空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎固定時(shí)間收斂滑模控制

李政，于劍橋，趙新運(yùn)

北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081

為適應(yīng)現(xiàn)代空戰(zhàn)，空空導(dǎo)彈的全向攻擊能力逐漸成為一項(xiàng)重要戰(zhàn)技指標(biāo)。全向攻擊能力的核心是對載機(jī)對后半球區(qū)域具備打擊能力，這要求空空導(dǎo)彈能夠?qū)崿F(xiàn)快速的大角度敏捷轉(zhuǎn)彎。在導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程中，導(dǎo)彈將以超大攻角機(jī)動(dòng)，此時(shí)導(dǎo)彈進(jìn)入嚴(yán)重的失速階段，僅僅依靠氣動(dòng)舵面提供的氣動(dòng)力不足以產(chǎn)生足夠的控制力矩來控制導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)敏捷轉(zhuǎn)彎。因此，需要引入直接力控制裝置或推力矢量裝置以補(bǔ)足大攻角下導(dǎo)彈的控制力，采用這種復(fù)合控制方式能夠取得較好的控制效果。此外，在大攻角狀態(tài)下，導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)具有強(qiáng)非線性、快時(shí)變性和強(qiáng)不確定性的特點(diǎn)，系統(tǒng)之間存在嚴(yán)重耦合，因此，工程中常采用一類魯棒性的非線性控制方法來控制此類系統(tǒng)。

滑模變結(jié)構(gòu)控制因其強(qiáng)魯棒性，而被廣泛應(yīng)用于空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎控制，除此之外，反步法［1］、極點(diǎn)配置法［2］等也被學(xué)者用來設(shè)計(jì)敏捷導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)。在導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎研究方面，傳統(tǒng)滑模控制方法通過構(gòu)造線性滑模面，使系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后逐漸收斂至平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)［3］利用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)了導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀，采用直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制方式，仿真實(shí)現(xiàn)了空空導(dǎo)彈縱向平面內(nèi)180°機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)彎。文獻(xiàn)［4］利用時(shí)間尺度分離方法將導(dǎo)彈姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)系統(tǒng)分為快系統(tǒng)和慢系統(tǒng)，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制方法設(shè)計(jì)了空空導(dǎo)彈姿態(tài)動(dòng)力學(xué)子系統(tǒng)的滑模控制律，仿真實(shí)現(xiàn)了空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎。該方法雖然保證了系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，但是卻存在收斂時(shí)間卻趨于無窮的問題。針對此問題，學(xué)者們基于有限時(shí)間理論提出了終端滑模控制方法，使系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)快速收斂。但是，終端滑模控制方法的控制量含有的負(fù)冪次項(xiàng)使得該方法在應(yīng)用過程中存在奇異問題，限制了該方法的應(yīng)用［5］。為此，一部分學(xué)者嘗試構(gòu)造了非奇異終端滑模面（Nonsingular Terminal Sliding Mode， NTSM）。文獻(xiàn)［6］基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)合反步控制思想設(shè)計(jì)了一種滑模控制器，仿真實(shí)現(xiàn)了敏捷導(dǎo)彈對后半球目標(biāo)的攔截。針對導(dǎo)彈大攻角機(jī)動(dòng)下的氣動(dòng)不確定性，文獻(xiàn)［7］設(shè)計(jì)了一種滑模控制器，仿真驗(yàn)證了該控制器對導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程中系統(tǒng)不確定性具有魯棒性。雖然上述方法能夠使導(dǎo)彈控制系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，但是此收斂時(shí)間通常和導(dǎo)彈初始狀態(tài)有關(guān)且收斂速度較慢。一方面，在實(shí)際敏捷轉(zhuǎn)彎過程中，由于系統(tǒng)不確定性和內(nèi)外干擾等因素對系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響，基于有限時(shí)間方法設(shè)計(jì)的控制器無法保證系統(tǒng)于一個(gè)固定時(shí)間快速收斂；另一方面，導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)中往往涉及到控制系統(tǒng)指標(biāo)的設(shè)計(jì)與協(xié)調(diào)，尤其對于敏捷導(dǎo)彈，這要求控制器能夠保證系統(tǒng)在不同場景狀態(tài)下均具有較小的固定收斂時(shí)間指標(biāo)。因此，此類有限時(shí)間收斂方法在空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎上的應(yīng)用受到了限制。

針對終端滑模控制存在的收斂速度慢的問題，文獻(xiàn)［8］提出了一種快速收斂終端滑模面（Fast Terminal Sliding Mode， FTSM），系統(tǒng)狀態(tài)在進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后將快速收斂至平衡點(diǎn)。文獻(xiàn)［9］基于有限時(shí)間收斂理論，提出了固定時(shí)間收斂概念，并給出了分析系統(tǒng)固定時(shí)間收斂特性的Lyapunov 方法。相比于有限時(shí)間收斂系統(tǒng)，固定時(shí)間系統(tǒng)收斂時(shí)間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)而僅取決于控制系統(tǒng)預(yù)先設(shè)計(jì)的參數(shù)。文獻(xiàn)［10］針對一類具有非線性不確定性和擾動(dòng)的多輸入多輸出系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間控制器，對于匹配和非匹配干擾，驗(yàn)證了控制器的魯棒性。此后，固定時(shí)間收斂理論開始引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注。針對一類具有匹配干擾的二階控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)［11］設(shè)計(jì)了一種全局固定時(shí)間收斂的非奇異終端滑模面，通過對單擺系統(tǒng)的仿真，驗(yàn)證了方法的有效性。文獻(xiàn)［12］針對一類混沌震蕩系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了一種快速收斂固定時(shí)間非奇異滑模，仿真驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)方法的有效性。以上研究設(shè)計(jì)的控制器雖然保證了系統(tǒng)固定時(shí)間收斂，但其研究理論性較強(qiáng)，控制律過于復(fù)雜且未充分考慮工程問題具有復(fù)雜數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)。

近年來，開始有學(xué)者將固定時(shí)間收斂理論應(yīng)用于導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［13］針對打擊機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)問題，設(shè)計(jì)了一種非奇異固定時(shí)間收斂制導(dǎo)律，設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間滑模干擾，仿真驗(yàn)證了制導(dǎo)律的固定時(shí)間收斂特性。文獻(xiàn)［14］設(shè)計(jì)了一種含積分項(xiàng)的固定時(shí)間收斂滑模面，并設(shè)計(jì)了全局滑模跟蹤制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)了跟蹤誤差在固定時(shí)刻收斂，但文中積分滑模面的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)［15］研究了末制導(dǎo)階段空空導(dǎo)彈直接力氣動(dòng)力復(fù)合控制問題，設(shè)計(jì)了固定時(shí)間收斂滑模控制器，仿真實(shí)現(xiàn)了直接力與氣動(dòng)力的協(xié)調(diào)使用，但忽略了滑模控制器存在的奇異問題。此外，固定時(shí)間收斂理論還被應(yīng)用于火箭回收［16］、航天器姿態(tài)控制［17］和交會(huì)對接［18］等工程問題上，但控制器結(jié)構(gòu)均比較復(fù)雜。雖然上述研究已經(jīng)取得了一定成果，但對采用復(fù)合控制方式的空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎這一類復(fù)雜控制系統(tǒng)而言，國內(nèi)外采用固定時(shí)間收斂理論開展的研究仍然較少。敏捷轉(zhuǎn)彎要求所設(shè)計(jì)控制器具有較好的快速性，雙冪次快速終端滑模面作為具有固定時(shí)間收斂特性滑模面的一種，形式簡潔，可用來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的固定時(shí)間穩(wěn)定性。但是，利用其設(shè)計(jì)控制器通常存在奇異問題，綜合導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)的需要和敏捷轉(zhuǎn)彎系統(tǒng)的復(fù)雜性，設(shè)計(jì)一種非奇異且收斂速度快的固定時(shí)間收斂滑模控制器來研究空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎問題具有研究必要。

此外，導(dǎo)彈大角度機(jī)動(dòng)過程中存在嚴(yán)重的氣動(dòng)不確定性和內(nèi)外擾動(dòng)，這種擾動(dòng)往往具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。為了使系統(tǒng)保持較強(qiáng)的魯棒性，滑模控制往往引入具有較大切換增益的符號函數(shù)，導(dǎo)致控制過程產(chǎn)生高頻抖振，不僅增加了系統(tǒng)能量消耗，同時(shí)也不利于導(dǎo)彈執(zhí)行機(jī)構(gòu)的響應(yīng)。為了削弱抖振，大多數(shù)文獻(xiàn)采用對符號函數(shù)項(xiàng)進(jìn)行光滑處理的方法，但這種方法改變了滑模控制結(jié)構(gòu)，會(huì)降低控制精度。而干擾觀測器本質(zhì)上不改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，同時(shí)具有對系統(tǒng)的干擾和不確定量出色的觀測估計(jì)能力，使得干擾觀測器逐漸被引入各類控制系統(tǒng)以提高控制系統(tǒng)的性能，諸如非線性干擾觀測器［19-21］、模糊干擾觀測器［22］和自適應(yīng)干擾觀測器［23］等。

綜上所述，針對復(fù)合控制空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎，設(shè)計(jì)一種固定時(shí)間收斂的具有抗干擾能力的滑模控制器具有重要的研究意義。本文結(jié)構(gòu)安排如下：首先，建立了包含氣動(dòng)干擾的直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制的空空導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)方程組，針對傳統(tǒng)非奇異滑模控制方法存在的收斂速度慢的問題，設(shè)計(jì)了一種非奇異雙變冪次固定時(shí)間快速收斂的非奇異滑模面，采用等效控制思想設(shè)計(jì)了控制律，保證了系統(tǒng)固定時(shí)間收斂；其次，為了削弱控制抖振，針對一類匹配氣動(dòng)擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了一種雙冪次固定時(shí)間收斂的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer， ESO）以補(bǔ)償控制律；然后，基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的固定時(shí)間收斂特性，給出了固定收斂時(shí)間表達(dá)式；最后，通過導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎仿真分析，驗(yàn)證本文所提方法的有效性。

1 導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型建立

1.1 小攻角模型

本文采用一種具有X 型尾舵的無翼式導(dǎo)彈外形，采用前置直接側(cè)向力裝置（Reaction jets Control System， RCS），其安裝位置位于導(dǎo)彈質(zhì)心之前，如圖1 所示。

圖1 空空導(dǎo)彈外形示意Fig.1 Sketch of air-to-air missile configuration

為簡化研究，本文僅對空空導(dǎo)彈俯仰通道進(jìn)行研究，忽略導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)。因此，直接側(cè)向力裝置所提供的控制力只作用于Oy1軸。同時(shí)，由于導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎較為迅速，可以認(rèn)為此過程中導(dǎo)彈質(zhì)量幾乎不變，且不考慮導(dǎo)彈壓心位置的變化。本文采用一種可產(chǎn)生連續(xù)推力的側(cè)向控制發(fā)動(dòng)機(jī)，其大小Tnow可在發(fā)動(dòng)機(jī)最大推力內(nèi)連續(xù)變化［24］。定義側(cè)向控制發(fā)動(dòng)機(jī)噴氣閥門開度為

式中：Trcs為側(cè)向發(fā)動(dòng)機(jī)所能提供的最大推力；閥門開度δrcs的取值范圍為[-1，1]。

導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程中會(huì)經(jīng)歷超大攻角階段。利用DATCOM 通過經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，可以得到導(dǎo)彈小攻角飛行條件下（α＜40°）的氣動(dòng)數(shù)據(jù)。由于DATCOM 計(jì)算方法的限制，其在大攻角階段（α≥40°）計(jì)算獲得的數(shù)據(jù)并不可靠。基于上述事實(shí)，將氣動(dòng)舵簡化為一階系統(tǒng)，參考文獻(xiàn)［25］，首先建立小攻角條件下空空導(dǎo)彈俯仰通道運(yùn)動(dòng)方程組如式（2）所示。

式中：ρ為大氣密度；V為導(dǎo)彈質(zhì)心速度；Q=1/2ρV2為動(dòng)壓；m為導(dǎo)彈質(zhì)量；S為特征面積；L為特征長度；CL和CD分別表示升力系數(shù)與阻力系數(shù)；P為發(fā)動(dòng)機(jī)推力；uP為主發(fā)動(dòng)機(jī)控制開關(guān)，滿足約束uP={0；1}；?、α、Γ分別表示俯仰角、攻角和彈道傾角；ωz為俯仰角速度；Jz為導(dǎo)彈繞彈體坐標(biāo)系z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Cmα和Cmδ分別表示俯仰力矩系數(shù)對攻角和氣動(dòng)舵偏角的一階導(dǎo)數(shù)；Lrcs為側(cè)向噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)與導(dǎo)彈質(zhì)心的距離；mzd表示氣動(dòng)不確定性和外部擾動(dòng)對俯仰力矩系數(shù)的干擾之和；X、Y分別表示導(dǎo)彈質(zhì)心位置坐標(biāo)；δ為氣動(dòng)舵偏角；δc為氣動(dòng)舵控制指令；τ為氣動(dòng)舵環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)。

1.2 大攻角模型

由于DATCOM 并不適用于大攻角氣動(dòng)數(shù)據(jù)計(jì)算，因此常采用分析方法來估計(jì)氣動(dòng)數(shù)據(jù)。大攻角階段，由于氣流分離，壓差阻力成為了阻力因素的主導(dǎo)部分，導(dǎo)彈大攻角階段產(chǎn)生的垂直于彈體的法向力N=CNQS成為了主要的氣動(dòng)力，它只對阻力產(chǎn)生貢獻(xiàn)，其中CN為法向力系數(shù)。通過將[0°，180°]的攻角轉(zhuǎn)化為[-90°，90°]內(nèi)的等效攻角，文獻(xiàn)［25］提供了一種估計(jì)導(dǎo)彈大攻角階段氣動(dòng)數(shù)據(jù)的方法，可描述為

具體內(nèi)容可參考文獻(xiàn)［25］。

在導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎大攻角機(jī)動(dòng)過程中，氣動(dòng)舵控制作用有限，認(rèn)為舵控失效。因此，此階段導(dǎo)彈姿態(tài)僅由直接側(cè)向力控制。綜上，在忽略舵環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，大攻角階段式（2）中關(guān)于俯仰角加速度的方程變?yōu)?/p>

式中：Ls為壓心與質(zhì)心的距離；CN為法向力系數(shù)。

2 固定時(shí)間收斂滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1 基本定義和引理

考慮如式（5）所示系統(tǒng)：

式中：x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；g(t，x)：R+×Rn→Rn為非線性函數(shù)。式（5）的解定義在Filippov 意義下，假設(shè)零點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。

定義1若系統(tǒng)式（5）平衡點(diǎn)x=0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，且式（5）的任意解x(t，x0)于一個(gè)有限時(shí)間達(dá)到平衡點(diǎn)，則稱原點(diǎn)為有限時(shí)間收斂平衡點(diǎn)，即

式中：T(x0)為收斂時(shí)間函數(shù)。

定義2若系統(tǒng)式（5）的平衡點(diǎn)x=0 是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的，且T(x0)存在大于0 的上界Tmax，則該系統(tǒng)的原點(diǎn)為固定時(shí)間收斂平衡點(diǎn)，即

定義3若系統(tǒng)式（5）的任意解x(t，x0)于一個(gè)有限時(shí)間T(x0)達(dá)到集合M后，始終停留在集合M內(nèi)，則稱該集合為式（5）的全局有限時(shí)間吸引域，即

式中：T(x0)為收斂時(shí)間函數(shù)。

定義4如果定義3 中的T(x0)存在正上界Tmax，則稱集合M為系統(tǒng)式（5）固定時(shí)間吸引域，與式（8）相同。

定義5為后文書寫方便，作如下定義：

式中：sign(·)為符號函數(shù)，且sign(0)=0。

引理1［12］考慮一類非線性系統(tǒng)如式（10）所示：

式中：signm1(y)=sign(y)|y|m1；l1＞0，l2＞0；m1＞1，0 ＜m2＜1。

那么該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的且收斂時(shí)間T有上界Tmax，滿足

控制系統(tǒng)收斂時(shí)間的上界僅由預(yù)先設(shè)置的參數(shù)來確定而與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。

引理2［26］假設(shè)存在Lyapunov 函數(shù)V(x)滿足其中l(wèi)1＞0，l2＞0；m1＞1，0 ＜m2＜1，則系統(tǒng)是固定時(shí)間穩(wěn)定的，其收斂時(shí)間T有上界Tmax，滿足式（11）。

基于上述引理，文獻(xiàn)［27］設(shè)計(jì)了一種具有自適應(yīng)特性的固定時(shí)間收斂滑模控制器，加快了傳統(tǒng)快速終端滑模面收斂速度。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［28］構(gòu)建了一種改進(jìn)固定時(shí)間收斂系統(tǒng)，其收斂時(shí)間表達(dá)式及證明如下。

引理3 考慮如式（12）非線性系統(tǒng)

那么系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是固定時(shí)間穩(wěn)定的，收斂時(shí)間T有上界Tmax，滿足

證明系統(tǒng)式（12）等價(jià)于

對變量y做如下替換：

則系統(tǒng)式（14）等價(jià)轉(zhuǎn)化為以z表示的新系統(tǒng)：

因此，可以求解得到系統(tǒng)式（15）的收斂時(shí)間上界Tmax為

因此，得到該系統(tǒng)收斂時(shí)間上界為

證畢。

與式（11）相比，式（19）所示的收斂時(shí)間上界顯然更小，采用該固定時(shí)間收斂系統(tǒng)具有更快的收斂速度。

2.2 固定時(shí)間收斂非奇異終端滑模設(shè)計(jì)

考慮導(dǎo)彈縱向姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型：

式中：f和d分別代表系統(tǒng)中的已知量和擾動(dòng)（內(nèi)外擾動(dòng)和系統(tǒng)不確定之和）；uδ為舵控效果；urcs為直接氣動(dòng)力控制效果。

式（20）中各變量表達(dá)式為：urcs=當(dāng)α＜40°時(shí)，f=當(dāng)α≥40°時(shí)，認(rèn)為舵控失效

為了控制導(dǎo)彈實(shí)現(xiàn)180°敏捷轉(zhuǎn)彎，令俯仰角跟蹤指令為?c=180°，導(dǎo)彈俯仰角誤差跟蹤方程表示為

式中：x1=?-?c；x2=ωz。

對于導(dǎo)彈俯仰角指令跟蹤誤差系統(tǒng)，文獻(xiàn)［29］針對傳統(tǒng)NTSM 方法在系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)收斂速度慢的問題，設(shè)計(jì)了一種基于復(fù)合滑模面的NTSM（NTSM based on Compound sliding surface， NTSMC），控制律表示為

八條禁令的內(nèi)容包括：嚴(yán)禁瞞報(bào)、謊報(bào)、遲報(bào)、漏報(bào)、阻礙他人報(bào)告動(dòng)物疫情；嚴(yán)禁接到動(dòng)物疫情舉報(bào)不受理、不核查；嚴(yán)禁動(dòng)物疫情排查不到場、不到位；嚴(yán)禁不履行動(dòng)物疫病檢測職責(zé)、出具虛假檢測報(bào)告；嚴(yán)禁不檢疫就出證、違規(guī)出證；嚴(yán)禁違規(guī)使用、倒賣動(dòng)物衛(wèi)生證章標(biāo)志；嚴(yán)禁違規(guī)處置染疫或者疑似染疫的動(dòng)物、動(dòng)物產(chǎn)品及相關(guān)物品；嚴(yán)禁發(fā)現(xiàn)違法違規(guī)行為不查處。

式中：β＞0；1 ＜v＜2；w＞1。對于該系統(tǒng)，在遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，采用傳統(tǒng)終端滑模面，滑模面收斂速度較快；當(dāng)進(jìn)入|x1|＜1 區(qū)間時(shí)，采用非奇異終端滑模面，從而避免了奇異現(xiàn)象。分析滑模面式（20）可得，由于v＞1，在|x1|≤1 區(qū)間內(nèi)其收斂速度仍然較慢。此外，基于該滑模面設(shè)計(jì)的控制器只能保證系統(tǒng)有限時(shí)間收斂，該時(shí)間受初始狀態(tài)影響，該控制器無法使系統(tǒng)在不同狀態(tài)下快速收斂于較小的固定時(shí)間內(nèi)。

為解決上述問題，根據(jù)引理1 可以設(shè)計(jì)一種具有快速收斂特性的FTSM，其形式如為

式中：k1＞0；k2＞0；m1＞1；0 ＜m2＜1。

對s求導(dǎo)可得

將式（21）代入式（24）得

將氣動(dòng)舵控制作為等效舵控制，令urcs=0，=0 可求得α＜40°時(shí)的等效氣動(dòng)舵控制，即氣動(dòng)舵控制指令為

基于引理1，設(shè)計(jì)直接氣動(dòng)力控制律為

分析式（26）和式（27）2 個(gè)控制律中的|x1|m2-1冪次為負(fù)。當(dāng)x1=0 時(shí)，控制大小趨近于無窮，產(chǎn)生奇異現(xiàn)象。

為消除奇異現(xiàn)象，同時(shí)加快收斂速度，根據(jù)定理1 構(gòu)造一種分段滑模面，其表達(dá)式為

當(dāng)x1=0 時(shí)，s?的表達(dá)式不含負(fù)冪次項(xiàng)，從而避免了奇異問題的產(chǎn)生。

基于本文提出的固定時(shí)間收斂滑模面，氣動(dòng)舵指令變?yōu)?/p>

導(dǎo)彈在大角度機(jī)動(dòng)過程中，由于氣流的分離，使得彈體的氣動(dòng)特性十分復(fù)雜，采用1.2 節(jié)的數(shù)值方法獲得的氣動(dòng)數(shù)據(jù)可能存在一定誤差；同時(shí)，導(dǎo)彈大攻角飛行過程中還存在內(nèi)外擾動(dòng)問題。綜合以上2 點(diǎn)，將2 種干擾結(jié)果的和考慮為總的氣動(dòng)力矩的擾動(dòng)效果d。在不同環(huán)境下，擾動(dòng)是不同的，同一環(huán)境的不同時(shí)刻擾動(dòng)也是不同的，因而擾動(dòng)具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。為了保證控制的魯棒性，常考慮擾動(dòng)最壞的情況，即擾動(dòng)達(dá)到最大值，即給擾動(dòng)一個(gè)常值上界，于是考慮擾動(dòng)d滿足下列假設(shè)。

假設(shè)1假設(shè)擾動(dòng)d有界，存在常數(shù)D＞0，滿足|d|≤D。

結(jié)合假設(shè)1，設(shè)計(jì)直接力控制律為

2.3 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的擾動(dòng)量估計(jì)與補(bǔ)償

抖振現(xiàn)象是滑模控制方法的一大缺點(diǎn)，而空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎的大攻角機(jī)動(dòng)過程中，存在十分嚴(yán)重的氣動(dòng)擾動(dòng)現(xiàn)象，同時(shí)，導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)還存在其他不確定性，這對控制系統(tǒng)提出了更嚴(yán)苛的要求。在式（32）所示的直接力控制律中，為了消除擾動(dòng)d對系統(tǒng)的影響，利用切換增益k來抑制擾動(dòng)影響，其控制律設(shè)計(jì)依賴對擾動(dòng)上界的估計(jì)，且該擾動(dòng)上界選取較為困難。此外，一般情況下，由于擾動(dòng)的隨機(jī)性較強(qiáng)，其上界一般較大，為了保證系統(tǒng)魯棒性，該切換增益k取值較大，進(jìn)而導(dǎo)致控制系統(tǒng)產(chǎn)生嚴(yán)重的抖振。同時(shí)，等效氣動(dòng)舵控制指令式（31）含有未知?dú)鈩?dòng)擾動(dòng)項(xiàng)d，使得氣動(dòng)舵控制具有較大不確定性，減弱了復(fù)合控制效果。

為了減小系統(tǒng)抖振，同時(shí)又保證系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性與魯棒性，采用ESO 在線觀測擾動(dòng)量 ，并對控制律進(jìn)行補(bǔ)償。ESO 理論作為自抗擾技術(shù)的核心部分，由中國科學(xué)院韓京清［30］提出。ESO能夠在原控制系統(tǒng)基礎(chǔ)上，將擾動(dòng)及不確定量作為擴(kuò)張狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)解算，從而得到對擾動(dòng)及不確定量的估計(jì)。得益于ESO 出色的擾動(dòng)觀測能力，近些年來ESO 開始被廣泛應(yīng)用于各類控制系統(tǒng)中，諸如飛行器制導(dǎo)控制［31-33］、飛行器空中加油機(jī)械臂控制［34］、機(jī)器人控制［35］和車輛軌跡控制［36］等。相關(guān)研究表明，對于存在擾動(dòng)及不確定性的一類控制系統(tǒng)，ESO 具有突出的應(yīng)用價(jià)值。尤其在飛行器控制領(lǐng)域，ESO 的應(yīng)用可以顯著改善飛行器控制效果，更好地滿足控制需求。

基于文獻(xiàn)［37］，本文采用了一種雙冪次固定時(shí)間收斂ESO，用于在線估計(jì)跟擾動(dòng)量，其形式為

非線性函數(shù)表達(dá)式為

式中：和?分別為ωz和d的估計(jì)值；κ1＞0；κ2＞0；a∈(0.5，1)；b∈(1，1.5)；ε∈(0，1)為一個(gè)小正數(shù)；u=uδ+urcs。通過調(diào)整ε的大小，可以達(dá)到期望的觀測效果。

定理1對上述ESO，若ωz和u均已知，并且擾動(dòng)d的偏導(dǎo)數(shù)滿足其中d1有界，那么ESO 的觀測誤差和將會(huì)在固定時(shí)間內(nèi)收斂到ωz和d的某個(gè)鄰域。

關(guān)于ESO 收斂性和定理1 的證明見文獻(xiàn)［37］。對于上述ESO，其觀測誤差由參數(shù)κ1、κ2、a、b、ε決定。當(dāng)ε趨近于0 時(shí)，觀測誤差趨近于0。假設(shè)|e2|≤δESO。

利用ESO 實(shí)時(shí)估算的擾動(dòng)觀測值d?對控制律進(jìn)行補(bǔ)償，則氣動(dòng)舵控制指令式（31）和直接力控制律（32）分別改為

對于上文導(dǎo)彈姿態(tài)角指令跟蹤誤差系統(tǒng)，采用滑模面式（28），設(shè)計(jì)氣動(dòng)舵指令和直接力控制律分別為式（35）和式（36），稱此方法為基于ESO 的固定時(shí)間收斂快速非奇異終端滑模（Fixed-time-convergent NFTSM with ESO，F(xiàn)NFTSME） 控制。

2.4 穩(wěn)定性分析

針對導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎姿態(tài)角跟蹤誤差方程組，采用上一節(jié)構(gòu)造的FNFTSME 方法，考慮如下的Lyapunov 函數(shù)：

對式（37）求導(dǎo)得

根據(jù)引理3 可知，滑模面在固定時(shí)間內(nèi)收斂到零，系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，其收斂時(shí)間上界T1為

當(dāng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后，s=0，此時(shí)有

考慮Lyapunov 函數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，若|x1|＞ξ，則有

對V1求導(dǎo)得

根據(jù)引理3 可知，x1將在固定時(shí)間收斂至|x1|≤ξ區(qū)間。其收斂時(shí)間上限為T2，滿足

隨后，在|x1|≤ξ區(qū)間內(nèi)，有

此時(shí)

系統(tǒng)狀態(tài)將在|x1|≤ξ區(qū)間內(nèi)于有限時(shí)間到達(dá)平衡點(diǎn)。

當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，若|x1|≤ξ，則系統(tǒng)狀態(tài)已經(jīng)收斂至平衡點(diǎn)的小鄰域內(nèi)，此時(shí)，系統(tǒng)將在極短的時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)。同上，易于證明，系統(tǒng)固定收斂時(shí)間收斂到平衡點(diǎn)小鄰域內(nèi)。

綜上可得，由定義4 可知，|x1|≤ξ為系統(tǒng)的全局固定時(shí)間吸引域。利用本文提出的控制器設(shè)計(jì)方法，系統(tǒng)將于固定時(shí)間收斂至平衡點(diǎn)的小鄰域，且該小鄰域可控。系統(tǒng)收斂時(shí)間上界為Tmax，滿足

3 數(shù)值仿真與分析

本節(jié)基于導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎進(jìn)行彈道仿真，模擬空空導(dǎo)彈180°轉(zhuǎn)彎攻擊后半球目標(biāo)場景，并對所設(shè)計(jì)的控制方法性能進(jìn)行分析。假設(shè)導(dǎo)彈在鉛錘平面內(nèi)飛行，采用直接力和氣動(dòng)力復(fù)合控制方式。導(dǎo)彈初始位置取為（0 m， 0 m），初始速度為220 m/s，初始俯仰角、攻角均為0°，初始俯仰角速度為0（°）/s，主發(fā)動(dòng)機(jī)推力為22 500 N，最大直接側(cè)向力為5 500 N，氣動(dòng)舵限位為30°，當(dāng)俯仰角大于120°時(shí)開啟主發(fā)動(dòng)機(jī)，主發(fā)動(dòng)機(jī)開啟后不再關(guān)機(jī)，仿真時(shí)間取為4 s，采用四階龍格庫塔方法，取仿真步長為0.01 s。為了模擬導(dǎo)彈大攻角機(jī)動(dòng)過程中的氣動(dòng)不確定性和干擾，人為加入擾動(dòng)參數(shù)mzd，其隨時(shí)間變化曲線如圖2 所示。

圖2 俯仰力矩系數(shù)擾動(dòng)變化Fig.2 Variation of pitching moment coefficient distance

對于2.3 節(jié)設(shè)計(jì)的FNFTSME 方法的參數(shù)設(shè)置為：k1=2，k2=2，m1=2，m2=0.3，α1=1，β1=1，γ1=9/5，γ2=5/9，r=1.5，ξ=0.01。計(jì)算得到系統(tǒng)固定收斂時(shí)間為3.30 s。一般來說，增大k1、k2、m1可以提高收斂速度，但當(dāng)其取值過大時(shí)會(huì)加劇抖振；當(dāng)m2取值越小，收斂速度越快，但是過小會(huì)加劇抖振。α1、β1、γ1、γ2取值和上述原則類似，r和ξ可根據(jù)取值范圍適當(dāng)選取。

根據(jù)空戰(zhàn)過程中導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎初始狀態(tài)的不同設(shè)計(jì)4 種場景，以驗(yàn)證采用本文所提方法設(shè)計(jì)的控制器能使導(dǎo)彈在較小的固定時(shí)間內(nèi)快速完成敏捷轉(zhuǎn)彎。

場景1：?=0° ，α=0° ，Γ=0° 。

場景2：?=10°，α=10°，Γ=0° 。

場景3：?=20°，α=0° ，Γ=20°。

場景4：?=30°，α=10°，Γ=20°。

圖3 為采用2 種方法下導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎彈道圖，可以看出，F(xiàn)NFTSME 方法下導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎半徑更小，這意味著導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力得到了提高，能夠更加適應(yīng)快速攻擊載機(jī)后半球目標(biāo)的作戰(zhàn)要求。

圖3 導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎彈道Fig.3 Trajectory of missile agile turn

圖4 為導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程中俯仰角、攻角、彈道傾角的仿真結(jié)果。結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的方法和文獻(xiàn)［29］的改進(jìn)NTSMC 方法均能精確跟蹤俯仰角信號指令，使空空導(dǎo)彈完成180°敏捷轉(zhuǎn)彎。但是，本文提出的FNFTSME 方法具有更快的收斂速度，上升時(shí)間由NTSMC 方法的1.63 s縮短為1.27 s。從攻角曲線可以看出，在本文方法下最大攻角可以達(dá)到141°，大于NTSMC 方法下的134°，攻角建立速度更快。在敏捷轉(zhuǎn)彎初始階段，2 種方法下導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程中彈道傾角增長緩慢，曲線幾乎重合。因此，根據(jù)關(guān)系俯仰角、彈道傾角和攻角的關(guān)系?=α+Γ可得，攻角越大，則俯仰角越大，即導(dǎo)彈彈體實(shí)現(xiàn)了更大角度的旋轉(zhuǎn)，即采用FNFTSME 方法更加有利于導(dǎo)彈的敏捷轉(zhuǎn)彎。

圖4 ?，α和Γ 的變化Fig.4 Variation of ?，α and Γ

圖5 給出了2 種方法下，導(dǎo)彈速度變化曲線，可以看出，空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎過程中速度將會(huì)急劇減小，NTSMC 方法和FNFTSME 方法下導(dǎo)彈速度最低分別達(dá)到60 m/s 和47 m/s，隨后攻角逐漸減小，速度在主發(fā)動(dòng)機(jī)作用下開始迅速增大。進(jìn)一步分析可以看到，對于空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎來說，其轉(zhuǎn)彎空間相對較小。從圖4 可以看到，敏捷轉(zhuǎn)彎初期2 種方法下彈道傾角幾乎相等，因此在相對速度較低的情況下，導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎半徑也會(huì)更小；此外，結(jié)合圖3 可以看出，采用本文所提方法時(shí)，導(dǎo)彈轉(zhuǎn)彎半徑小于NTSMC 方法，較好地提高了導(dǎo)彈的敏捷特性，體現(xiàn)了本文方法下導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎的優(yōu)勢。

圖5 速度變化Fig.5 Variation of velocity

圖6 為分別采用2 種方法時(shí)直接力裝置閥門開度變化曲線。可以看出，NTSMC 方法閥門開度存在較大抖振，其原因在于該方法為了抵消氣動(dòng)干擾的影響而采取了較大切換增益；作為對比，F(xiàn)NFTSME 方法下抖振幾乎不存在，這得益于ESO 能夠?qū)鈩?dòng)干擾量的實(shí)時(shí)準(zhǔn)確估計(jì)。

圖6 直接力閥門開度變化Fig.6 Variation of valve switch for lateral force

圖7 為導(dǎo)彈氣動(dòng)舵偏角變化曲線圖。為了達(dá)到舵面和直接力的協(xié)調(diào)使用，舵偏角符號應(yīng)和直接力方向變化一致，且當(dāng)直接力達(dá)到最大時(shí)，氣動(dòng)舵也應(yīng)該最大程度被使用，從而提高氣動(dòng)舵面利用效率。在敏捷轉(zhuǎn)彎初始階段，為了在短時(shí)間內(nèi)迅速建立大攻角，從圖6 和圖7 可以看出，在運(yùn)動(dòng)初期2 種方法下直接力和導(dǎo)彈舵偏角能夠迅速達(dá)到最大值；而在敏捷轉(zhuǎn)彎后期，NTSMC 方法舵偏角曲線抖振明顯增加，且舵偏角無法配合直接力方向，無法協(xié)調(diào)使用，降低了復(fù)合控制效率；而FNFTSME 方法下抖振明顯減弱，舵偏角曲線可以跟蹤直接力方向變化，提高了復(fù)合控制效率。

圖7 舵偏角變化Fig.7 Variation of fin declination

圖8 給出了ESO 對干擾的跟蹤情況。可以看出，ESO 輸出的觀測值曲線幾乎和擾動(dòng)值曲線重合，證明了采用本文構(gòu)建的雙冪次固定時(shí)間收斂ESO，能夠?qū)崿F(xiàn)對干擾信號的快速準(zhǔn)確追蹤。

圖8 擾動(dòng)觀測值Fig.8 Observation of disturbance

圖9 給出了不同場景下導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎姿態(tài)角變化曲線，從姿態(tài)角變化曲線可看出，采用本文所提方法設(shè)計(jì)的控制器能夠使導(dǎo)彈在較小的固定時(shí)間內(nèi)快速完成敏捷轉(zhuǎn)彎。

圖9 不同場景下?，α和Γ 變化Fig.9 Variation of ?，α and Γ in different situations

為了驗(yàn)證ESO 對擾動(dòng)的觀測能力，針對如圖10 所示的一種擾動(dòng)初值非零的余弦擾動(dòng)，可以得到擴(kuò)張狀態(tài)觀測器觀測曲線，如圖11 所示。從圖11 可以看到，ESO 對圖10 所示的擾動(dòng)初值非零的余弦擾動(dòng)依然能夠?qū)崿F(xiàn)快速準(zhǔn)確估計(jì)，說明本文設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對于擾動(dòng)具有較好的觀測能力。

圖10 余弦俯仰力矩系數(shù)擾動(dòng)變化Fig.10 Variation of cosine pitching moment coefficient disturbance

圖11 余弦擾動(dòng)觀測值Fig.11 Observation of cosine disturbance

4 結(jié) 論

本文針對空空導(dǎo)彈敏捷轉(zhuǎn)彎控制問題，設(shè)計(jì)了一種固定時(shí)間收斂的滑模控制器，所得結(jié)論可歸結(jié)如下：

1）通過引入分段非線性函數(shù)，采用雙變冪次終端滑模面，設(shè)計(jì)了一種非奇異固定時(shí)間收斂滑模控制器，能夠保證系統(tǒng)固定時(shí)間快速收斂，且該時(shí)間僅取決于預(yù)先設(shè)置的參數(shù)。

2）為消除敏捷轉(zhuǎn)彎大角度機(jī)動(dòng)過程中氣動(dòng)干擾的影響，采用一種雙冪次固定時(shí)間收斂的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)擾動(dòng)量的快速準(zhǔn)確估計(jì)，使控制器具有較強(qiáng)的抗干擾能力，大大削弱了控制的抖振現(xiàn)象。

3）仿真結(jié)果表明，基于本文所提方法設(shè)計(jì)的滑模控制器，在不同初始條件下，能夠保證復(fù)合控制空空導(dǎo)彈在固定時(shí)間內(nèi)完成敏捷轉(zhuǎn)彎，且系統(tǒng)具有較好的收斂快速性和抗干擾能力，具有潛在的工程應(yīng)用價(jià)值。進(jìn)一步可以考慮采用一種優(yōu)化算法對本文所提方法的控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。