超空泡滑行力模型的幾點思考

陳瑋琪

（北京機電工程研究所，北京 100074）

0 引言

超空泡航行體因其高效的減阻特性而受到廣泛關注，國內外開展了大量超空泡航行體流體動力及運動計算方法研究。研究方法基本可分為2 類：1）基于勢流、細長體理論等，對超空泡航行體的典型水動力部件——頭部的空化器、彈身的翼或舵，以及航行體尾部在空泡面上滑行或拍擊時產生的水動力（統稱為滑行力）分別進行理論建模，其中空泡外形輪廓一般基于LOGVINOVICH[1]的空泡獨立膨脹原理或一些經驗公式進行計算。這類方法通常能抓住關鍵流體現象或本質，具有形式簡潔且能揭示關鍵機理的優點。2）基于CFD 計算技術，對超空泡航行體的流場（或耦合彈道）進行計算。這類方法通常能反映出流場中各種復雜流動現象，比如空泡的變形、空泡尾部的泡沫狀湍流、氣團脫落等。以上2 種方法都有各自的假設和近似，各有優缺點。理論建模需要對物理現象具有很強的洞察力才能抓住關鍵點，具有一定的“藝術性”，與研究者的個人特性強烈相關。CFD 方法更偏向“程式化”，容易被不同研究者接受和應用。各人可根據自己的研究目的及興趣選擇其中的方法，如果能將2 種方法結合起來應用，效果會更好。

本文只討論第1 種方法。在第1 種方法中，航行體尾部在空泡面上滑行或拍擊時產生的滑行力最為復雜。前蘇聯學者LOGVINOVICH、VASIN[2]和PARYSHEV[2-4]首先研究了這個滑行力建模問題，并在小攻角、小浸深、小間隙的條件下給出了經典的定常滑行力理論計算模型（后面統稱為PARYSHEV 模型），隨后很多研究超空泡航行體彈道、穩定性及控制方法類的文獻[5-11]，都引用了PARYSHEV 模型。但是，在引用中出現了2 種現象：1）雖然引用的模型在數學表達形式上基本相同，但是在細節上呈現出多種變體。其可能的原因是引用的文獻不同，其中的前提假設及推導過程不同，所以模型形式不同，但也不排除其中一些是在引用時抄錯了符號，而誤認為是一種新的模型形式。2）因為在PARYSHEV 模型的數學表達形式中只包含了航行體尾部最后一個截面的參數，所以很多研究者就誤以為，PARYSHEV 模型“僅計算了最后一個截面的受力，而沒有考慮全部浸濕面的受力”，甚至因此而評價PARYSHEV 模型“過于簡陋”。這個認識實際上是錯誤的。

可以想象，如果在對PARYSHEV 模型的“誤解”基礎上，開展彈道、穩定性、控制方法等研究，就有可能因“誤解”而得到某些“結論”，甚至還會把這些“結論”當作是“新發現”“創新點”等，這樣就有誤入歧途的風險。

本文認為，在評論PARYSHEV 模型之前，最好是先搞明白這個模型的來龍去脈再做結論，而不是根據模型的表面形式就憑感覺“望文生義”。更好的做法是，如果發現PARYSHEV 模型“過度簡化”，首先應該想到，PARYSHEV 作為前蘇聯著名的流體力學專家，不太可能不去考慮全部浸濕面上受力——這只是個基本常識，反而要問自己，是否真的搞清楚了這個模型。等全面考察完了，再考慮自己如何創新，這樣的創新就有更為堅實可靠的基礎。

雖然PARYSHEV 模型不乏有待完善或改進之處，但本文的目的只是為了澄清對PARYSHEV 模型的理解，因此本文以定常滑行力為例，梳理了PARYSHEV 等學者的推導思路，以一種容易理解的簡潔方式推導了定常滑行力的解析表達式，并簡略地分析了對飛濺的修正，以此來闡明PARYSHEV模型中的一些關鍵要點，并分析其物理意義。

1 空泡內滑行狀態的運動學描述

1.1 運動狀態及坐標系

為了突出本文的重點，這里僅考慮最簡單的平面定常運動情形。設航行體尾部是一個等直徑的圓柱體，圓柱體在空泡內部的自由面上定常滑行，且圓柱體的浸濕面都位于空泡收縮部分，參見圖1。

圖1 航行體尾部浸入空泡面（紅線）滑行圖Fig.1 Gliding diagram of vehicle tail immersed in cavitation surface（red line）

如果不加特別說明，這里假設超空泡航行體及空泡流場滿足細長體理論的要求，簡單來說，即假設航行體及流場的擾動運動大小相對航行體長度而言都是一階小量。

建立2 個坐標系，一個是絕對坐標系（O-XYZ），另一個是隨體坐標系（O-xyz），坐標原點在質心，質心的絕對速度為（U,0,0），U 是常數，分解到隨體坐標系上則表示為（Vx,Vy,O）。圖1中紅色線表示名義空泡面（空化器無后體的空泡面），航行體尾部的浸濕面位于區間（x0～1x）。其中：x0為尾部截面的位置坐標；x1為開始浸水截面的位置坐標；x2為空化器的位置坐標；α為攻角。

在隨體坐標系中，設定常空泡面下半部分的母線函數為y=-c（x），圓柱體半徑為r，如圖2所示。

圖2 浸入深度示意圖Fig.2 Schematic diagram of immersion depth

則浸濕面的浸濕深度為

h=h（x）=r-c（x）

x?（x2,x0）

式中，h為浸濕面，只取正數。顯然有：h（x1）=0；h（x0）=h0。

1.2 貫通層內的浸沒運動

為了準確地利用細長體理論計算回轉體上浸濕截面的水動力，必須要明確，我們是站在絕對坐標系下觀察初始靜止流場中的一個垂直于X軸的固定位置橫截面上的流場，這個固定位置橫截面也稱為貫通層。顧名思義，當運動的超空泡航行體穿越這個貫通層時，貫通層上的流場運動將對航行體的浸濕截面產生水動力。在理論上，我們需要計算穿越瞬間貫通層對航行體截面作用的水動力大小。在貫通層上，二元流場示意圖如圖3所示。

圖3 貫通層上的二元空泡及航行體截面Fig.3 2D cavitation and vehicle cross section on the through layer

在貫通層的二元流場中存在2 個二元物體：1）圓柱體的圓形截面，半徑為r；2）空泡截面，假設也近似為圓形，半徑為R（x），x為貫通層在隨體坐標系中的位置。由此可定義航行體截面與空泡截面之間的間隙為ε=R-r。

當航行體穿越某個固定位置的貫通層時，從貫通層中來觀察，圓柱體截面的半徑不變，但是存在垂直向下的運動，向下速度分量為Vycosα。

空泡截面則存在2 種運動：1）類似的垂直向下運動；2）空泡截面的收縮運動。這是因為前面假設圓柱體的浸濕面都位于空泡的收縮部分。為了簡化分析，這里假設空泡截面的向下運動速度相對很小，可忽略（即假設空泡中軸線幾乎與X軸平行），因此空泡截面只剩下收縮運動，且收縮速度記為VR=。

這里忽略空泡截面的向下運動，則二維流場中只有2 種運動：1）航行體截面垂直向下的浸沒運動；2）空泡截面的收縮運動。

為了計算方便，現在要把固定位置的貫通層上的流場運動轉換到隨體坐標系上來觀察。隨體坐標系是一個運動坐標系，在運動坐標系下觀察貫通層，設貫通層位置的相對運動速度為（-Vx,-Vy,0），Vx和Vy可以是變量，則對貫通層位置上某一物理標量的時間求導轉換到運動坐標系上，就需要用到物質導數的形式（可參考流體力學教材）：

式中，偏導數?表示在隨體坐標系下的求導。

2 貫通層內的動力學描述

細長體理論的關鍵點就是切片法，注意，這里切的是流場，而不是航行體。流場中的切片即是上文中提到的貫通層。在貫通層上是二元流場，因此，這里的動力學建模只需考慮貫通層二元流場對航行體截面的作用力進行建模。

在貫通層的二元流場中，圓柱體截面與空泡截面的相互關系如圖4所示。

圖4 二元流場中的空泡運動[2]Fig.4 Cavitation motion in 2D flow field[2]

式中：m*y為圓柱體截面向下浸入流場所誘導的附加質量；m*R為空泡截面收縮運動所誘導的附加質量；ρ為水密度。

隨后VASIN 和PARYSHEV 再將處理平面入水問題的Wagner 方法推廣到弧形自由面上，通過考慮浸入過程中弧形自由面的抬高，在小浸深和小間隙條件下有

將式（5）代入附加質量表達式（4），通過一系列繁瑣的數學運算，可得

將式（6）代入式（3），再根據動量定理，并通過一系列繁瑣的數學變換，即可求出小浸深、小間隙圓柱體截面所受到的水動壓力

這里特別要指出，壓力P中已經包含了空泡內部壓力對圓柱體截面的影響，讀者可以自己思考其理由。

以上得到的表達式都與文獻[3]中給出的表達式完全相同。

3 定常滑行力模型

對尾部浸入空泡內的浸濕面區域（從x0～x1）進行積分，即可計算出全部浸濕面上的合力，即滑行力

如果直接將表示壓力P的式（7）代入積分式（8）中，則計算極其繁瑣，因此換一種簡潔方法：

受水區現狀開采井總數為190.53萬眼，現狀年地下水開采量為271.90億m3，其中，淺層地下水開采量為225.42億m3，深層承壓水開采量為46.48億m3。按用水行業統計，城鎮生活用水 18.23億 m3，占 6.7%；農村生活用水 23.85億 m3，占 8.8%；工業用水 44.14億 m3，占 16.2%；農業用水185.68 億 m3，占 68.3%。

注意到積分中的上下限，在浸濕面起始位置x1，浸濕深度為h（x1）=0，因此有m*y（x1）=m*R（x1）=0，于是滑行力可簡化為

即滑行力的數學表達式中僅出現了尾部截面x0的運動參數。但是從推導過程的式（8）中可以看出，這個表達式是浸濕面壓力的積分結果，實際上包含了全部浸濕面的受力。

定常滑行力表達式的物理含義如下：從定常滑行力的表達式來看，定常滑行力（所有浸濕面上的合力）的數值大小僅與尾部截面狀態有關，但是從浸濕截面壓力表達式來看，不同浸濕截面上的壓力不同，從而影響浸濕面上的壓力分布，進而影響滑行力力矩。

將尾部截面的附加質量表達式（6）代入式（11），即可得

這就是PARYSHEV 模型的基礎表達式[2-3]，下標0 表示此量是尾部截面的量。

這個基礎表達式的計算結果肯定比實驗結果偏大，因為它忽略了很多其它流動現象，比如滑行時產生的水面變形、飛濺、流動分離、三維效應等，但是在基礎表達式的基礎上，可以對上述流動現象進行修正。

比如對飛濺的修正，出于篇幅原因，這里不討論飛濺的修正方法，而直接給出本文作者推導的考慮飛濺影響的滑行力模型：

在式（13）中，如果忽略空泡收縮速度的影響，VR0≈ 0，并考慮到小攻角條件下sinα≈α，cosα≈ 1，因而有Vy0≈Ua，Vx≈ U，則滑行力式（13）可簡化為

式（14）與文獻[5]、[7]、[8]中給出的PARYSHEV模型表達式完全一樣。

對比PARYSHEV 模型的基礎表達式（12），可以看出，式（14）只多了一個乘積因子這個因子實際上反映了滑行時的飛濺對滑行力的影響。很顯然，這個因子小于1，表示飛濺的水花帶走了一部分流體動量，因此減小了滑行力的大小。

注意，文獻[9]，[11]中給出的滑行力為

·對比式（14），式（15）前面多了一個1/2，從本文推導過程來看，這個1/2 是沒有的，請讀者自己思考。

還有些文獻，例如文獻[10]給出的滑行力為

對比式（14），可以看出式（16）等式右邊第1 個括號的平方項不同，這在本文的推導過程中也沒有發現，原因也請讀者自己尋找。

4 結束語

本文整理了PARYSHEV 等人對超空泡滑行力的理論建模工作，梳理了他們對滑行力的建模思路，指出了其中的關鍵點，給出了一個容易理解的簡潔推導，獲得了超空泡定常滑行力的解析表達式即 PARYSHEV 的滑行力模型。然后，分析了PARYSHEV 滑行力模型的物理意義，澄清了對PARYSHEV 滑行力模型的一些誤解，也解釋了文獻中看似眾多不同滑行力模型之間的相互關系。

本文也簡略提到了滑行力中對飛濺水花的修正，并直接給出了作者考慮飛濺影響的滑行力模型。基于類似的思路，后續也可以對三維效應、流動分離等其它流動現象進行修正。實際上，也可以對航行體的俯仰擺動、尾部拍動、空泡偏移等非定常影響進行修正。只要不怕數學上的繁瑣，上述修正都不難做到。當然，理論上的各種修正最后都要經過實驗檢驗。

PARYSHEV 滑行力模型是非常出色的力學建模工作，它將研究水平面入水問題的經典Wagner方法，拓展到研究弧形自由面上的入水和滑行問題，對理解超空泡滑行力形成機理和其中的關鍵因素具有重要啟發作用。