深度挖掘，讓概念看得更“清”

張微紅

【摘要】數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識中有著舉足輕重的地位，也是發(fā)展思維、培養(yǎng)能力的重要基礎(chǔ)。然而對于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念大都是抽象的，怎樣幫助學(xué)生形成概念呢？本文以《平行與垂直》一課為載體，從“多元感知，建立表象”“表征操作，凸顯本質(zhì)”“概括聯(lián)系，搭建結(jié)構(gòu) ”三方面闡述了如何讓概念“看得”更全面、更精致、更深刻！

【關(guān)鍵詞】概念? 感知? 操作? 聯(lián)系

【中圖分類號】G623.5 ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2023）06-0139-03

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識中有著舉足輕重的地位，也是發(fā)展思維、培養(yǎng)能力的重要基礎(chǔ)。然而對于小學(xué)生而言，數(shù)學(xué)概念大都是抽象的，怎樣幫助學(xué)生形成概念呢？筆者以四年級上冊《平行與垂直》為例，深度挖掘概念中的內(nèi)涵，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓概念看得更“清”！

《平行與垂直》它是一節(jié)概念課，是一單元的起始課。這節(jié)課的教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了平行四邊形、長方形、正方形和直線、射線、線段的特點后進(jìn)行的。正確認(rèn)識同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系——平行和垂直，將為今后進(jìn)一步探究平行四邊形、梯形以及長方體、正方體等幾何知識打下扎實的基礎(chǔ)。本節(jié)課重點需要思考的問題是“平行與垂直”，學(xué)生在平時的生活中雖然有一些感性認(rèn)識，在圖形中也有基本的表象認(rèn)識，但對概念的描述理解卻有一定的困難，對兩條直線的位置關(guān)系也沒有深刻的認(rèn)識。如何化枯燥為生動，化抽象為具體？如何在本質(zhì)特征中辨析它們的關(guān)系？如何突破平行線中的“在同一平面”這一條件？那如何具體形象地突破概念課中的這些難點呢？

一、多元感知，建立表象——讓概念看得更全面

對平行與垂直，課本中是這樣描述的：

看似簡短的兩句文字描述，實質(zhì)是非常抽象的。課前在一個班曾經(jīng)做過這樣一個實驗，讓學(xué)生自學(xué)課本中的概念，然后完成《作業(yè)本》第3題：

結(jié)果第二幅圖有55.6%的學(xué)生寫了平行，第三副圖有66.7%的學(xué)生認(rèn)為既不平行也不垂直。

抽象、推理、模型是數(shù)學(xué)的基本思想聚焦的三個方面。從具體到抽象是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，可抽象的數(shù)學(xué)與兒童具體形象的數(shù)學(xué)思維水平間有一定的差距，如何突破，完美過渡？我認(rèn)為，多元感知，建立表象是非常必要的。

比如在認(rèn)識“平行線”的時候，筆者是這樣設(shè)計的：

（一）課前：

吃好晚飯，在桌上擺一擺兩根筷子，看看有幾種不同的情況？

（二）課中：

1.畫圖感知，構(gòu)建素材

（1）把昨天擺兩根筷子的不同情況畫在紙上。（2）四人小組交流討論。（3）展示小組的作品。

2.觀察分類，感知特點

（1）把兩條直線位置情況分分類。（2）學(xué)生介紹自己的分法。（3）小結(jié)。

板書：相交、不相交

3.辨析討論，揭示概念

（1）揭示平行線的概念。（2）說說互相平行的意思。（3）用符號表示平行。（4）辨析哪些是平行線？哪些不是？（5）在生活中和圖形中找平行線。

隨后我們進(jìn)行了一個后測：

1.下圖中，兩條直線互相平行的有（? ? ），互相垂直的有（? ?）。

2.如圖：

找出圖中所有的平行線，用“∥”表示：（? ? ）；找出圖中所有的垂線，用“⊥”表示：（? ? ）。

綜合兩題情況：

從上可以得知：

1.學(xué)生已經(jīng)積累了平行與垂直的表象；2.大部分學(xué)生構(gòu)建了平行與垂直的模型；3.大部分學(xué)生能把概念文字化和符號化。

確實，現(xiàn)實生活中的“原型”是抽象、概括科學(xué)概念不可或缺的學(xué)習(xí)素材。概念教學(xué)的起始階段，對接生活原型，可喚醒學(xué)生內(nèi)在的認(rèn)知經(jīng)驗，再通過擺一擺，畫一畫，分一分，議一議，說一說，辨一辨，找一找等多元感知，從生活直觀抽象出幾何直觀；由文字描述轉(zhuǎn)化成圖像描述，建立兩條直線的位置關(guān)系的表象，降低學(xué)生理解的難度。

二、表征操作，凸顯本質(zhì)——讓概念看得更精致

當(dāng)學(xué)生對概念表象具象化時，教學(xué)還應(yīng)借助各種表征活動讓概念表象操作化與活動化，實現(xiàn)多種表征之間的來回互譯溝通，促進(jìn)概念的深化理解，這是概念教學(xué)精致化的過程。

從學(xué)生的數(shù)學(xué)經(jīng)驗看，學(xué)生頭腦中已經(jīng)積累了一定的平行、垂直的表象，在日常生活中已經(jīng)有了許多的感知與接觸，本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，需要把那些零散的生活原型進(jìn)行提煉上升（抽象）到數(shù)學(xué)模型上來，進(jìn)而認(rèn)識、形成概念。但由于學(xué)生年齡尚小，空間想象能力和空間觀念還不夠豐富，導(dǎo)致他們對“永”不相交、“同一平面內(nèi)”等概念的理解相對困難。如何讓學(xué)生初步感知“永”不相交、“同一平面”的含義？如何進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間想象能力等等都是本節(jié)課需要思考與嘗試解決的問題。

比如在認(rèn)識“不相交”時，筆者是這樣設(shè)計的：

像這樣在同一張紙上兩條直線畫得再長再長也不會相交嗎？

（1）動手畫一畫（格子圖上）。（2）閉上眼睛想一想。（3）課件演示看一看。

既然學(xué)生的想象能力有限，我們不能直接授之以魚。因為這樣學(xué)生體驗不到數(shù)學(xué)知識的奧秘，得到的知識是不深刻的。因此，教師要設(shè)計好各種活動，盡可能讓學(xué)生的多種感官參與，體會到知識間的聯(lián)系，突破難點，深切感受平行線是“永不相交的”。再思考“同一平面內(nèi)”這個概念，每當(dāng)教學(xué)到這個概念時，總是再三交待學(xué)生要牢記“同一平面”這句話，以引起學(xué)生注意和記憶，但是每到考試的判斷題：不相交的兩條直線就叫作平行線（? ? ），總有不少學(xué)生還會選擇“對”，讓老師傷心至極。這是上屆四年級一道判斷題測試統(tǒng)計：

基于這些情況，筆者是這樣思考的：

1.選擇把“同一平面內(nèi)”的認(rèn)識安排在辨析不同位置的平行線之后進(jìn)行更合時宜，能產(chǎn)生思維的碰撞，這也符合從一般到特殊的演繹方式。2.借助多媒體課件：出示長方體的不同面上兩條直線延長后不相交，這叫互相平行嗎？課本上不是說不相交的兩條直線我們把它叫作平行線嗎？現(xiàn)在這兩條直線不相交怎么就不是平行線了？學(xué)生思考、討論，初步得到“因為它們不在‘同一平面上”的結(jié)論。3.進(jìn)一步理解“同一平面內(nèi)”。

老師變一個小魔術(shù)：通過一折把相交的兩條直線變成了永不相交的兩條直線，這永不相交的兩條直線是平行線嗎？當(dāng)然不是平行線。再次加深對平行線的認(rèn)識，必須在同一平面內(nèi)。

空間觀念的形成，主要體現(xiàn)在“三動”：一是動腦，想象出所描述的實際物體和物體位置、方向的關(guān)系；二是動口，描述圖形的運動和變化；三是動手，根據(jù)語言描述擺出或畫出圖形。這“三動”體現(xiàn)了從想象到描述再到畫圖的遞進(jìn)過程。教學(xué)時一開始讓學(xué)生畫一畫，想一想，看一看，全面通透地感受永不相交的兩條直線叫平行線；接著在長方體中找平行線時發(fā)現(xiàn)不相交的兩條直線不一定是平行線；質(zhì)疑中最后通過小魔術(shù)深刻感受不相交也不一定是平行線，平行線必須是在“同一平面內(nèi)”，完善概念水到渠成。總之，認(rèn)真解讀“同一平面”“不相交”，需要教師設(shè)計各種表征活動讓概念表象操作化與活動化，實現(xiàn)多種表征之間的來回互譯溝通，促進(jìn)概念的深化理解。

三、概括聯(lián)系，搭建結(jié)構(gòu)——讓概念看得更深刻

1.構(gòu)建概念模型

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師一邊要讓難懂的抽象概念變得通俗易懂，一邊要把概念的學(xué)習(xí)與技能的提升有效融合在一起。從一般到特殊，把生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象提煉出抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論，從而構(gòu)建概念模型。

為什么在眾多的位置關(guān)系中只研究平行與垂直，不研究別的位置關(guān)系呢？最根本的原因是它的特殊性。任意兩條直線，要想呈現(xiàn)平行的關(guān)系，不容易，除非刻意為之，同樣，在眾多相交的情況下，出現(xiàn)垂直也是不易。在一般情況下，同一平面兩條直線都會有交點，而平行很特殊，沒有交點。相交都會形成四個角，但四個角都相等，少見，這就是垂直。因此，平行與垂直都是兩直線位置關(guān)系中的特例。那么數(shù)學(xué)為什么要研究這兩個特例？筆者認(rèn)為這也正是遵循了科學(xué)研究從特殊到一般的研究方法。為此，我們的教學(xué)活動要在這一大背景下設(shè)計學(xué)習(xí)。

比如，在平行線概念建構(gòu)中，讓學(xué)生在同一平面內(nèi)先畫兩條直線，再觀察分類，認(rèn)識到有的有交點，有的沒有交點，然后是對特殊的沒有交點的兩條直線看一看，想一想，找一找，辨一辨，議一議，說一說……讓難懂的抽象概念變得具體形象容易理解，從特殊到一般，把生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象提煉出抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論。

又如，在垂線概念的引入環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀察兩條直線相交之后形成了幾個角，在觀察中發(fā)現(xiàn)他們相交的角大小不一，最后出現(xiàn)四組相交的幾何圖，讓學(xué)生觀察，并問學(xué)生：“你能從中找出與眾不同的相交嗎？”通過觀察，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，有一種相交，他們相交后四個角都相等，每個角都是90°，這種特殊的相交，我們就把它稱為垂直，垂直的概念水到渠成。在這樣的活動中，使學(xué)生深切感受到，垂直并不神秘，它是一種特殊的相交，只是相交的每個角都相等而已。

2.構(gòu)建概念結(jié)構(gòu)

在經(jīng)歷概念深化理解的過程中，需要對學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行改組與擴充，促進(jìn)學(xué)生把新、舊概念整合成知識“鏈”和思維“鏈”，形成概念網(wǎng)。

在新知學(xué)習(xí)中筆者做過一個后測，題目是這樣的：在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有（? ? ）和（? ? ）兩種。其中（? ? ）是（? ? ）的一種特殊情況。

統(tǒng)計結(jié)果是：

這個結(jié)果嚇了筆者一跳，在后來的試教中筆者就作了一個微調(diào)：為了凸顯平行與垂直的本質(zhì)及關(guān)系，課的最后筆者設(shè)計了思維導(dǎo)圖：

明確：1.在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是相交和不相交（也叫平行），它們是并列關(guān)系；2.垂直是相交中一種特殊的位置關(guān)系，它和相交是包含關(guān)系。

教師對教學(xué)理解的深度直接影響學(xué)生對概念理解的深度。教師不僅要根據(jù)教材，更要根據(jù)學(xué)生情況開展探究活動，只有經(jīng)歷概念深化理解的過程，搭建知識結(jié)構(gòu)，才能讓概念看得更深刻！

概念的學(xué)習(xí)過程不能僅僅根據(jù)幾個例子的邏輯推理，或?qū)Ω拍畹淖置胬斫狻３橄蟮母拍钆c學(xué)生思維的具體形象水平相矛盾，建構(gòu)概念時，需要老師們?yōu)閷W(xué)生：尋得概念的發(fā)源地，提供豐富而有意義的素材，幫助學(xué)生建立概念表象；打造概念的探究所，為學(xué)生設(shè)計多元的表征操作活動，幫助學(xué)生建構(gòu)概念本質(zhì)；創(chuàng)設(shè)概念的應(yīng)用場，為學(xué)生搭建多樣的應(yīng)用活動，幫助學(xué)生理清概念的結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵。

參考文獻(xiàn)：

[1]俞正強.種子課——一個數(shù)學(xué)特級教師的思與行 [M].北京：北京教育科學(xué)出版社，2013

[2]葛素兒.指向思維可視化的數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].小學(xué)教學(xué)月刊，2020（Z1）：4

[3]李宇韜.促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)概念深層學(xué)習(xí)的“意義聯(lián)結(jié)”策略分析[J].中小學(xué)教材教學(xué)，2016（4）：46-49

[4]張奠宙，鞏子坤，任敏龍，張園，殷文娣.“平行與垂直”的教學(xué)內(nèi)涵與設(shè)想——基于教材編寫的幾點討論 [J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（3）：4-8