可壓縮壁湍流熱力學量統計特性分析

傅亞陸，袁先旭，劉朋欣，余明

空氣動力學國家重點實驗室，綿陽 621000

可壓縮壁湍流是航空航天領域中廣泛存在的流動現象，深入理解并掌握其統計規律具有重要的科學意義和工程價值［1-2］。可壓縮湍流比不可壓縮湍流更加復雜，不僅包含各種形態的渦結構，還包含膨脹和壓縮等復雜波系結構。在可壓縮湍流中，動能-內能通過壓力做功互相轉化，速度、壓力、密度、溫度和熵等運動學/動力學量和熱力學量脈動存在強相互耦合［3］，因此研究熱力學平均量和脈動量對于理解湍流中動能-內能之間的轉換、建立壁模型等方面具有重要意義［4］。

隨著計算性能的飛速提升和數值方法的發展和進步［5-6］，高精度直接數值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）方法已成為研究湍流機理的有效手段［7-9］。目前國內外學者已經對平板邊界層［10-13］、槽道［14-17］和圓管［18］等規范壁湍流開展了廣泛的DNS 研究，并取得較大進展。然而目前大多數研究僅針對速度、溫度和壓力脈動的統計特性，而對密度、熵以及各熱力學量脈動間的相關性的研究還十分有限。

Coleman 等［14］對馬赫數為1.5 和3.0 的可壓縮等溫壁槽道湍流開展了直接數值模擬，分析了溫度、密度和壓力脈動的均方根、流向和展向兩點相關量、聯合概率密度分布等統計特性，結論表明壓縮性對熱力學量脈動的影響不能忽略，等溫邊界條件顯著影響了壁面法線方向的平均密度和溫度梯度，最高溫度/最低密度出現在槽道中心線處；隨馬赫數增大，壁面傳熱率隨之增大，近壁條帶結構相干性增強。2011 年，Wei 和Pollard［19］研究了馬赫數為0.2、0.7 和1.5 條件下，速度脈動和溫度、密度、壓力等熱力學量的脈動均方根、平坦度、偏斜度隨中心線馬赫數變化的規律，并進一步分析了馬赫數對密度和壓力脈動的相關系數以及脈動壓力梯度和脈動渦量梯度相關系數的影響規律，發現二階統計量在內區和馬赫數相關，但在外區幾乎不受馬赫數影響，且近壁大尺度結構受馬赫數影響明顯［20］。

2013 年，Donzis 和Jagannathan［4］對DNS 數據進行分析，研究了可壓縮均勻各向同性湍流的壓力、密度和溫度脈動的統計量，采用小擾動分析研究了脈動量、互相關和譜的標度規律，發現壓力和密度脈動的概率密度函數在低湍流馬赫數時呈負偏態，與不可壓縮結果一致，而在高湍流馬赫數時呈正偏態；雷諾數效應對單點統計量來說并不顯著。Gerolymos 和Vallet［21］研究了低雷諾數可壓縮槽道湍流中的熱力學量脈動，并推導了熱力學通量的輸運方程，研究了統計量、相關系數、平衡分析，發現溫度、密度、壓力的歸一化脈動均方根在槽道任意位置量級均相同，在低馬赫數條件下亦是如此。對熱力學脈動量、互相關進行研究發現，近壁區壓力和溫度相關性較弱，但在槽道中心線處增大；整個槽道內，壓力和密度脈動、壓力和溫度脈動之間呈正相關，近壁區密度和溫度呈負相關。除此之外，熵脈動和溫度脈動存在很強的正相關，密度脈動存在很強的負相關，在法向范圍y+∈(1， 100)范圍內（其中y+為黏性尺度下的法向坐標），熵脈動與溫度脈動的相關系數接近1，表明了二者的強相關性。速度-熱力學量脈動相關性和中心線馬赫數幾乎無關。Gerolymos 和Vallet［22］進一步研究了熱力學量脈動相關系數之間的關系，結果表明，基本熱力學量的二階矩以及無量綱脈動熵與特征馬赫數呈正相關，且這些無量綱量具有相同的量級。

以上文獻調研表明，目前對可壓縮壁湍流中熱力學量脈動的系統研究依然較少，壓縮性對熱力學量脈動的影響尚不明晰。因此，本文通過分析不同槽道中心線馬赫數MaC=0.88～6.15 以及不同壁溫比（壁溫和恢復溫度之比）條件下的DNS 數據，研究可壓縮槽道湍流中熱力學量脈動統計特性，進而給出壓力、密度、溫度、熵脈動的統計矩，以及各物理量之間的相關系數。

1 物理模型和數值方法

本文研究的物理模型為可壓縮槽道湍流，如圖1 所示，其中Ub、ρ0、T0分別為來流速度、來流密度、來流溫度，Tw為壁面溫度，u、v、w為速度分量。數據來源本文作者在前期建立的DNS 數據庫，具體計算設置和結果的對比驗證請參考文獻［1］，在此簡要介紹如下。

圖1 物理模型示意圖Fig. 1 Schematic diagram of physical model

流動的控制方程為完全氣體的可壓縮Navier-Stokes 方程，用張量形式可表示為

式中：t為時間；ρ、p、E分別為密度、壓力和單位質量總能；ui(i=1， 2， 3)為xi方向的速度分量；τij為分子黏性應力；f1為體積力項；?為熱匯項；qj為分子熱傳導引起的熱流。

分子黏性應力滿足如下線性本構關系：

式中：μ為分子黏性系數，由Sutherland 公式給出。

分子熱傳導引起的熱流qj為

式中：T表示溫度；導熱系數k=μcp/Pr，cp為定壓比熱，Pr=0.7 為普朗特數。

熱力學量滿足如下完全氣體狀態方程：

式中：R為氣體常數；cv為定容比熱；γ=1.4 為比熱比；e為內能；s為熵。此外，動量方程中增加了均勻分布的體積力項f1以抵消黏性力做功，在能量方程中增加了熱匯項?以抵消黏性耗散產生的熱流，保持體平均溫度不變。

體平均溫度Tb定義為

式中：α為熱流控制參數；Tr代表來流馬赫數Ma0時邊界層恢復溫度。

其中：r為恢復系數。

對于本文中的可壓縮槽道湍流，流向和展向均為周期邊界條件，上下壁面處速度滿足無滑移和不可穿透條件，溫度滿足等溫條件。

本文共考察7 組不同的算例，物理參數如表1所示。其中平均馬赫數Mab、槽道中心線處馬赫數MaC和摩擦雷諾數Reτ的定義為

表1 物理參數Table 1 Physical parameters

式中：Ub為平均速度；UC為槽道中心線處速度；TC為槽道中心線處溫度；h為半槽道高度；ρw為壁面密度；μw為黏性系數；uτ為摩擦速度。

基于壁面總切應力τw（黏性和雷諾切應力之和）、壁面密度ρw和黏性系數μw，uτ可定義為

在本文的算例中，各組算例的摩擦雷諾數Reτ均接近500，平均馬赫數范圍為0.77～4.79，槽道中心線馬赫數范圍為0.88～6.15，包含了從亞聲速到高超聲速的參數范圍；A1～A5 為近似絕熱壁條件的流動，C1～C2 為高超聲速冷壁流動。

直接數值模擬采用Li 等開發的基于有限差分的OpenCFD-SC 開源程序［23］。其中對流項在Steger-Warming 矢通量分裂后采用七階迎風格式離散，黏性項采用六階中心差分格式離散，時間推進采用3 階TVD 龍格-庫塔格式。

計算網格劃分如圖2 所示，展向z和流向x采用均勻網格，法向y采用雙曲正切函數進行拉伸（在壁面附近密集）。計算參數如表2 所示。(Lx，Ly，Lz)為計算域尺寸，(Nx，Ny，Nz)為網格數。需要說明的是，算例C2 中Lx=6πh，這是因為在較低壁溫下流向尺度更大，過小的計算域長度會引入非物理周期性。網格分辨率的選取已在文獻［1］中做了說明，結果表明黏性尺度下的網格間距足以分辨湍流小尺度脈動。

表2 計算參數Table 2 Simulation parameters

圖2 網格劃分示意圖Fig. 2 Schematic diagram of grid

為了更好地理解物理量的脈動，本文采用系綜平均統計方法，在流向、展向和時間方向作平均。對于流動物理量φ，其系綜平均為，對應的湍流脈動為φ′，即

脈動均方根為φ′rms。采用摩擦速度uτ、壁面總切應力τw、壁面密度ρw無量綱化的變量用上標“+”表示。

2 熱力學量脈動的瞬時場結構

圖3～圖6 分別為算例A1、A5 和C1 的溫度、熵、密度和壓力脈動的瞬時分布，分別對應了低馬赫數和高馬赫數絕熱壁流動，以及高馬赫數冷壁流動。為了更清晰地展示流場的三維結構，本文選取了與壁面垂直的沿流向和展向分布的x-y和y-z平面和近壁處y+=30 的x-z平面上的流場分布。

圖3 溫度脈動T′/T0 的瞬時分布Fig. 3 Instantaneous structures of temperature fluctuations T′/T0

低馬赫數流動中，近壁x-z平面上溫度脈動T′（見圖3）主要表現為沿流向分布的條帶結構，與流向速度脈動類似。隨馬赫數的增加和壁溫的降低，溫度脈動中沿流向正負交替分布的行波包絡結構逐漸顯現，與速度脈動類似，這是壓縮性效應在流場相干結構中的直接體現。此外，在近壁處的剪切層所引起的較強的湍流耗散會使局部溫度升高，對應薄層的強溫度脈動。隨著法向高度的增加，相干結構的尺度逐漸增加（y-z平面）。在外區存在大尺度結構（x-y平面），其中附著在壁面上的結構與流向夾角約為45°，而非附著結構則更傾向于各向同性的分布。

熵脈動s′（見圖4）在x-z平面上以大尺度的“斑塊”結構為主，沒有明顯地表現出條帶結構，表明在近壁區溫度脈動與熵脈動的相關性較弱。在高馬赫數流動中，近壁處的熵脈動同樣存在沿流向正負交替的行波包絡結構，表明壓縮性效應同樣體現在熵脈動中，并可能使溫度與熵脈動相關性增強。在外區，熵脈動的相干結構與溫度脈動相干結構分布類似，表明二者相關性較強。

圖4 熵脈動s′/s0 的瞬時分布Fig. 4 Instantaneous structures of entropy fluctuations s′/s0

密度脈動ρ′（見圖5）在外區與溫度和熵脈動的相干結構類似，但符號相反。在近壁處，密度脈動強度較高，但是沿流向拉長的條帶結構并不明顯，而是表現為流向和展向特征尺度相差不大的在平面上“各向同性”的相干結構，與壓力脈動（見圖6）類似。根據狀態方程，等溫壁面附近壓力和密度脈動是強相關的，因此相干結構分布類似這一現象也是合理的。在外區，壓力脈動與其他熱力學量的脈動均存在明顯差別，因為壓力不僅是熱力學量，也是動力學量，其相干結構同樣受到速度脈動和渦量脈動的影響。

圖5 密度脈動ρ′/ρ0 的瞬時分布Fig. 5 Instantaneous structures of density fluctuations ρ′/ρ0

圖6 壓力脈動p′/p0 的瞬時分布Fig. 6 Instantaneous structures of pressure fluctuations p′/p0

整體而言，溫度脈動T′、熵脈動s′和密度脈動ρ′在外區的相干結構分布類似；在近壁區的低馬赫數流動中，上述熱力學量脈動結構的分布形式差別較大，而在高馬赫數流動中，行波包絡形式的結構均較為明顯，表明壓縮性效應的增強對熱力學量脈動及其互相關性具有較大影響，在流動建模中需考慮這一因素。

3 結果與討論

本節重點討論熱力學的平均量和脈動量的單點統計矩，包括脈動均方根、偏斜度、平坦度，以及各熱力學量之間及其與速度脈動的互相關系數。

3. 1 平均分布

圖7 為熱力學量的平均值沿法向的分布。圖7（a）中的溫度分布Tˉ(y)由中心線處平均溫度無量綱化。由于壁溫效應主要體現在近壁處，圖7 中的橫坐標采用了對數坐標。對于算例A1～A5，壁面處溫度梯度很低，在y/h＜0.02 范圍內平均溫度幾乎不變，而在該法向高度以上，平均溫度單調降低。算例C1 和C2 則在近壁區存在一個溫度的極大值點，在靠近壁面處溫度隨法向高度的增加而升高，遠離壁面處的變化趨勢相反。需要說明的是，即使高馬赫數流動中流場中平均溫度的最大值與槽道中心線處相差很大，這一溫度梯度效應對統計量影響也并不顯著。下文的研究將進一步揭示，平均溫度梯度對湍流統計特性的影響主要體現在近壁區。圖7（b）為平均密度沿法向高度的變化，由體平均密度無量綱化。由于流場中沒有明顯的壓力梯度，平均壓力沿法向高度的變化很小，因此平均密度和平均溫度幾乎呈反比。

圖7 熱力學平均量沿法向分布Fig. 7 Profiles of mean thermodynamic variables

圖7（c）為平均熵sˉ(y)沿法向高度的變化。由于熵的絕對值沒有意義，本文將壁面處的平均熵取為0，即考察平均熵與壁面平均熵之差。對于絕熱壁算例A1～A5，壁面處的平均熵最高，隨法向高度增加而單調遞減；冷壁算例C1 和C2 則先增加后減小，在近壁處存在一個極大值點。平均熵的分布與平均溫度分布在趨勢上具有一致性。

由于流場中沒有明顯的壓力梯度，平均壓力沿法向的變化很小。由平均動量方程可知：

其中，黏性項的影響很小，因此壓力沿法向高度的變化主要源于雷諾正應力的法向分量。圖7（d）所示為平均壓力與壁面平均壓力差的法向分布，由壁面平均切應力無量綱化。該結果與文獻［1］中雷諾應力法向正應力分量的分布和變化趨勢相一致。該結果也表明，對于無明顯壓力梯度的流動，平均壓力的分布主要取決于速度脈動，而非熱力學量。

3. 2 脈動均方根

對于流動物理量的脈動量φ′，其均方根（RMS）的定義為

溫度、密度、熵和壓力脈動的均方根如圖8 所示，分別由壁面平均溫度Tw、密度ρw、熵s0、壓力pw歸一化。

圖8 歸一化的均方根熱力學量脈動沿壁面法向分布Fig. 8 Profiles of RMS thermodynamic variables fluctuations

溫度脈動均方根T′RMS/Tw如圖8（a）所示。由于壁面處等溫條件的限制，其壁面脈動強度為0。隨法向高度的增加，溫度脈動在近壁處達到峰值，并在外區y＞0.2h范圍內單調遞減。峰值所對應的法向位置隨馬赫數的增加而逐漸遠離壁面。此外，在冷壁條件下，近壁處的溫度脈動表現出“雙峰值”的特點，這是因為平均溫度分布是非單調變化的。對于算例C2，其峰值位置約位于y=0.05h處，該峰值上下的平均溫度梯度較大，加之緩沖區的強湍流脈動，使得在峰值上下的近壁處出現了這一雙峰值的特點。這一現象在冷壁條件湍流邊界層中是廣泛存在的［17，24］。隨中心線馬赫數MaC的增加，外區y＞0.2h范圍內的溫度脈動強度顯著增強。由于馬赫數是反映流體動能和內能量級之比的參數，不難推斷，隨馬赫數的增加，黏性對湍動能的耗散所引起的內能脈動增強，且壓力對體膨脹運動做功增強，使得溫度脈動隨馬赫數增強。

密度脈動均方根ρ′RMS/ρw如圖8（b）所示。與溫度不同，密度在壁面處不需直接滿足第一類條件，因此壁面處的密度脈動不為0。隨中心線馬赫數MaC增加和壁溫的降低，壁面處密度脈動強度顯著增加。隨法向高度的增加，密度脈動強度先減小后增大，其最小值在近壁區，且隨馬赫數的增加和壁溫的降低而逐漸外移。在外區y＞0.2h范圍內，密度脈動強度隨法向距離的增加而增加。與壁面脈動不同，冷壁條件的算例C2 在外區比算例C1 更低。從物理意義上，流體微團內的密度脈動對應流體微團的體膨脹運動，因此密度脈動強弱直接反映了湍流脈動中壓縮性效應的強弱。因此不難推斷，在近壁處，壓縮性效應隨馬赫數的增加和壁溫的降低而增強，這與Yu和Xu［17］對真實壓縮性效應的研究結論是一致的；在外區，壓縮性的強弱同樣與馬赫數呈正相關，而隨壁溫的降低，壓縮性效應更弱。

熵的脈動強度如圖8（c）所示。與溫度脈動類似，熵是不直接與運動學和動力學相關的物理量。對于完全氣體，熵值變化主要與2 個因素有關：一是由黏性耗散引起動能向內能的轉換這一非可逆過程引起；二是由壓力對流體微團的強壓縮作用引起，類似于激波對流體的非等熵壓縮作用。在壁面附近，雖然黏性耗散作用很強，但是黏性耗散的脈動（反映在溫度脈動中）強度不高；而壓縮性效應隨馬赫數的增加和壁溫的降低顯著增強，因此熵脈動強度增加。在外區，熵脈動隨法向高度、馬赫數和壁溫的變化與密度和溫度類似，在此不再贅述。

壓力脈動強度如圖8（d）所示。由壁面平均壓力pw無量綱化的壓力脈動強度隨馬赫數和壁溫的變化趨勢較為復雜。對于最低馬赫數的算例A1，壓力脈動強度沿法向高度的分布先增大后減小，與不可壓縮湍流的結果一致，具體驗證請參考文獻［25］。對于算例A2～A5，隨馬赫數的增加，壁面處壓力降低，而接近槽道中心線處壓力升高。特別是對于算例A5，在外區y＞0.4h至槽道中心線處壓力脈動強度幾乎不變。隨壁溫的降低，壓力脈動強度進一步減小，但在外區壓力脈動強度幾乎為常數這一現象沒有明顯改變。與溫度、密度和熵等物理量不同，壓力既是熱力學量，也是動力學量，是建立動量和能量之間關系的橋梁。Yu 等［26］的研究對壓力脈動泊松方程進行了分解，發現由剪切運動所引起的壓力脈動與馬赫數無關，而由體膨脹運動所引起的壓力脈動則與馬赫數有較大的關聯。在黏性尺度無量綱化后，壁面和槽道中心線處壓力脈動與馬赫數呈正相關。本文以外尺度無量綱化，因此這一趨勢沒有得到直接體現，但是不難總結，壓縮性效應對壓力脈動的影響十分顯著。

3. 3 概率密度分布

概率密度函數（Probability Density Function，PDF）能夠更為完整地反映各物理量在各強度脈動的分布［4］。本文對PDF 預乘了脈動的平方，該曲線與橫軸所圍成的面積即代表了脈動的方差，直接反映了不同強度脈動對均方根的貢獻。

圖9 為y+=30 的預乘PDF 分布。其中溫度、熵、密度和壓力脈動均表現為較強的正負不對稱性。對于溫度和熵脈動，正值脈動分布范圍較小，在約為1.2T′RMS和1.2s′RMS處達到峰值，且高于2.4T′RMS和2.4s′RMS的脈動對均方根的貢獻可以忽略不計；與之相比，負值脈動分布范圍更廣，在約為-1.8T′RMS和-1.8s′RMS處達到峰值，在脈動值低于-4.2T′RMS和-4.2s′RMS范圍內的極端事件對均方根的貢獻較小。整體而言，溫度和熵脈動的預乘PDF 分布隨馬赫數變化不大，而對壁溫變化更為敏感。特別是冷壁算例C2，其強負值脈動的極端事件更為頻繁，對脈動均方根的貢獻更大。

圖9 y+=30處熱力學量脈動的預乘概率密度函數分布Fig. 9 Pre-multiplied probability density functions of thermodynamic fluctuations at y+=30

密度脈動的預乘PDF（圖9（c））則與溫度和熵脈動幾乎呈現關于縱坐標軸線對稱的分布：負值脈動分布范圍較小，但預乘PDF 值更高；正值脈動分布范圍較大，極端事件對脈動均方根的貢獻更高。與溫度和熵不同的是，密度脈動的PDF分布對馬赫數和壁溫均很敏感。隨馬赫數的增加，負值脈動的分布范圍變窄，預乘PDF 的峰值升高，表明極端事件發生的概率更低，對脈動均方根的貢獻更小，而降低壁溫則起到了相反的作用。正值脈動的預乘PDF 分布則隨馬赫數的升高和壁溫的降低而表現為分布范圍更廣、峰值更低的特點，即極端事件頻率更高、貢獻更大。3.2 節對密度脈動強度的討論表明，隨馬赫數的升高和壁溫的降低，近壁處的壓縮性效應更強。圖9（c）中的PDF 分布同樣證實了這一結論的正確性——其預乘PDF 值升高表明流場中密度脈動不僅是速度脈動對平均密度梯度的輸運引起，強壓縮事件所引起的局部流體密度升高這一效應同樣不可忽略。

壓力脈動p′的預乘概率密度分布同樣表現為正負不對稱的特點。Pumir［27］的研究表明，在不可壓湍流中，壓力脈動的PDF 分布fp′呈負偏斜，且正方向尾部接近高斯分布。對于本文的算例，隨著馬赫數的升高和壁溫的降低，負值脈動的預乘PDF 分布變窄，且正、負壓力脈動趨向于對稱。Donzis 和Jagannathan［4］的研究表明，可壓縮湍流中正壓力脈動的概率增大，這與本文中所給出的結果定性上是一致的，表明可壓縮與不可壓縮湍流中的壓力脈動統計特性存在較大區別。

圖10 為外區y=0.2h處的預乘PDF 分布。與近壁區y+=30 處的結果相比，溫度脈動和熵脈動在正值和負值區域上的分布對稱性更強，且隨馬赫數和壁溫的變化不大。密度脈動和壓力脈動則表現處與y+=30 處一致的非對稱性，且隨馬赫數和壁溫的變化趨勢與y+=30 處相同，差別在于極端事件對脈動強度的貢獻更小。

圖10 y=0.2h處熱力學量脈動的預乘概率密度函數分布Fig. 10 Pre-multiplied probability density functions of thermodynamic fluctuations at y=0.2h

3. 4 偏斜度和平坦度

本節討論熱力學量的三階和四階統計矩，即偏斜度S(φ′)和平坦度F(φ′)（其中φ′為任一流動物理量），其定義為

式中：偏斜度S(φ′)反映了隨機變量分布的不對稱性，完全對稱分布的三階矩為0；F(φ′)則反映了隨機變量的間歇性，其中高斯分布的間歇因子為3.0，高于或低于該值表示該隨機變量偏離高斯分布。

圖11 為各算例熱力學量脈動的偏斜度沿壁面法向分布。整體而言，溫度、密度、熵、壓力脈動幾乎在全法向高度均不滿足正態分布。其中溫度脈動的偏斜度隨馬赫數和壁溫變化不大。在y＜0.2h范圍內變化較大，其偏斜度為負，幅值較大，表明近壁處的溫度脈動為負的概率更高。在y＞0.2h的外區，偏斜度從負值逐漸變為正值，表明在外區溫度脈動為正的概率更高。熵脈動的偏斜度的變化趨勢與溫度脈動類似，但是S(s′)隨馬赫數和壁溫變化更為敏感，其中算例C1 和C2 在全法向高度內均為負。

圖11 偏斜度沿壁面法向y/h 分布Fig.11 Distributions of skewness factors， plotted against y/h

密度脈動的偏斜度隨馬赫數的增加而升高，且隨壁溫的降低而降低。對于較低馬赫數的算例A1 和A2，密度脈動在靠近壁面處為正，而在遠離壁面處為負，這一趨勢與溫度脈動相反。而在較高馬赫數的算例中，密度脈動在全法向高度范圍內均為正。在3.3 節的討論中已經指出，由于在較高馬赫數流動中存在較強的壓縮事件，密度脈動的正極端事件比負極端事件發生更為頻繁且強度更高，因此隨馬赫數的增加，密度脈動的偏斜度越來越高。

對于壓力脈動，低馬赫數算例A1 和A2 在壁面處的偏斜度幾乎為0，這與不可壓縮湍流中的結論相一致［28］。而在壁面處的其他法向位置，壓力脈動的偏斜度均為負值。隨馬赫數的增加和壁溫的降低，壁面處的偏斜因子逐漸變為正值，全法向位置的偏斜度也隨馬赫數的增加和壁溫的降低而逐漸升高，由低馬赫數的負值逐漸增加為正值。這一變化規律與密度脈動偏斜度隨馬赫數和壁溫的變化規律類似，這是由于高馬赫數流動中的強壓縮事件會同時引起正密度脈動和正壓力脈動。

圖12 為熱力學量脈動的平坦度沿壁面法向分布。高斯分布的平坦因子為3.0。平坦度越大，間歇性越強，出現極端事件的概率也就越大。對于溫度脈動，在靠近壁面y＜0.006h范圍內，其平坦度均高于3.0，表明即使是在等溫條件的約束下，靠近壁面處的溫度脈動同樣具有高于高斯分布的間歇性。在0.01h＜y＜0.03h范圍內，F(T′)明顯升高，且在平均溫度最大值位置處達到峰值。這一現象是顯而易見的，因為在平均脈動最大值位置處溫度梯度為0，較弱的溫度脈動對總溫度脈動均方根的貢獻很弱，而較強的溫度脈動則貢獻很強，進而表現為較強的間歇性。在0.1h＜y＜0.5h范圍內的外區，F(T′)幾乎為常數，且略低于3.0，表明此時溫度脈動的間歇性較弱。在槽道中心線附近，F(T′)值略有抬升。熵脈動的平坦度變化趨勢與溫度脈動類似，在近壁y＜0.006h和外區0.1h＜y＜0.5h范圍內F(s′) 與F(T′) 具體數值相差也不大，而在0.01h＜y＜0.03h范圍內的峰值明顯升高，特別是對于高馬赫數的流動。整體而言，F(s′) 和F(T′)對馬赫數和壁溫的變化不敏感。

圖12 平坦度沿壁面法向y/h 分布Fig.12 Distributions of flatness factors， plotted against y/h

密度脈動的平坦度F(ρ′)隨法向高度的變化趨勢與F(s′)和F(T′)一致，而各組算例的結果之間存在明顯差異。在近壁y＜0.006h范圍內F(ρ′)隨馬赫數變化不大，而隨壁溫的降低明顯升高，表明近壁區的壓縮性效應使得密度脈動的間歇性更強。在y＞0.1h范圍內，F(ρ′)隨馬赫數的升高和壁溫的降低均有明顯增強，表明壓縮性效應增強了密度脈動的間歇性。

壓力脈動的平坦度F(p′)與其他熱力學量有顯著差異。對于絕熱壁流動，壓力脈動的間歇性在全法向位置的變化不大（算例A1 槽道中心線附近的結果除外），而在冷壁條件下，y＜0.02h范圍內的近壁處壓力脈動間歇性明顯升高，與密度脈動的平坦度在近壁處的變化趨勢一致。

3. 5 熱力學量的互相關系數

對于量熱完全氣體，溫度、熵、密度和壓力之間由氣體的狀態方程相關聯。在等熵流動中若存在小擾動，上述物理量之間脈動由等熵關系確定，其相關系數也為1.0。為了研究可壓縮壁湍流中上述物理量之間的脈動關系，本文進一步對熱力學量脈動的互相關進行考察，2 個流動物理量脈動φ′1和φ′2之間的相關系數定義為［29］

各熱力學量脈動互相關系數R(ρ′，T′)，R(ρ′，s′)，R(ρ′，p′) ，R(s′，T′)，R(s′，p′)，R(p′，T′)沿法向（外尺度y/h）分布，如圖13 所示。以下首先討論密度、壓力和溫度三者的互相關。

圖13 熱力學量脈動間相關系數沿外尺度y/h的分布Fig. 13 Distribution of correlation coefficients between thermodynamic fluctuations， plotted against outer scaling y/h

密度和溫度脈動的互相關系數R(ρ′，T′)（見圖13（a））在壁面附近變化較為劇烈，在靠近壁面時為正，在近壁區迅速下降為負值，在y＞0.1h的區域內達到-0.8～-0.9 的強負相關，且這一相關性隨法向位置、馬赫數和壁溫的變化不大。

密度與壓力脈動的互相關系數R(ρ′，p′) 如圖13（c）所示，二者在壁面是完全相關的，即相關系數為1.0。根據完全氣體狀態方程不難推斷，由于等溫邊界條件的影響，即T′w=0，密度脈動和壓力脈動直接滿足p′=ρ′RTˉ這一代數關系。隨法向高度的增加，二者相關系數逐漸降低，在y＞0.1h的區域隨法向高度變化不大。對比不同算例，不難發現，密度和壓力脈動的相關性隨馬赫數的增加而減弱，而隨壁溫的降低而增強。

壓力和溫度脈動的互相關系數R(p′，T′)如圖13（f）所示。二者在近壁處相關性較強，而在y＞0.1h的外區相關系數幾乎為0，表明壓力脈動對溫度脈動的作用很小。

下面討論熵脈動與其他物理量之間的互相關。熵的控制方程相對簡單，在RANS 和LES 方程中需模型化的未知項最少［21］，因此討論熵脈動具有較強的應用價值。但其物理意義不如其他熱力學量明確，因此需要借助其他熱力學量對其進行理解。但是除近壁區外，熵脈動與溫度脈動的相關系數R(s′，T′)幾乎為1.0，表明二者具有很強的互相關性，與Gerolymos［21］和Kovasznay［30］等的研究結果一致。由熵的定義可知，熵的全微分可以展開為溫度和密度的全微分之和，即

由于溫度和密度脈動在外區相關性很強（如圖13（a）所示），因此熵脈動與溫度脈動之間同樣存在相關性。進一步說，熵脈動與密度脈動和壓力脈動的相關系數R(s′，ρ′)和R(s′，p′)與R(ρ′，T′)和R(p′，T′)分布類似——R(s′，ρ′)在近壁處變化較大，在外區約為0.9；R(s′，p′)在外區幾乎為0，表明在平均意義上，壓力脈動對熵脈動無直接作用。

3. 6 速度脈動對熱力學量的輸運

本節進一步討論速度場對熱力學量脈動輸運的影響，主要分析密度、溫度和熵脈動與流向和法向速度脈動的相關系數，統計結果如圖14所示。

圖14 熱力學量脈動與流向速度和法向速度脈動的相關系數沿y/h 的分布Fig. 14 Distribution of correlation coefficients between thermodynamic fluctuations and streamwise and wall normal velocity fluctuations， plotted against y/h

其中速度與溫度脈動的相關系數R(u′，T′)（見圖14（a））在近壁區值為正，在外區值為負；R(v′，T′)（見圖14（b））在近壁區值為負，在外區值為正。這一現象與Gerolymos 和Vallet［21］的結論一致。如3.1 節所討論，這是由于近壁區平均溫度隨法向高度增加而升高，而外區平均溫度隨法向高度增加而減小所導致的。壁湍流中的速度脈動主要源于上拋和下掃事件。在近壁區，壁面附近的低溫低速流體向上運動，遠離壁面的高溫高速流體向下運動，因此R(u′，T′)為正、R(v′，T′)為負。而在外區，上拋和下掃事件引起面附近的高低速流體向上運動，遠離壁面的低溫高速流體向下運動，因此R(u′，T′)為負、R(v′，T′)為正。

強雷諾比擬中指出，流向速度與溫度脈動具有強相關性，即R(u′，T′)≈1。然而大量數值模擬結果表明，二者的相關系數的絕對值一般不高于0.9，且與壁溫有關。本文的速度和溫度脈動相關系數為R(u′，T′)≈-0.7。法向速度與溫度脈動之間的相關系數的幅值R(v′，T′)與R(v′，s′)相接近，約為0.4。此外，馬赫數和壁溫對R(u′，T′)和R(v′，T′)的影響并不顯著。

根據3.5 節的討論，溫度脈動與密度脈動呈現較強的負相關，而與熵脈動呈現較強的正相關，因此R(u′，ρ′) 和R(v′，ρ′) 與R(u′，T′) 和R(v′，T′)的變化趨勢相反，而R(u′，s′)和R(v′，s′)與之變化趨勢相同。這一結果表明，RANS 和LES 中的湍流熱通量的湍流模型可以等效地用于建立密度和熵脈動通量的湍流模型。

4 結 論

本文對可壓縮壁湍流直接數值模擬數據庫進行了統計分析，研究了不同中心線馬赫數MaC=0.88～6.15 以及不同壁溫比Tw/Tr=1.0～0.2 條件下溫度、密度壓力和熵等熱力學量脈動的相干結構和統計特性，得出以下主要結論：

1） 在高馬赫數冷壁條件下，近壁溫度、密度、熵和壓力均表現為沿流向正負交替的行波包絡結構，這是由于壓縮性效應引起的。

2） 溫度和熵脈動統計特性隨馬赫數和壁溫變化趨勢類似，主要由黏性耗散產熱和壓力對體膨脹運動做功所引起。其中脈動均方根溫度脈動隨馬赫數增大而增強，并且冷壁條件下，近壁處脈動表現出“雙峰值”特點。脈動的預乘PDF分布受馬赫數影響不大，但對壁溫變化更為敏感。偏斜度和平坦度隨馬赫數和壁溫變化不大，近壁處的負脈動概率更高，但在y＞0.2h的外區，正脈動概率更高。

3） 密度脈動與壓縮性效應直接相關，隨馬赫數的增加和壁溫的降低，近壁處壓縮性效應增強，脈動均方根顯著增大；外區壓縮性強弱與馬赫數呈正相關，但與壁溫呈負相關。脈動的PDF分布對馬赫數和壁溫均很敏感。偏斜度隨馬赫數的增加而升高，隨壁溫的降低而降低。平坦度在近壁y＜0.006h范圍內隨馬赫數變化不大，而隨壁溫的降低明顯升高；在y＞0.1h，壓縮性效應增強了密度脈動的間歇性，其隨馬赫數的升高和壁溫的降低均有明顯增強。

4） 溫度脈動、熵脈動和密度脈動具有較強的相關性，而這些熱力學量與壓力脈動的相關性較弱。湍流運動對溫度、熵和密度脈動的輸運作用類似。