基于Lyapunov理論考慮不確定擾動(dòng)的船舶自適應(yīng)跟蹤控制

張強(qiáng)　李昊洋　孟祥飛　胡宴才　張樹豪

摘要：針對受外界干擾的欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤問題，提出一種自適應(yīng)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方法。通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)律逼近外部擾動(dòng)的上界，結(jié)合有限時(shí)間控制理論設(shè)計(jì)軌跡跟蹤控制律，再運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論驗(yàn)證系統(tǒng)整體的穩(wěn)定性。利用MATLAB進(jìn)行對比仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證此方法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該控制方法的跟蹤精度較高，跟蹤誤差較小，且可以快速收斂到一個(gè)零附近的有界區(qū)間，實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)船舶有限時(shí)間的軌跡跟蹤，為船舶安全航行和智能船舶研究提供參考。

關(guān)鍵詞：欠驅(qū)動(dòng)船舶； 軌跡跟蹤； 有限時(shí)間； 自適應(yīng)控制

中圖分類號(hào)：? U664.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼：? A

Lyapunov theory-based adaptive tracking control for ships considering uncertain disturbances

ZHANG Qiang， LI Haoyang， MENG Xiangfei， HU Yancai*， ZHANG Shuhao

（School of Navigation and Shipping， Shandong Jiaotong University， Weihai 264200， Shandong， China）

Abstract： An adaptive finite time trajectory tracking control method is proposed to solve the trajectory tracking problem of underactuated ships affected by external interference. An adaptive law is designed to approximate the upper bound of external disturbances， the trajectory tracking control law is designed by the finite time control theory， and the Lyapunov stability theory is used to verify the stability of the overall system. The effectiveness of the method is verified by comparative simulation experiments using MATLAB. The experimental results show that， the tracking accuracy of the control method is higher， the tracking error is smaller， and it can quickly converge to a bounded interval near zero. It realizes the finite time trajectory tracking of underactuated ships， which provides reference for the safe navigation of ships and the research on intelligent ships.

Key words： underactuated ship; trajectory tracking; finite time; adaptive control

0 引 言

船舶軌跡跟蹤控制是航海技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向。該研究不僅有助于推動(dòng)船舶自動(dòng)化、智能化的發(fā)展，而且能夠提高船舶的航行安全，提升船舶運(yùn)營效率，降低成本［1］。齊跡等［2］設(shè)計(jì)了船舶航向自適應(yīng)控制器，解決了復(fù)雜環(huán)境下船舶航向保持控制效果差的問題，保證了航行安全。李輊［3］通過對全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的比較發(fā)現(xiàn)，雖然欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)復(fù)雜，但其諸多優(yōu)勢更適用于工程實(shí)踐。當(dāng)前船舶航行環(huán)境日益復(fù)雜，易產(chǎn)生船舶航跡偏離等問題，而船舶偏離預(yù)期的航跡可能導(dǎo)致運(yùn)營效率降低或者發(fā)生碰撞危險(xiǎn)［4-5］。控制船舶在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤到預(yù)期軌跡，也是保障船舶航行安全的重要方面。王泰琪［6］設(shè)計(jì)了全驅(qū)動(dòng)船舶的固定時(shí)間軌跡跟蹤控制器，使船舶在短時(shí)間內(nèi)跟蹤到安全軌跡上。在船舶自動(dòng)靠泊時(shí)，按照設(shè)計(jì)軌跡進(jìn)行靠泊，不僅可以提高靠港效率而且可以降低碰撞碼頭的風(fēng)險(xiǎn)［7］。因此，研究欠驅(qū)動(dòng)船舶自適應(yīng)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制問題具有重要意義。

目前，科研工作者對欠驅(qū)動(dòng)船舶的軌跡跟蹤控制問題進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)［8-11］指出實(shí)際的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)需考慮所處環(huán)境的干擾以及動(dòng)力學(xué)模型不匹配問題。為解決環(huán)境干擾問題，李榮輝等［12］設(shè)計(jì)了基于自抗擾控制的欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤控制方案，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。為解決動(dòng)力學(xué)模型不匹配問題，李歐雪等［13］提出一種逆動(dòng)力學(xué)自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)方法，解決了欠驅(qū)動(dòng)船舶在非完整約束下和模型不匹配情況下的軌跡跟蹤控制問題。QU等［14］為無人水面艇設(shè)計(jì)了一種指數(shù)跟蹤控制方案，同時(shí)解決了環(huán)境干擾和系統(tǒng)不確定性問題。然而，上述對干擾處理的控制算法太過復(fù)雜。利用自適應(yīng)控制解決干擾問題會(huì)更簡便有效。張成舉等［15］運(yùn)用反步法，結(jié)合自適應(yīng)控制，提出一種非線性魯棒軌跡跟蹤控制方法。DAI等［16］運(yùn)用動(dòng)態(tài)面方法，提出一種不確定擾動(dòng)下船舶自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟蹤控制方案。SUN等［17］利用比例積分滑模控制和反步法設(shè)計(jì)了一種魯棒自適應(yīng)軌跡跟蹤法。劉楊［18］設(shè)計(jì)了一種以非線性混合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來穩(wěn)定自適應(yīng)控制的方法。這些研究結(jié)合了自適應(yīng)控制技術(shù)，但沒有考慮到軌跡跟蹤的時(shí)間問題。對于有限時(shí)間軌跡跟蹤控制的研究，胡明月等［19］提出一種基于指令濾波器的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方案，ZHU等［20］設(shè)計(jì)了一種輸入飽和條件下基于單參數(shù)學(xué)習(xí)的欠驅(qū)動(dòng)船舶有限時(shí)間跟蹤控制方案。眾多的欠驅(qū)動(dòng)船舶軌跡跟蹤控制研究表明，目前對船舶軌跡跟蹤控制的限時(shí)問題關(guān)注較少。若能結(jié)合自適應(yīng)控制，對欠驅(qū)動(dòng)船舶在有限時(shí)間內(nèi)進(jìn)行軌跡跟蹤控制，則可以大大提高船舶航行的效率并且減少事故的發(fā)生。

受以往研究成果啟發(fā)，本文以欠驅(qū)動(dòng)船舶自適應(yīng)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制為研究點(diǎn)，與未采用有限時(shí)間控制的方案作對比。基于有限時(shí)間理論，設(shè)計(jì)控制律進(jìn)行軌跡跟蹤控制，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)律逼近干擾上界來抵抗干擾的影響，實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)船舶自適應(yīng)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制。運(yùn)用Lyapunov理論證明該控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通過仿真驗(yàn)證控制方案的合理性和有效性。

1 船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

假定水面船舶處于xOy平面內(nèi)，欠驅(qū)動(dòng)船舶跟蹤控制的三自由度數(shù)學(xué)模型［21］如下：

4 仿真研究

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)的控制器在不同軌跡下的通用性和有效性，以挪威科技大學(xué)的Cybership 2船模作為被控對象，進(jìn)行圓形和梯形兩組仿真對比實(shí)驗(yàn)。該船總長L=1.255 m，質(zhì)量m=23.8 kg，其他參數(shù)見文獻(xiàn)［27］。

參考文獻(xiàn)［24］中的仿真對比實(shí)驗(yàn)方法，將設(shè)計(jì)控制方案與未采用有限時(shí)間控制的方案進(jìn)行仿真對比。對比方案的虛擬控制律、控制律和自適應(yīng)律分別如下：

在模型參數(shù)mu、mv、mr均為未知的條件下，同時(shí)對設(shè)計(jì)控制律和對比控制律采用同樣的模型參數(shù)和控制器系數(shù)，設(shè)置參數(shù)k11=0.1，k12=0.1，k21=0.2，k22=0.1，k31=0.2，k32=0.05，k41=0.4，k42=0.05，ω～u=0.01，ω～r=0.02，ζ=0.05，γu=0.1，λu=1，γr=0.01，λr=1。

在期望軌跡為參考軌跡的情況下，將有限時(shí)間設(shè)計(jì)控制律與未采用有限時(shí)間的對比控制律作對比。采用的期望圓形軌跡仿真方程如下：

圓形軌跡下，船舶的初始位置和初始速度為（x0，y0，ψ0，u0，v0，r0）=（0，10 m，0，0，0，0）。

船舶在平面內(nèi)的圓形軌跡對比見圖2。設(shè)計(jì)控制律的軌跡（實(shí)線）在坐標(biāo)（19 m，9 m）附近跟蹤上期望軌跡（虛線），而對比控制律的軌跡（點(diǎn)劃線）在坐標(biāo)（24 m，18 m）附近才跟蹤上期望軌跡。在兩種控制方案都跟蹤上期望軌跡之后，設(shè)計(jì)控制律的軌跡更靠近期望軌跡，跟蹤效果優(yōu)于對比控制律。

對船體所處位置坐標(biāo)（x，y）的跟蹤情況見圖3。在x軸方向上，兩種控制律的曲線都在6 s左右跟蹤上期望曲線，設(shè)計(jì)控制律的曲線更接近期望曲線。在y軸方向上，設(shè)計(jì)控制律的曲線在20 s左右跟蹤上期望曲線，而對比控制律的曲線在40 s左右跟蹤上期望曲線，設(shè)計(jì)控制律的曲線更貼近期望曲線。在設(shè)計(jì)控制律下，船舶在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望的位置，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果都更加接近期望，設(shè)計(jì)方案優(yōu)于對比方案。

船舶在航行時(shí)的前向速度u和艏搖角速度r隨時(shí)間變化的對比曲線見圖4。對于前向速度u和艏搖角速度r，兩種控制律的跟蹤曲線在50 s前都出現(xiàn)了較大波動(dòng)，其原因是：軌跡跟蹤是從船舶速度為零開始的，而開始時(shí)船舶速度是突變的。在50 s左右跟蹤曲線趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制律的曲線比對比控制律的曲線更貼近期望曲線，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果更好。

跟蹤軌跡的位置誤差見圖5。對于x軸跟蹤誤差，兩種控制律的誤差曲線都在25 s左右趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定之后設(shè)計(jì)控制律的曲線更靠近零值（呈直線），誤差不再變化，而對比控制律的誤差在（-0.3 m，+0.3 m）范圍內(nèi)波動(dòng)；對于y軸跟蹤誤差，對比控制律的曲線在60 s左右趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制律的曲線在25 s左右趨于穩(wěn)定，曲線更靠近零值，誤差更小；對于艏搖角跟蹤誤差，對比控制律的曲線在20 s左右趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制律的曲線在10 s左右趨于穩(wěn)定，曲線更靠近零值，誤差更小。跟蹤軌跡的速度誤差見圖6：設(shè)計(jì)控制律的速度誤差曲線波動(dòng)更小，誤差更接近零值。綜上可知，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果更優(yōu)。

控制輸入的對比曲線見圖7。兩種控制律下的控制輸入隨著時(shí)間的變化都趨于有界，相較于設(shè)計(jì)控制律，對比控制律下的控制輸入曲線有著更劇烈的波動(dòng)。控制波動(dòng)越劇烈，說明控制效率越低，因此設(shè)計(jì)控制律的控制性能更佳。

采用的梯形軌跡仿真方程如下：

梯形軌跡下，船舶的初始位置和初始速度為（x0，y0，ψ0，u0，v0，r0）=（0，10 m，0，0，0，0）。

船舶在平面內(nèi)的梯形軌跡對比見圖8。設(shè)計(jì)控制律的軌跡（實(shí)線）在坐標(biāo)（15 m，10 m）附近跟蹤上期望軌跡（虛線），而對比控制律的軌跡（點(diǎn)劃線）在坐標(biāo)（50 m，10 m）附近才跟蹤上期望軌跡。當(dāng)兩種控制律都跟蹤上期望軌跡后，設(shè)計(jì)控制律的軌跡更靠近期望軌跡，跟蹤效果相較于對比控制律的更好。

對船體所處位置的坐標(biāo)（x，y）跟蹤情況見圖9。在x軸方向上，兩種控制律的曲線幾乎都在0 s跟蹤上期望曲線，設(shè)計(jì)控制律的曲線更接近期望曲線；在y軸方向上，設(shè)計(jì)控制律的曲線在20 s左右跟蹤上期望曲線，而對比控制律的曲線在50 s左右跟蹤上期望曲線，且設(shè)計(jì)控制律的曲線更貼近期望曲線。設(shè)計(jì)控制律下的船舶可以在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望的位置，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果更加接近期望，表明設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果更佳。

船舶在航行時(shí)的前向速度u和艏搖角速度r隨時(shí)間變化的對比曲線見圖10。對于前向速度u和艏搖角速度r，兩種控制律的曲線都在5 s左右跟蹤上期望曲線；對比兩種控制律下的跟蹤曲線，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤曲線比對比控制律的跟蹤曲線更貼近期望曲線，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果更好。

跟蹤軌跡的位置誤差見圖11。對于x軸跟蹤誤差：對比控制律的曲線在40 s左右趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制律的曲線在20 s左右趨于穩(wěn)定；穩(wěn)定之后設(shè)計(jì)控制律的曲線呈直線，誤差不再變化，且誤差更小，而對比控制律的誤差曲線還存在極小的波動(dòng)。對于y軸跟蹤誤差，對比控制律的曲線在50 s左右趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制律的曲線在20 s左右趨于穩(wěn)定，曲線更靠近零值，跟蹤精度更高。對于轉(zhuǎn)艏角跟蹤誤差，對比控制律的曲線在10 s左右趨于穩(wěn)定，設(shè)計(jì)控制律的曲線在5 s左右趨于穩(wěn)定，誤差更小。跟蹤軌跡的速度誤差見圖12。設(shè)計(jì)控制律的速度誤差曲線波動(dòng)更小，誤差更接近零。綜上可知，設(shè)計(jì)控制律的跟蹤效果更好。

控制輸入的對比曲線見圖13。兩種控制律下的控制輸入隨著時(shí)間的變化都趨于有界，相較于設(shè)計(jì)控制律，對比控制律的控制輸入曲線有著更劇烈的波動(dòng)。控制波動(dòng)越劇烈，說明控制難度越高，控制效率越低，因此設(shè)計(jì)控制律的控制性能更佳。

由兩組仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可知：設(shè)計(jì)的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方案在不同的跟蹤軌跡下，在各方面都表現(xiàn)出了良好的性能；設(shè)計(jì)控制律的各參數(shù)曲線都能比對比控制律的更早跟蹤上期望曲線，誤差更穩(wěn)定，誤差范圍更小；設(shè)計(jì)方案相較于未采用有限時(shí)間控制的方案具有更多的優(yōu)勢。

5 結(jié)論與展望

針對欠驅(qū)動(dòng)船舶提出一種考慮外界干擾的自適應(yīng)有限時(shí)間軌跡跟蹤控制方法。首先，通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)律對外部干擾的最大估計(jì)值進(jìn)行逼近，設(shè)計(jì)控制律使軌跡跟蹤的各參數(shù)誤差趨于零；然后，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)穩(wěn)定性；最后，對兩組不同軌跡進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明船舶軌跡跟蹤誤差和速度跟蹤誤差收斂速度更快，誤差收斂到接近于零的一個(gè)極小的范圍內(nèi)（可以忽略不計(jì)），驗(yàn)證了該控制系統(tǒng)的有效性，即能夠保證實(shí)際航行中的欠驅(qū)動(dòng)船舶在有限時(shí)間內(nèi)跟蹤上期望軌跡。當(dāng)前全球船舶數(shù)量急劇增加，自適應(yīng)有限時(shí)間控制方案不僅可以運(yùn)用于自動(dòng)靠泊解決航道擁堵問題，還可以運(yùn)用于船舶避碰，從而減少事故的發(fā)生。目前對船舶控制的研究大部分直接針對船舶行駛時(shí)的推進(jìn)力和轉(zhuǎn)彎扭矩，后續(xù)研究擬將螺旋槳和舵機(jī)的傳動(dòng)模型結(jié)合到推進(jìn)力和轉(zhuǎn)彎扭矩的設(shè)計(jì)中，以便該方法的推廣應(yīng)用。

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（編輯 賈裙平）

收稿日期： 2021-10-15

修回日期： 2022-04-14

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金（51911540478）；山東省重點(diǎn)研究發(fā)展計(jì)劃（2019JZZY020712）；山東省研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（SDYJG19217）；山東交通學(xué)院博士生科研創(chuàng)業(yè)基金及山東交通學(xué)院攀登研究創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃（SDJTUC1802）

作者簡介： 張強(qiáng)（1982—），男，山東濰坊人，船長，教授，博士，研究方向?yàn)榇啊C(jī)器人運(yùn)動(dòng)與控制，（E-mail）zq20060054@163.com

*通信聯(lián)系人。（E-mail）yancaihu@126.com