基于改進(jìn)近似模型的水下魚雷打靶快速預(yù)報(bào)方法

祝明思，張 霄，王紅雨，張 燁

（1.武漢理工大學(xué) 船海與能源動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430000；2.海裝駐北京地區(qū)第四軍事代表室，北京 100094；3.中國船舶集團(tuán)有限公司系統(tǒng)工程院，北京 100094）

0 引言

水下靶標(biāo)能夠?yàn)轸~雷試驗(yàn)提供模擬目標(biāo)，是模擬戰(zhàn)場環(huán)境的重要手段，在部隊(duì)開展試驗(yàn)、訓(xùn)練、演練的過程中起著不可替代的作用[1]。在魚雷實(shí)航打靶試驗(yàn)中快速預(yù)報(bào)魚雷攻擊靶標(biāo)的位置，對(duì)于試驗(yàn)的準(zhǔn)確測量、數(shù)據(jù)結(jié)果分析、提高魚雷命中效果以達(dá)到最大毀傷有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

魚雷運(yùn)動(dòng)軌跡預(yù)報(bào)是快速預(yù)報(bào)魚雷打靶落點(diǎn)的基礎(chǔ)。魚雷水下運(yùn)動(dòng)軌跡可以通過水下彈道設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)報(bào)，其中準(zhǔn)確預(yù)估水動(dòng)力參數(shù)是關(guān)鍵。通常，水動(dòng)力參數(shù)可以通過理論計(jì)算或模型實(shí)驗(yàn)間接獲得，但理論計(jì)算精度不高，模型實(shí)驗(yàn)成本高。隨著現(xiàn)代CFD 技術(shù)的發(fā)展，基于CFD 方法可以獲取水動(dòng)力參數(shù)，該方法軌跡預(yù)報(bào)精度較高，但仍需要一定的計(jì)算資源及時(shí)間，不利于多工況下魚雷打靶預(yù)報(bào)。本文基于近似模型[2-3]技術(shù)對(duì)魚雷水下打靶落點(diǎn)進(jìn)行快速預(yù)報(bào)，并對(duì)傳統(tǒng)的BP 近似模型技術(shù)進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)快速有效魚雷水下打靶預(yù)報(bào)，為數(shù)值模擬魚雷水下彈道和打靶試驗(yàn)提供技術(shù)途徑。

近似模型是指在保證一定精度前提下構(gòu)建一個(gè)計(jì)算量小、計(jì)算周期短但計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析或物理實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近的數(shù)學(xué)模型。其中，基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似模型技術(shù)的應(yīng)用已相當(dāng)廣泛[4]，但傳統(tǒng)的BP網(wǎng)絡(luò)采用梯度下降法進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)權(quán)值及閾值的調(diào)整，不可避免的會(huì)存在算法學(xué)習(xí)速度慢、容易收斂于局部最優(yōu)點(diǎn)等缺陷[5]。針對(duì)這些缺陷，可通過改進(jìn)BP 網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法和學(xué)習(xí)速率，以及采用其它優(yōu)化算法（如粒子群算法（PSO）[6]、遺傳算法（GA）[7]）優(yōu)化BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、閾值、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等。

本文首先基于運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程求解魚雷運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而獲取魚雷水下打靶性能；然后將遺傳算法（GA）與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，采用遺傳算法優(yōu)化的BP 網(wǎng)絡(luò)模型（GA-BP）和基于自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化的BP 網(wǎng)絡(luò)模型（AGA-BP），以增強(qiáng)模型收斂速度；最后基于3 種模型對(duì)魚雷打靶落點(diǎn)進(jìn)行預(yù)報(bào)，對(duì)比分析預(yù)報(bào)結(jié)果。

1 魚雷水下打靶預(yù)報(bào)

1.1 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

本文基于魚雷水下運(yùn)動(dòng)軌跡給出魚雷打靶落點(diǎn)，需確定坐標(biāo)系。本文所涉及的坐標(biāo)系主要包括地面坐標(biāo)系、彈體坐標(biāo)系、速度坐標(biāo)系。

地面坐標(biāo)系ox0y0z0用來描述魚雷在空間中的位置，它的各軸與大地固連（相對(duì)于地面靜止不動(dòng)），坐標(biāo)原點(diǎn)o選在發(fā)射管管口的中心在水平面上的投影點(diǎn)，ox0軸位于水平面內(nèi)；oy0軸鉛直向上；oz0軸與oy0、ox0構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

魚雷（后將魚雷稱為彈體）坐標(biāo)系oxyz也是固連坐標(biāo)系，它以彈體的浮心作為坐標(biāo)原點(diǎn)o，ox軸沿彈體縱軸指向前方；oy軸在彈體縱對(duì)稱面內(nèi)且垂直于ox軸指向上方；oz軸與ox、oy構(gòu)成右手系。

速度坐標(biāo)系ox1y1z1的原點(diǎn)o為彈體的浮心，ox1軸與原點(diǎn)處彈體的速度矢量重合；oy1軸位于魚雷的縱對(duì)稱面內(nèi)，與ox1軸垂直并指向上方；oz1軸垂直于x1oy1平面，指向按右手坐標(biāo)系確定，如圖1所示。

圖1 地面、彈體與速度坐標(biāo)系Fig.1 Ground，torpedo，and velocity coordinate systems

1.2 魚雷運(yùn)動(dòng)軌跡求解

1）動(dòng)力學(xué)方程。

作用在魚雷上的力和力矩主要有重力、浮力、流體動(dòng)力、流體阻力、流體動(dòng)力矩、流體阻力矩等。根據(jù)動(dòng)量定理以及動(dòng)量矩定理，建立魚雷水中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程組如下：

其中：

式中：m為魚雷質(zhì)量；xt，yt，zt為魚雷的浮心到質(zhì)心的矢徑在彈體坐標(biāo)系下的分量；vx，vy，vz為魚雷浮心處的速度矢量在彈體坐標(biāo)系下的分量；ωx，ωy，ωz為魚雷浮心處的角速度矢量在彈體坐標(biāo)系下的分量；J為魚雷的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，根據(jù)魚雷的對(duì)稱特征，可表示為魚雷相對(duì)于彈體坐標(biāo)系的3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx，Jy，Jz；λjk為附加質(zhì)量，j依次為1、2、3、4、5、6，k依次為1、2、3、4、5、6。

2）運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

魚雷水下運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

式中：θ為俯仰角；ψ為偏航角；φ為橫滾角。魚雷浮心在地面坐標(biāo)系中的位置設(shè)為（x，y，z），于是魚雷的浮心速度在地面坐標(biāo)系的分量為于是就可以得到魚雷的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：

式中：

該式是魚雷彈體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

3）運(yùn)動(dòng)方程組求解。

結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和動(dòng)力學(xué)方程，采用數(shù)值差分的方法可以得到所要求精度的解。龍格–庫塔（Runge-Kuta）方法是一種具有很高精度的單步算法，可以通過調(diào)節(jié)步長來減少誤差，計(jì)算穩(wěn)定，并且具有計(jì)算過程簡單無須求解高階導(dǎo)數(shù)等特點(diǎn)。本文采用工程中最常見的四階Runge-kuta 方法。

對(duì)于一般微分方程組：

采用四階Runge-Kuta 方法求解：

1.3 魚雷打靶性能計(jì)算

魚雷打靶試驗(yàn)中，根據(jù)魚雷水下預(yù)報(bào)軌跡計(jì)算落在標(biāo)靶范圍內(nèi)的落點(diǎn)（軌跡與標(biāo)靶平面的交點(diǎn)），根據(jù)實(shí)際打靶需要，確定標(biāo)靶范圍，判斷落點(diǎn)是否落在標(biāo)靶內(nèi)，通過多次試驗(yàn)確定魚雷打靶性能。

決定魚雷水下空間運(yùn)動(dòng)軌跡的因素有很多，而魚雷軌跡預(yù)報(bào)精度直接影響魚雷打靶性能。文獻(xiàn)[8]指出，魚雷的初始運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)對(duì)魚雷水下運(yùn)動(dòng)影響最大。因此本文在計(jì)算魚雷落點(diǎn)時(shí)，對(duì)魚雷初始發(fā)射條件（如初始速度）中加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，計(jì)算魚雷水下運(yùn)動(dòng)軌跡，從而獲取魚雷的打靶落點(diǎn)，基于多次試驗(yàn)結(jié)果使用蒙特卡洛法統(tǒng)計(jì)分析打靶效果。

圖2為某一初始條件下的水下魚雷運(yùn)動(dòng)軌跡圖。將初始條件加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行蒙特卡洛打靶，得到n個(gè)打靶落點(diǎn)[xi，zi]，計(jì)算落在標(biāo)靶范圍內(nèi)的點(diǎn)，對(duì)蒙特卡洛打靶結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，魚雷落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望值和方差計(jì)算公式為

圖2 水下魚雷打靶落點(diǎn)圖Fig.2 Underwater torpedo trajectory

根據(jù)魚雷落點(diǎn)散布的方差σx和σz，進(jìn)一步可以獲得魚雷打靶的圓概率誤差（CEP）[9]：

2 基于遺傳算法的近似模型

采用CFD 仿真獲取水動(dòng)力參數(shù)，需要建立仿真模型、劃分系統(tǒng)空間網(wǎng)格、錄入樣本、迭代計(jì)算、獲得仿真結(jié)果等過程，計(jì)算量大。而蒙特卡羅法打靶需要大量的落點(diǎn)，每個(gè)落點(diǎn)采用CFD 計(jì)算將耗費(fèi)大量的計(jì)算資源。本文提出近似模型技術(shù)對(duì)魚雷打靶性能進(jìn)行快速預(yù)報(bào)，以兼顧預(yù)報(bào)計(jì)算精度和效率。

采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型是常用的近似模型，但易于陷入局部最優(yōu)解，遺傳算法強(qiáng)大的全局尋優(yōu)能力對(duì)BP 算法是很好的補(bǔ)充。遺傳算法是模擬自然界生物遺傳和進(jìn)化原理而構(gòu)想出來的一種隨機(jī)尋優(yōu)搜索方法。自適應(yīng)遺傳算法對(duì)遺傳算法的交叉和變異概率做了改進(jìn)，其優(yōu)化BP 的過程與單純的遺傳算法優(yōu)化BP 網(wǎng)絡(luò)相同。具體的流程圖如圖3所示。

圖3 遺傳算法優(yōu)化BP 流程圖Fig.3 Flow chart of BP optimization by genetic algorithm

針對(duì)遺傳算法存在的不足，本文采用了交叉概率、變異概率自適應(yīng)的算法。

1）交叉操作。

交叉是遺傳算法的核心操作之一，對(duì)種群進(jìn)化起到了至關(guān)重要的推動(dòng)作用。交叉是種群中2 個(gè)個(gè)體部分基因交換從而形成新個(gè)體的方法。其計(jì)算公式如下：

式中：X，Y為種群中2 個(gè)個(gè)體；i表示進(jìn)化的代數(shù)；r表示交叉參數(shù)。

交叉操作是基于一定的概率條件下發(fā)生的，這個(gè)概率稱為交叉概率，它反映的是種群中2 個(gè)個(gè)體發(fā)生交叉的可能性。Srinivas[10]針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法的缺陷提出了自適應(yīng)遺傳算法，具體做法是使交叉和變異概率自適應(yīng)調(diào)整：

式中：fave、fmax分別為種群適應(yīng)度平均值、最大適應(yīng)度值；f′表示2 個(gè)個(gè)體中適應(yīng)度較大的值；k1，k2以及下文的k3，k4均為[0，1]內(nèi)的常數(shù)。

2）變異操作。

遺傳算法中變異是交叉操作的補(bǔ)充，變異操作在于對(duì)種群個(gè)體基因進(jìn)行微調(diào)，有利于種群進(jìn)化后期個(gè)體收斂到最優(yōu)解。其計(jì)算式如下：

xi為第i代種群個(gè)體某個(gè)基因編碼值。

同樣，自適應(yīng)變異算子如下：

式中：f為進(jìn)行變異的個(gè)體適應(yīng)度值。

3 仿真結(jié)果

3.1 魚雷打靶落點(diǎn)計(jì)算

魚雷初始運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)包括vx，vy，vz，θ，ψ，φ，ωx，ωy，ωz，本文假設(shè)初始發(fā)射條件vx，vy，vz是服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特征量。預(yù)測模型的輸入為上述9個(gè)初始運(yùn)動(dòng)參數(shù)，輸出為魚雷質(zhì)心對(duì)應(yīng)x，y的值。

以一定的初始條件從原點(diǎn)發(fā)射魚雷，取y=40 m平面為魚雷靶平面，將打靶次數(shù)設(shè)為100，加載隨機(jī)干擾進(jìn)行蒙特卡洛打靶，得到魚雷在Ozx靶平面內(nèi)落點(diǎn)的分布情況如圖4所示。圖中，“*”為受擾魚雷落點(diǎn)在靶平面的散布，“☆”為散布點(diǎn)的均值，即期望彈著點(diǎn)。

圖4 魚雷打靶落點(diǎn)圖Fig.4 Underwater torpedo trajectory

對(duì)蒙特卡洛打靶結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，魚雷落點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望值和方差如表1所示。

表1 魚雷落點(diǎn)參數(shù)統(tǒng)計(jì)值Table 1 Parameter statistics of torpedo impact points

從計(jì)算機(jī)蒙特卡洛打靶仿真可得，采用蒙特卡洛法對(duì)魚雷進(jìn)行100 次模擬打靶，能快速仿真得到魚雷的命中精度；魚雷的落點(diǎn)在Ozx靶平面內(nèi)分布密集程度高，其散布服從正態(tài)分布規(guī)律，且平均落點(diǎn)位于靶平面的中心位置；由表1中魚雷落點(diǎn)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量可知，魚雷的期望落點(diǎn)與理想落點(diǎn)（–0.682 2，199.344 0）十分接近，且落點(diǎn)在兩軸向的方差都較小，說明魚雷在受到一定干擾因素作用時(shí)，仍能達(dá)到較高的命中精度；由式（9）計(jì)算得到魚雷CEP=0.96 m，魚雷的命中精度較高。

3.2 基于近似模型的魚雷打靶預(yù)報(bào)

基于魚雷運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)學(xué)模型，分別搭建基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法優(yōu)化的BP 網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魚雷打靶落點(diǎn)預(yù)測模型，并通過仿真和測試數(shù)據(jù)對(duì)3 種模型進(jìn)行對(duì)比分析，初始發(fā)射條件是服從一定統(tǒng)計(jì)特征的隨機(jī)變量。本文假設(shè)初始發(fā)射條件是服從正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)特征量，之后基于魚雷軌跡方程求得魚雷落點(diǎn)坐標(biāo)由此構(gòu)成原始數(shù)據(jù)，從原始數(shù)據(jù)當(dāng)中隨機(jī)挑選部分?jǐn)?shù)據(jù)作為BP 網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本點(diǎn)，最后利用原始數(shù)據(jù)中剩余數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證樣本點(diǎn)驗(yàn)證所建魚雷打靶落點(diǎn)預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，仿真結(jié)果如圖5、圖6所示。

圖5 基于BP、GA-BP、AGA-BP 模型預(yù)測誤差百分比Fig.5 Percentage of prediction error based on BP，GA-BP，and AGA-BP models

圖6 改進(jìn)前后算法適應(yīng)度Fig.6 Adaptation of the algorithm before and after improvement

從圖5可以看出，對(duì)于相同的訓(xùn)練樣本，基于AGA-BP 模型和基于GA-BP 模型對(duì)于魚雷落點(diǎn)的預(yù)測效果明顯更佳。對(duì)于魚雷落點(diǎn)坐標(biāo)x，3 種預(yù)測模型的預(yù)測效果差別不大，BP 模型的預(yù)測誤差大致在0.1 左右，而其它2 種預(yù)測模型大部分落點(diǎn)坐標(biāo)x誤差均在0.05 的范圍以內(nèi)，從預(yù)測誤差及誤差百分比來看，AGA-BP 和GA-BP 模型相對(duì)于BP 模型預(yù)測稍稍占優(yōu)。對(duì)于落點(diǎn)坐標(biāo)y，近似模型的預(yù)測精度起伏略大，但誤差仍在1%以內(nèi)，基本滿足工程需要。

圖6顯示AGA-BP 模型在第21 代時(shí)已經(jīng)收斂，反映出了相對(duì)于GA-BP 模型，AGA-BP 模型有更快的收斂速度。為了進(jìn)一步說明AGA-BP 模型和GA-BP模型相對(duì)于單純的BP 模型的預(yù)測效果更佳。本文針對(duì)相同的訓(xùn)練樣本對(duì)3 種模型均做10 次訓(xùn)練，取10次訓(xùn)練后3 種模型驗(yàn)證樣本點(diǎn)的均方誤差（Mean Square Error，MSE）的平均值作為對(duì)比。

從圖7可以看出，針對(duì)相同的訓(xùn)練樣本點(diǎn)，3 種預(yù)測模型的驗(yàn)證樣本點(diǎn)均方誤差（MSE）存在差異，以x坐標(biāo)為例，BP 預(yù)測模型的平均預(yù)測精度不如AGA-BP和GA-BP 模型，說明遺傳算法優(yōu)化后的BP 網(wǎng)絡(luò)模型在一定程度上提升了魚雷落點(diǎn)的預(yù)測精度。傳統(tǒng)BP 算法是基于梯度下降法的一種算法，很容易收斂到局部最優(yōu)解，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練以及預(yù)測效果在一定程度上依賴于網(wǎng)絡(luò)初始權(quán)值和閾值的賦值，從圖6中BP 預(yù)測模型的MSE也可以看出，BP 預(yù)測模型預(yù)測誤差不穩(wěn)定，預(yù)測精度波動(dòng)比較大，有時(shí)候訓(xùn)練不能收斂到預(yù)設(shè)訓(xùn)練精度。而經(jīng)過遺傳算法優(yōu)化后的GA-BP 預(yù)測模型及AGA-BP 預(yù)測模型明顯具有更好的穩(wěn)定性，預(yù)測誤差均能達(dá)到較為滿意的結(jié)果，與此同時(shí)，AGA-BP 模型收斂速度相對(duì)于GA-BP 預(yù)測模型更快。

圖7 輸出坐標(biāo)均方誤差Fig.7 Mean square error of output coordinates

4 結(jié)束語

本文建立了魚雷水下運(yùn)動(dòng)軌跡數(shù)學(xué)求解模型，之后提出了基于AGA-BP、GA-BP 以及BP 魚雷打靶落點(diǎn)預(yù)測模型，產(chǎn)生合適數(shù)量的預(yù)測模型訓(xùn)練樣本點(diǎn)，對(duì)3 種魚雷落點(diǎn)預(yù)測模型進(jìn)行了訓(xùn)練以及驗(yàn)證，最終通過數(shù)據(jù)對(duì)比分析得出了AGA-BP 預(yù)測模型相對(duì)于BP 預(yù)測模型更穩(wěn)定、GA-BP 預(yù)測模型收斂速度更快的結(jié)論。

本文采用近似模型技術(shù)對(duì)魚雷水下打靶落點(diǎn)進(jìn)行了快速預(yù)測，相比較于直接CFD 數(shù)值仿真，節(jié)約了時(shí)間成本；針對(duì)BP 易陷于局部最優(yōu)化的缺陷，基于自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提高了預(yù)報(bào)的穩(wěn)定性和快速性。