanglement-assisted quantum maximum diatance separable codes[J]. Quantum Information Processing，2018，17（8）：210.

[48] CHEN X J， ZHU S X， KAI X S. Entanglement-assisted quantum MDS codes constructed from constacyclic codes[J]. Quantum Information Processing，2018，17（10）：273.

[49] QIAN J F， ZHANG L N. On MDS linear complementary dual codes and entanglement-assisted quantum codes[J]. Designs， Codes and Cryptography，2018，86（7）：1565-1572.

[50] PANG B B， ZHU S X， LI F L，et al. New entanglement-assisted quantum MDS codes with larger minimum distance[J]. Quantum Information Processing，2020，19（7）：207.

[51] WANG J L， LI R H， L J J， et al. Entanglement-assisted quantum error correction codes with length n=q2+1[J]. Quantum Information Processing，2019，18（9）：292.

Research on Construction of Quantum Constacyclic CodesZHU Shixin（School of Mathematics， Hefei University of Technology， Hefei 230601， Anhui）Quantum error-correcting codes are an effective coding scheme that can realize quantum communication and computation. It is one of the most basic topics to construct quantum error-correcting codes with high error-correcting capability. Quantum constacyclic codes have good algebraic structure， which can be encoded and decoded by quantum linear shift register. Hence， they have wide application prospect in quantum communication system in the future. In this review paper， we introduce the methods of the construction of quantum constacyclic codes and reveal the relationship between classical constacyclic codes and quantum error-correcting codes. We mainly elaborate some applications of classical constacyclic codes to quantum MDS codes and entanglement-assisted quantum MDS codes.constacyclic codes; quantum codes; quantum MDS codes; entanglement-assisted quantum codes

（編輯陶 志寧）