一類半線性分?jǐn)?shù)階發(fā)展包含初值問題解的存在性

楊慧慧,楊 和

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,蘭州 730070)

0 引 言

由于Banach空間中的半線性發(fā)展包含理論具有廣泛的實際應(yīng)用背景而受到人們的關(guān)注,許多工程問題可以用發(fā)展包含來描述。近年來,半線性發(fā)展包含初值問題解的存在性被許多學(xué)者所研究[1]。2007年,Fan等去掉了發(fā)展系統(tǒng)的緊性和等度連續(xù)性,通過定義新的非緊性測度證明了一階半線性發(fā)展包含

mild解的存在性結(jié)果[2]。

分?jǐn)?shù)階微分方程在物理學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)和工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛,進而引起眾多學(xué)者的關(guān)注[3-8]。分?jǐn)?shù)階發(fā)展包含和分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題解的存在性也成為熱點問題。2009年,Muslim利用解析半群理論研究了Banach空間E中半線性分?jǐn)?shù)階發(fā)展方程初值問題

受上述文獻的啟發(fā),本文研究具有非緊非等度連續(xù)半群的半線性分?jǐn)?shù)階發(fā)展包含初值問題

(1)

局部mild解、飽和mild解和整體mild解的存在性,其中-A生成Banach空間E中一致有界的C0半群{T(t)}t≥0,F是多值映射。

本文在-A生成的C0半群既非緊又非等度連續(xù)的情況下,利用新的非緊性測度方法得出解算子是緊算子,并且運用Schauder不動點定理證明半線性分?jǐn)?shù)階發(fā)展包含局部mild解、飽和mild解以及整體mild解的存在性。

1 預(yù)備知識

Pb(E)={H∈P(H)|H是有界的}

Pk(E)={H∈P(H)|H是緊的}

Pv(E)={H∈P(H)|H是凸的}

Pkv(E)={H∈P(H)|H是緊凸的}

定義1.1[1]設(shè)E為Banach空間,(A,≥)為部分有序集。如果映射Φ：Pb(E)→A滿足：對? Ω?Pb(E),有

一般地,非緊性測度Φ具有以下性質(zhì)：

(1) 單調(diào)性：對E中所有有界子集Ω1,Ω2,有

Ω1?Ω2?Φ(Ω1)≤Φ(Ω2)

(2) 非奇異性：對每個a∈E,Ω?Pb(E),有

Φ({a}∪Ω)=Φ(Ω)

(3) 正則性：Φ(Ω)=0?Ω在E中相對緊。

作為非緊性測度的典型例子,考慮Hausdorff非緊性測度：

χ(Ω)=inf{ε>0：Ω有一個有限ε-網(wǎng)}

設(shè)Ω?Pb(C(I,E)),定義

其中Δ(Ω)表示Ω的所有可數(shù)子集,D(t)={u(t)|u∈D}。由Hausdorff非緊性測度的定義易知,α有定義且是單調(diào)的、非奇異的非緊性測度。再定義

其中

則β有定義且是單調(diào)的、非奇異的。現(xiàn)在定義

H(Ω)=α(Ω)+β(Ω)

引理1.1H是C(I,E)上的單調(diào)的、非奇異的、正則的非緊性測度。

證明先證明單調(diào)性。對?Ω1,Ω2?Pb(C(I,E)),因為

α(Ω1)≤α( Ω2),β(Ω1)≤β( Ω2)

所以

H(Ω1)≤H( Ω2)

即H是單調(diào)的。

再證明非奇異性。對?f∈C(I,E),Ω?Pb(C(I,E)),由于

α({f}∪Ω)=α(Ω),β({f}∪Ω)=β(Ω)

且

H({f}∪Ω)=α({f}∪Ω)+β({f}∪Ω)

故

H({f}∪Ω)=α(Ω)+β(Ω)

即H是非奇異的。

最后證明正則性。充分性：若Ω?C(I,E)相對緊,則由Arzela-Ascoli定理可知α(Ω)=0,modc(Ω)=0,故β(Ω)=0。

必要性：設(shè)H(Ω)=0,則由非緊性測度的非負(fù)性可得α(Ω)=0,β(Ω)=0。下證Ω是等度連續(xù)的。

由于

其中D∈Δ(Ω),對上式關(guān)于n→∞取極限,可得

=β(Ω)

所以0<ε0≤0,得出矛盾。故Ω?C(I,E),等度連續(xù)。

定義1.2[1]設(shè),是兩個拓?fù)淇臻g。

定義1.3[9-10]函數(shù)u：[0,∞)→R的q階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分可定義為

其中Γ(·)是Gamma函數(shù)。

定義1.4[9-10]函數(shù)u：[0,+∞)→R的q階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可定義為

其中0≤n-1

注1如果u是一個抽象函數(shù),則定義1.3和1.4中出現(xiàn)的積分是在Bochner意義下的。

對?t0≥0,先考慮線性發(fā)展方程初值問題

(2)

引理1.2[4]設(shè)h∈L1([t0,b],E)。線性發(fā)展方程初值問題(2)有唯一mild解u∈C([t0,b],E),且u可表示為

其中

函數(shù)hq(s)具有如下性質(zhì)：

hq(s)≥0,s∈(0,∞)

且

引理1.3[9]算子Tq(t)(t≥0)和Sq(t)(t≥0)有下列性質(zhì)：

(1)對?t≥0,Tq(t)和Sq(t)是線性有界算子,即對u∈E,有

(2)Tq(t)(t≥0)和Sq(t)(t≥0)均是強連續(xù)的。

則對?t∈I,有

引理1.5[2]設(shè)E為實可分的Banach空間,K為C(I,E)中的緊子集,O：K→P(L1(I,E))是非空下半連續(xù)且可分解的閉值映射。則至少存在一個連續(xù)函數(shù)p：K→L1(I,E),使得對?u∈K,p(u)∈O(u)。

‖lm‖1≤‖l‖r‖m‖p

引理1.7(Gronwall不等式)[12]設(shè)c≥0,β>0,a(t)是區(qū)間0≤t

則

u(t)≤a(t)Eβ(cΓ(β)tβ),t∈[0,T)

其中

在本文中,引入以下假設(shè)條件：

(F1)-A是一致有界C0半群{T(t)}t≥0的無窮小生成元,即存在M≥1,使得‖T(t)‖≤M,t≥0。

(F2)F：I×E→P(E)是閉值可測多值映射,使得對?t∈I,F(t,·)是下半連續(xù)的。

(F3)對任意非空有界子集B?E,存在函數(shù)μB∈L2(I,R+),使得對x∈B,有

‖F(xiàn)(t,x)‖≤μB(t),t∈I

(F4)存在函數(shù)l∈L2(I,R+),使得對任意可數(shù)子集D?E以及幾乎所有的t∈I,有

χ(F(t,D))≤l(t)χ(D)

其中χ是Hausdorff非緊性測度。

由引理1.5和條件(F2)、(F3)可得,對任意的連續(xù)函數(shù)x∈C(I,E),F(·,x(·))有積分選擇f∈L1(I,E)。記

2 局部mild解

本節(jié)考慮具有非緊半群的半線性發(fā)展包含的初值問題

(3)

mild解的存在性,其中t0≥0,x0∈E,f(t)∈F(t,u(t))。

定義2.1[4]若函數(shù)u∈C(I′,E)滿足積分方程

則稱其為半線性發(fā)展包含初值問題(3)的mild解。

定理2.1設(shè)E為實可分的Banach空間,若條件(F1)～(F4)成立。則存在h1>0,使得初值問題(3)至少有一個mild解。

證明令

(4)

(5)

考慮閉集

W0={φ∈C(I′,E)：‖φ(t)‖≤b,t∈I′}

則W0是C(I′,E)的有界閉凸子集。定義積分多值算子Ψ(x)：W0→Pb(C(I′,E))如下

其中

(6)

由定義2.1可知,初值問題(3)的mild解等價于算子Ψ的不動點。下面用Schauder不動點定理證明Ψ至少有一個不動點。證明分以下三步：

第一步,證明Ψ(x)：W0→W0。

設(shè)x∈W0,對?φ∈Ψ(x),有

所以,由引理1.3(1)、式(4)和式(6)可得

≤b

故對任意的t∈I′,有φ∈W0,即Ψ(x)：W0→W0。

第二步,證明積分算子Ψ將W0中的非空凸緊集W映入W。

(7)

由式(7)和引理1.4可得

(8)

式(8)右端關(guān)于s∈I′取上確界,可得

再由式(5)可得

即

α(Ψ(W0))≤α(W0)k

定義

則W1是C(I′,E)的非空閉凸子集,且

Ψ(W1)?Ψ(W0)?W1

同理,可得

α(Ψ(W1))≤α(W1)k≤α(W0)k2

定義

則W2是C(I′,E)的非空閉凸子集,且

W2?W1?W0

α(Ψ(W2))≤α(W0)k3

α(Ψ(Wn))≤α(W0)kn+1

由于

α(Wn)≤α(W0)kn,0

因此

α(Wn)→0,n→+∞

由α的定義可得,對任意的可數(shù)子集Dn?Wn,一致地在t∈I′上有

χ(Dn(t))→0,n→+∞

(9)

(10)

(11)

≤εn

由式(10)和χ的定義,存在vi∈E,1≤i≤κ,使得

(12)

(13)

(14)

‖Tq(t1-t0)vi-Tq(t2-t0)vi‖≤εn,i=1,2,…,j

(15)

‖φ(t1)-φ(t2)‖≤‖Tq(t1-t0)x0-Tq(t1-t0)vi‖+‖Tq(t2-t0)x0-Tq(t2-t0)vi‖

即

因此,由H的定義可得

第三步,證明半線性初值問題(3)存在mild解。

定義O：W→P(L1(I′,E))如下：

因此S°p：W→W是單值映射且S°p(x)∈Ψ(x),x∈W。其中S為初值x0的mild解算子。由Schauder不動點定理,至少存在S°p的一個不動點,即

是系統(tǒng)(3)的mild解。

3 飽和mild解和整體mild解

定理3.1假設(shè)定理2.1的條件滿足,則初值問題(1)存在mild解u定義在最大存在區(qū)間[0,T0)(T0<∞)上,且u是無界的。

證明由定理2.1,得到局部mild解u*∈C(I′,E)。當(dāng)t0=0時,可得到初值問題(1)的局部mild解u1∈C([0,h1],E),即對?t∈[0,h1],

(16)

所以可以考慮以下問題：

可得到局部mild解u2∈C((h1,h2],E),即對?t∈(h1,h2],有

(17)

設(shè)

u(1)(t)=u1(t),?t∈[0,h1]

因此,結(jié)合上式以及式(16)和式(17)可得,對?t∈[0,h2],有

即u(2)是初值問題(1)在[0,h2]上的mild解。如此進行下去,可以得到對?t∈[0,hn],有

u(n)(t)=Tq(t-hn-1)Tq(hn-1-hn-2)…Tq(h1)u0

=Tq(t-hn-1)Tq(hn-1-hn-2)…Tq(h1)u0

其中fk(s)∈F(s,uk(s)),n∈。

反設(shè)u定義在[0,T0)上且有界,則u是每個區(qū)間[0,b](0

對任意的ε>0,存在δ1,使得當(dāng)t∈[T0-δ1,T0)時,有

(18)

且

(19)

‖Tq(tn-(T0-δ1))u(T0-δ1)-Tq(tm-(T0-δ1))u(T0-δ1)‖≤ε

(20)

故由式(18)～式(20)得

‖u(tn)-u(tm)‖≤‖Tq(tn-(T0-δ1))u(T0-δ1)-Tq(tm-(T0-δ1))u(T0-δ1)‖

定理3.2設(shè)E為實可分的Banach空間,假設(shè)條件(F1)、(F2)和(F4)成立,且滿足

(F′3)存在一個單調(diào)遞增函數(shù)a∈C(J,E),使得對每個u∈E,有

‖F(xiàn)(t,u)‖≤a(t)(1+‖u‖),t≥0

那么對每個u0∈E,初值問題(1)有整體mild解u∈C(J,E)。

證明由定理3.1可知初值問題(1)在最大存在區(qū)間[0,T0)(T0<∞)上有飽和mild解u,且u是無界的。若u有界,則初值問題(1)存在整體mild解。因此,只需證對任意的t∈[0,T0),u(t)有界。

對?t∈[0,T0),有

由(F′3)可得

‖u(t)‖≤C1Eβ(C2Γ(q)tq)

因此,對?t∈[0,T0),u(t)是有界的。

4 應(yīng) 用

例考慮下列分?jǐn)?shù)階微分包含

(21)

取E=L2[0,1],其范數(shù)為‖·‖2。設(shè)

定義E的算子A：

(P2)存在函數(shù)l∈L2([0,+∞),R+),使得對任意可數(shù)子集D?E以及幾乎所有的t≥0,有

(P3)存在一個單調(diào)遞增函數(shù)a∈C([0,+∞),E),使得對每個u∈E,有

則條件(F2)、(F4)和(F′3)分別成立。因此,由定理3.2可知,初值問題(21)存在整體mild解。