SST 湍流模型改進研究綜述

曾宇，汪洪波，孫明波，王超，劉旭

國防科技大學 空天科學學院 高超聲速沖壓發動機技術重點實驗室，長沙 410073

剪切應力輸運（Shear Stress Transport，SST）模型是一個性能出色的全能型RANS（Reynolds-Averaged Navier-Stokes）模型，也是目前廣泛使用的渦黏假設模型中性能評價最好的一個，因此受到模型研究者和有湍流模型使用經驗者的推崇。標準SST 湍流模型的基本原理是：在近壁面處采用k-ω模型［1-2］、在邊界層外區和自由剪切中使用k-ε模型［3］，并通過Bradshaw假設（在邊界層中，剪切應力正比于湍動能）引入雷諾剪切應力輸運的影響。因此它巧妙地結合了k-ω、k-ε以及J-K模型［4］的優點，規避了它們的缺點，能較好地處理湍流剪切應力在逆壓梯度和分離邊界層中的輸運，以其精度高、魯棒性好、適用性廣的優勢成為航空航天領域應用最為廣泛的湍流模型之一。

隨著計算能力的快速增長，計算流體力學（Computational Fluid Dynamics， CFD）也飛速發展，大渦模擬（Large Eddy Simulations，LES）技術和混合RANS/LES 技術等逐漸發展起來，人們可以用更精細的網格、精度更高的算法計算更多、更復雜的算例，畫出更絢麗的流動圖像，得到更多有用的信息。但Spalart［5］指出，這一局面可能會導致湍流建模的停滯不前。閻超［6］認為自SST 湍流模型提出的許多年里，在湍流模型核心理論方法方面沒有突出的成果面世。雖然在工程上RANS 取得了巨大成就，但湍流模型仍伴隨著很多未解決的問題。而且，由于LES 提供了更加豐富、直觀的流場信息，研究者們更樂于通過該技術開展理論研究。這些原因可能會導致RANS 湍流模型的競爭力下降，并可能被LES 技術取代。但事實上，在計算能力上的提升不僅使RANS 的應用市場擴大了，而且RANS 分析更普遍地見于日益復雜的問題中［7］。Hanjalic［8］也認為，RANS 方法已經在工程實踐中根深蒂固，將經驗公式與湍流模型相結合，獲得相對較高的預測精度，以及對絕大多數用戶友好等，這些特點使得RANS 并沒有走向消亡。在可預見的未來，湍流模型仍將是計算流體動力學分析，特別是工程研究最主要的手段［9］。

Durbin［10］在回顧湍流建模的進展中也指出，湍流建模是數值分析的關鍵，而RANS 建模的對象主要是-，即雷諾應力（“-”和上標“′”分別表示雷諾平均方法和脈動量）。根據建模方法的不同，主要可分為雷諾應力模型（Reynolds Stress Model， RSM）和渦黏性模型（Eddy Viscosity Model， EVM）2 類，其中又以形式簡單、易于實現的線性EVM 模型在工程領域發展較快。目前，根據需額外求解的湍流輸運方程數量，線性EVM 模型大致可分為零方程（例如C-S 模型［11］，B-L 模型［12］）、一方程（例如B-B 模型［13］，S-A 模型［14］）和二方程湍流模型。幾十年來的湍流模型發展經驗表明，不同湍流模型的發展是緊密聯系的，例如：為改善混合長度模型提出了C-S湍流模型；B-L 模型又是為了改善C-S 模型中特征長度的計算；為改善零方程無法反映上游歷史影響的問題提出了一方程；為改進一方程中對湍流長度尺度或時間尺度的計算從而研發了二方程。總之，湍流模型發展和改進不是一蹴而就的，借鑒不同模型的建模理念和優點普遍存在。比如與顯式代數雷諾應力模型［15］（Explicit Algebraic Reynolds Stress Models， EARSMs）相結合的SST 湍流模型可以實現對二次運動、旋轉/曲率的敏感化［16］。近年來，許多學者都開展了耦合不同物理現象到SST 湍流模型上的工作，豐富了對SST 的研究內容，同時取得了一定的成果，但研究也表明，大多只能從修正的角度較好地改善對應問題的預測，結果也比較單一。偶爾有耦合較好的SST 修正模型在仿真計算中取得了較好的結果，這是令人欣慰和大受鼓舞的。在未來的一段時間內，合并已發展的物理現象修正方案將是改進SST 湍流模型預測精度和應用范圍的主要工作和進一步研究的問題。

本文從SST 湍流模型的角度梳理了不同學者納入流動物理或物理現象的湍流模型改進研究，對基于SST 湍流模型框架發展的修正研究進行歸納和總結。在第1 節中介紹了標準SST 湍流模型及其能解釋的物理和流動現象；第2 節闡述了在旋轉/曲率、可壓縮性、激波不穩定性、雷諾應力各向異性、應力-應變偏差特性和層流/湍流轉捩等6 個方面中SST 湍流模型的改進與提升以及基于數據驅動技術開展的湍流模型改進；最后論述了目前的發展狀態并展望了重點關注的方向。

1 標準SST 模型及其物理含義

Menter［1-2］提出的標準k-ωSST 湍流模型主要由湍動能和比耗散率2 個脈動量輸運方程組成，具體表達式為

式中：ρ為密度；t為時間；k為湍動能；ω為比耗散率；β*、σk、γ、β、σω、σω2為模型常數；μ為動力學黏性；μt為湍流渦黏性；νt為湍流渦黏性系數；F1為混合函數。

其中：ui為笛卡爾坐標系下xi方向上的速度分量；τij為雷諾應力；δij為克羅內克符號。

湍流渦黏性系數νt為

式中：a1為結構參數，Menter［1-2］取值為0.31；F2為邊界層混合函數。需要說明的是，式（2）中A′、B′和C′的上標“′”旨在與式（1）中A、B和C區分。

模型常數通過混合函數F1計算得到，混合方式為

式中：?1為原始k-ω模型中的模型常數；?2為標準k-ε模型中的模型常數；?為SST 模型中的模型常數。混合只在邊界層尾跡區域內進行。

混合函數F1旨在實現使用k-ω模型對近壁面湍流流動進行預測，而在遠離壁面的流動中通過k-ε模型實現對自由流的捕捉。這2 種模型分別對相應的流場區域有較好的預測結果。

此外，為改善對逆壓梯度流動的預測精度，在湍流邊界層中還引入了雷諾應力正比于湍動能的假設，這是通過湍流渦黏性系數νt中的max函數實現的，并通過F2函數控制只在邊界層中使用該假設。函數F1和F2有相似的變化規律。

建模中使用到的一些其他關系為

式中：ν為分子運動黏性系數；ymin為到壁面的最小距離。

建模中使用到的2 組常數為：①（?1，Wilcox），σk1=0.85，σω1=0.5，β1=0.075，β*=0.09，κ=0.41，γ1=β1/β*-σω1κ2/；②（?2，標準k-ε），σk2=1.0，σω2=0.856，β2=0.082 8，β*=0.09，κ=0.41，γ2=β2/β*-σω2κ2/。

基于SST 湍流模型框架展開的改進研究如圖1 所示，近年來對這些內容的研究仍在進行，其中主要是以內容的影響開展的，而由此發展起來的修正可能會與實際流動不符合，因為絕大多數的流動都會耦合2 種或多種圖示內容的影響。合理地衡量這些內容的影響，理清標準SST 湍流模型所能預測的物理現象和模型的缺陷，明確在流動中的物理機制是如何用數學表達式表達的，起主要影響作用和次要影響作用的機理該如何區分，這是研究SST 湍流模型必不可少的環節。

圖1 SST 湍流模型主要發展歷程Fig. 1 Major developments in SST turbulence model

標準SST 湍流模型對湍流運動物理現象的描述主要是通過式（1）和式（2）式實現的。首先，在不可壓縮條件下，引入了Boussinesq 假設，建立起雷諾應力與平均速度應變率的線性關系：。

其次，對湍動能輸運方程中的各項進行建模。式（1）中的A項：，是流體平均變形抵抗雷諾應力所做的功，表征從平均運動中輸送到湍流運動中的動能，此項通常為正，起到增加湍流動能的作用，稱為湍動能產生項；式（1）中的B項：，是流體抵抗脈動變形的脈動黏性應力所做的變形功，表征脈動運動引起的能量耗散，它總是消耗湍流的動能將其轉化為熱能，稱為湍動能耗散項；式（1）中的C項：·，是由流體自然分子輸運和湍流輸運過程產生的湍流能量擴散，表征脈動壓力、雷諾應力和脈動黏性應力對脈動能量的輸送，稱為湍動能擴散項。

然后，類比湍動能方程的建模，可通過Navier-Stokes 方程得到湍流脈動耗散率ε或比耗散率ω的精確方程。Kolmogorov［17］指出，流動中最普遍的幾個物理過程是非定常、對流（或者平流）、擴散、耗散、散布以及產生過程，結合物理和量綱分析，給出了比耗散率輸運方程的建模。經過一系列發展，最終形成了目前使用的式（2）形式，其中A′、B′和C′這3 項在表達形式和物理意義上與湍動能輸運方程中的A、B、C這3 項的內容一致。

需要指出的是，式（2）中的D項：

是根據ε=β*kω的關系，將ε輸運方程轉換為ω方程時產生的，稱為比耗散率交叉擴散項。

通過上述分析可得，標準SST 湍流模型主要描述的流動物理為

標準SST 湍流模型是在不可壓縮條件下發展起來的，建模后的雷諾應力具有各向同性的性質，對具有方向性的力不敏感，一些其他行為的影響被忽略，從而獲得了相對精確的SST 湍流模型，既保證了一定的流動預測能力，又具有易于實現的計算形式和較少的計算量。然而，隨著計算能力的提升，應用范圍的拓展，標準SST 湍流模型顯現出預測能力不足的問題。由上可知，限制SST 湍流模型預測精度和應用范圍的正是建模過程中的一些限定條件：比如，不可壓縮流動；Boussinesq 假設的應力-應變關系；忽略了高階脈動關聯項的影響以及標定的模型常數。學者們分別從以上幾點限定條件展開研究來改善湍流模型工作性能，使其具有反映應用環境的能力。

2 SST 湍流模型改進研究

近年來許多學者已經提出了切實可行的修正方案來解決SST 湍流模型對旋轉/曲率效應、可壓縮效應、激波效應、各向異性效應、應力-應變關系的偏差效應以及層流/湍流轉捩效應預測不準的問題。雖然面臨的問題對象不同，但解決問題的具體方法大體是一致的，主要可以歸類為以下幾種方式來改進k和ω的輸運方程，從而改善對物理現象的捕捉：① 直接限定湍動能產生項；② 改進渦黏系數表達式；③ 改進雷諾應力表達式；④ 改進耗散項系數表達式；⑤ 增添脈動關聯項的建模關系式；⑥ 改進常系數數值；⑦ 增加新的輸運方程。這些方法或多或少提升了應用領域中關注物理量的預測精度，但這些修正是否會產生破壞其他物理量的行為仍待考察。此外，基于不同物理現象發展的修正方案能否合并耦合到SST 湍流模型中，以及合并耦合的內在機理尚未有定論。為進一步探索這些問題，現對SST 湍流模型的改進研究做一個系統的梳理。

2. 1 旋轉/流線曲率效應

SST 模型是坐標不變的，很難在不修改的前提下準確地預測具有特定方向影響的流動，其中最具有代表性的是參考系旋轉/彎曲壁面流動，顯著增加了湍流的復雜性。許多研究人員對這些內容進行了系統研究［18-23］，指出系統旋轉和流線曲率之間存在類比，2 種現象對流場的影響是一致的，故而大多以流向曲率作為研究對象。流線曲率包括2 種類型，“凸”面和“凹”面，這里術語“凸”面是指沿壁邊界層的曲率中心位于表面內，另一種則相反［24-25］。Durbin［26］指出，2 種曲面中會存在2 種旋轉，一種是旋轉方向與剪切方向相同，旋轉降低湍流強度；另一種是旋轉方向與剪切方向相反，增大湍流強度。在沒有旋轉的情況下，Brethouwer［27］發現，湍動能k由平均切應變產生，隨時間增長；但引入旋轉后，可以提高或降低k的產生速率。另外，對旋轉的通道研究表明，靠近一側墻面的湍流增強，并且靠近另一側墻面的湍流減弱，流動出現不對稱［28-30］。由此可知流場在方向性力（離心力、向心力、科氏力等）的影響下，湍流中能量分配的機制會發生一定的變化，這不僅在宏觀上表現出湍動能的增大或減小，在力的方面體現為雷諾應力的各向異性。

SST 湍流模型中對雷諾應力的建模是根據Boussinesq 提出的渦黏假設：τij=μt·，當i≠j時，其退化為2μtSij，這表明雷諾應力在本質上是各向同性的，但實際情況旋轉/流線曲率引起的影響是特定方向上的，這會使得雷諾應力在不同的方向上有不一樣的表達，從而呈現出明顯的各向異性特征，然而該表達式無法復現這一特征。除此之外，SST 模型求解的是2 個標量k和ω的輸運方程。這使得旋轉/曲率引起的這些效應不會被各向同性的、標量的、對旋轉/曲率不敏感的SST 渦黏模型捕捉到。Menter［2］和Wilcox［31］對如何將物理現象或影響效應納入到湍流模型中去給出了指導，工程湍流建模在強調理論概念的同時，也應注重該學科的經驗性質，湍流模型要求的是對流動物理的建模而不是對其微分方程進行建模。

曲率效應作用到湍流中的宏觀表現是增強或抑制湍流強度，即促進或抑制k的產生，這也就是說在SST 模型基本框架不變的前提下，這一影響可以通過一定的方法耦合到k和ω的輸運方程中。另一個角度是從力的影響來考慮的，旋轉/曲率主要是改變了雷諾應力的表達，進而影響了能量分配和傳遞過程。Huang 等［23］綜述了旋轉/曲率的影響，指出這些效應可以通過將模型常數參數化，以實現抑制或增加湍流動能的增長速率或者將渦黏系數參數化來實現曲率效應。主要是在湍流模型方程式（1）和式（2）中的A、B、A′和B′這4 項上展開修正，或者引入額外的輸運方程，從而使改進后的SST 模型對旋轉/曲率敏感。需要指出的是，在保持SST 模型框架不變的前提下，額外的輸運方程是通過中間參數來影響k和ω輸運方程中A、B、A′和B′這4 項的表達，從而達到旋轉/曲率修正的效果。

2.1.1 對輸運方程中特定項的修正

Spalart 和Shur［32］指出，在均勻旋轉剪切流和弱曲率/旋轉的2 種極端類型的剪切流動中，前者的強旋轉抵消了雷諾應力的效果，而后者雷諾應力水平有相當大的變化，通過比較渦量和應變速率的大小可以得到衡量旋轉/曲率效應的伽利略不變量度。在不穩定的旋轉/曲率影響下，應變率S會超過渦量Ω，反之亦然。由此提出可以設計基于S/Ω比值的經驗修正，并在S-A 湍流模型［14］上給出了一種基于比值S/Ω的、經驗主義的旋轉/曲率修正方案，即在湍流模型方程中的產生項上乘以“旋轉”函數fr1，其表達式為

其中：

式中：DSij/Dt為應變張量的拉格朗日導數；為參考系的旋轉角速度；ξijk為符號函數。

修正后的S-A 模型在較寬范圍的旋轉/曲率流中獲得了更精確的結果［33］，這激發了Smirnov和Menter［34］將這種修正方法應用到SST 模型當中的興趣，對拓展到SST 模型的曲率修正函數做了適當的修改，然后通過它控制SST 模型中湍動能的產生和比耗散率的生成行為，曲率修正后的SST 模型為

曲率修正函數的下限為0，表征強凸曲率穩定流動情形（無湍流產生）；上限表征強凹曲率情形（湍流增強），1.25 為文獻［34］中給出的最佳經驗常數值。

應用到SST 中需要的一些修改為

式中：D2=max(S2，0.09ω2)；cr1=cr3=1，cr2=2。

修正后的SST 湍流模型顯著提高了捕捉旋轉引起的非對稱速度分布的能力和預測精度，與直接數值模擬（Direct Numerical Simulation，DNS）和RSM 模型的結果對比表明，修正后的SST 模型具有相當的競爭力，且計算成本顯著低于RSM。但就實現而言，在求解r?中使用了應變率張量的導數，而這在代碼中實現十分復雜。Musa 等［35］對此做了改進，將r?的求解式變為

在U 形管道中測試了改進后的r?，結果表明能一樣有效地預測旋轉/曲率效應，并且需要較少的計算量［36］。

此外，Bradshaw［37］研究了Richardson 數與旋轉/曲率影響之間的關系，指出這兩者之間存在相似的特征，并提出用Richardson 數來表達曲率的影響的建議。經過長期發展，提出了許多依賴Richardson 數的旋轉/曲率影響方法，將影響歸入到對湍流長度尺度變化的修正［38-40］，具體的表達式為

式中：l為湍流長度尺度；l0為零旋轉時的混合長度；Crc為旋轉/曲率敏感常數系數；Ri為Richardson 數。

根據湍流渦黏性μt與湍流長度尺度l成正比，可以直接在渦黏性表達式上乘以湍流長度尺度變化的修正公式。然而，在雙方程湍流模型中，對輸運方程中一個或多個湍流源項的系數進行修正更有吸引力，其中又以對耗散率方程/比耗散率方程的耗散項進行修正較為普遍。Hellsten［41］將旋轉/曲率效應歸入到SST 模型中k方程的耗散項上，通過改變耗散行為從而間接影響湍動能的表達。修正后的比耗散率輸運方程為

給出的修正公式為

Richardson 數的廣義定義為

由Ri的表達式可知，當Ω/S=1/2，Ri有最小值-1/4。如果曲率足夠強（Ri＞0），函數F4會降低B′modified項，從而增加ω的增長率，這表明曲率對湍流的抑制。研究結果表明了修正后的SST 湍流模型在旋轉數低于0.1 時與展向旋轉通道流和凸曲面邊界層流動實驗結果更吻合的預測，但在凹曲面壁流動和旋轉圓柱體的軸向流動中是否具有更好的預測能力仍需進一步評估。

任蕓等［42］在SST 湍流模型上結合了Spalart和Shur［32］以及Hellsten［41］提出的旋轉/曲率修正方法，同時對式（1）中的A項和式（2）中的A′項和B′項引入旋轉/曲率敏感化修正。這種直接結合的修正方法為湍流模型的研究提供了參考，但這種結合的內在聯系沒有得到進一步的闡述。

旋轉湍流的穩定性是一個經典問題，穩定性的程度與旋轉的強弱有關，其中“穩定”指的是湍流動能的衰減，“不穩定”指的是湍流動能的增長［43-44］。從穩定性的角度，Reif 等［45］提出，如果湍流模型能夠捕獲從不穩定到穩定的分岔，或者捕獲從穩定到不穩定的分岔，則認為模型能夠反映局部旋轉效應，并將這種方法稱為“分岔法”。Arolla 和Durbin［46］通過對“分岔法”的理解，提出在比耗散率方程中的產生項上乘以旋轉/曲率效應乘法因子的修正模型，乘法因子為

式中：α1=-0.2。

修正SST 模型的ω方程為

在測試案例中對該模型進行了測試，并比較了基于“分岔法”的修正和其他修正系數的方法，結果表明該模型得到的結果是令人鼓舞的。

Huang 等［23］指出，直接在輸運方程的產生行為和耗散行為上引入旋轉/曲率的修正所能實現的改進是有限的，值得注意的是，旋轉/曲率通過雷諾應力影響平均流動，而雷諾應力受應變率張量影響，其中切向雷諾應力（偏雷諾應力）與應變率張量線性相關，因此，一種可能的方法是修改渦黏性μt來將旋轉效應納入模型。

2.1.2 對渦黏性表達式的改進

Reif 等［45］在EARSM［47］解的指導下，通過對渦黏性進行修正來考慮近壁面湍流中的曲率效應，渦黏性系數可以寫為

式中：Cμ為模型系數，一般為0.09；f(k，ε，ω，…)為流場輸運量的函數，由湍流模型決定。

若通過渦黏性實現對旋轉/曲率敏感化，一般情況下，使Cμ對旋轉/曲率敏感更方便。Reif等［45］采用橢圓松弛建模方法來考慮靠近壁面效應，給出修正的模型系數為

在非旋轉/曲率流動條件下，該修正公式會自動簡化為原始的標量形式。

Arolla 和Durbin［46］直接將Reif 等［45］提出的方法拓展到SST 模型上，渦黏系數的表達為

為保證數值穩定性，給定了修正渦黏系數的上限值為2.5。再通過對的理解和分析，又推出了更簡潔的渦黏系數修正公式：

顯式代數雷諾應力湍流模型對旋轉/曲率是敏感的。York 等［48］采用廣義EARSM 的解來計算雷諾應力的各向異性張量，由此給出對旋轉/曲率的修正：

式中：K1～K8為模型常數；W為旋轉項，計算式為

而W常采用經驗公式，表達式為

Dhakal 和Walters［49］將York 等［48］對旋轉/曲率的修正直接應用到SST 模型上，對標準SST模型中的渦黏性系數表達式進行轉換：νt=，然后用替代其中的Cμ。結果表明該修正方法相較于標準SST 模型能更好地取得與實驗和LES 數據的一致性，但也會存在高估旋轉/曲率引起的湍流抑制以及低估湍流增強的現象。

2.1.3 增加輸運方程

受旋轉/曲率影響的湍流是高度各向異性的，而SST 模型的基礎是渦黏假設，本質上不具備反映雷諾應力各向異性的能力。發展對旋轉/曲率敏感化最合適的起點是對雷諾應力各向異性張量的輸運方程進行理解和分析，如EARSM和RSM 模型，然后通過對這些模型做合理的簡化，可以得到滿足應用需要的簡化模型，其優點在于該簡化模型也能一定程度上呈現雷諾應力本身的特性，從而能夠更好地預測流場信息。除了上述這些方法外，通過增加新的輸運方程來衡量旋轉/曲率效應的修正方案是合理的，這里新增的輸運變量主要是用來描述流動的各向異性特征。

Durbin［50］提出的一個新變量為ν2，表示垂直于流線的湍流應力，并給出了這一變量的輸運方程為

受這一模型的啟發，Dhakal 和Walters［51］提出了對旋轉和曲率敏感的三方程模型，對渦黏性系數的定義為

ν2的輸運方程為

λ的表達式為

式中：x=2(1-W/S)/9。相關參數含義可參考文獻［50］。

可以把ν2=λ2k作為旋轉效果的判斷變量，當λ=1 時，渦黏性系數就恢復到標準SST 模型，當λ＜1 時，旋轉/曲率修正生效。

圖2［51］展示了在旋轉管道流中不同修正模型對湍動能分布的預測結果，其中縱坐標k*已采用平均壁面摩擦速度的平方進行歸一化。通過對比可知，三方程的SST 模型預測精度更好，這在于該模型結合了旋轉校正和各向異性輸運方程，對存在系統旋轉/曲線曲率的流場的預測精度進一步提高。同樣地，其他修正也取得了正確的預測趨勢。

圖2 旋轉通道流湍動能剖面［51］Fig. 2 Turbulent kinetic energy profile of rotating channel flow［51］

通過上述的分析可知，從不同的角度，使用不同的修正方法都能一定程度地提高SST 湍流模型在旋轉/曲率中的預測精度，而最具有發展前景的方向可能是突破Boussinesq 假設本身的桎梏，使雷諾應力盡可能地呈現出各向異性的能力，逐漸趨于雷諾應力本身的特性。RSM 和EARSM 模型是目前最趨于雷諾應力本身性質的湍流模型，而從宏觀上控制湍動能或比耗散率的產生行為或耗散行為的修正方法要比從力的角度給出的修正方案表現出較差的預測性能。然而具有發展前景的是分岔模型和三方程模型，兩者都借鑒了EARSM 的求解方法和發展思路，這是使得修正后的SST 模型具有更好預測精度和更廣泛預測范圍的主要原因。此外，直接將渦黏性擴展到應變率的二階關系式或更高階的關系式，從而使雷諾應力可以表現出各向異性的特征，也可以實現對旋轉/曲率效應的捕捉。

2. 2 可壓縮效應

壓力波動會導致流體單元體積波動的湍流稱為可壓縮湍流，進而通過速度、溫度和密度的脈動，影響湍流平均運動［52］。Morkovin［53］研究了來流馬赫數＜5 的超聲速平板邊界層，并提出了Morkovin 假說：脈動密度的均方根相對于平均密度較小時，密度可以看作是一個被動標量，可壓縮湍流邊界層的結構與不可壓縮湍流邊界層的結構是相似的。Gatski 和Erlebacher［54］和Pirozzoli 等［55］也表明來流馬赫數＜5 時，可壓縮湍流和不可壓縮湍流大部分特性差異較小，可壓縮效應可以忽略不計。Bradshaw［56］討論了湍流模型是否需要修正，指出不可壓湍流模型仍然是一個很好的基礎，甚至可以直接使用。基于這些研究，Morkovin 假說被應用于大多數工程可壓縮壁面湍流的計算，比如SST 湍流模型直接通過計及密度的影響而應用到可壓縮流動。

Coleman 等［57］指出可壓縮效應對于可壓縮湍流2 個方面的影響：① 當流場Ma＜5 時，可壓縮效應主要影響平均量；② 壓縮效應會影響到流場中熱力學量（壓力、密度和溫度等）的脈動。在第1 種情況下，Morkovin 假說在邊界層中較好地成立；在第2 種情況下，流體的可壓縮性會引起湍流結構及湍流動力學特性的變化，不能使用Morkovin 假說。基于不可壓縮條件發展起來的SST 模型并不能正確反映這些變化，必須對其改進，納入可壓縮效應的影響。為了更好地理清楚可壓縮對流場的影響機制，Wilcox［58］、Sarkar［59］和Zeman［60］在模擬高速流動中對流體的可壓縮性影響方面進行了探索性研究，認為由于壓縮或擴張作用引起的湍動能和熱能之間的交換是影響可壓縮湍流的重要因素。可壓縮湍流中平均內能、平均動能和湍動能之間能量傳遞方式如圖3［52］所示，圖中平均動能、平均內能和湍動能之間的交換通過細箭頭所示的項進行，該圖清晰地展示了能量與能量之間是通過哪些量直接影響的。

圖3 可壓縮湍流的能量平衡［52］Fig. 3 Balance of energy in compressible turbulent flow［52］

對可壓縮湍流流動一般采用Favre 質量加權平均方法進行處理。在可壓縮條件下，密度ρ不再為常數，Favre 平均的湍動能方程相對不可壓縮條件下的湍動能方程主要變化在式（9）中的B″、E和F這3 項。E項和F項是由于體積膨脹而多出來的項，其中前者為脈動壓力與脈動速度散度的相關項（即壓力膨脹項），后者為脈動湍流質量通量與壓力的相關項（壓力做功項）［61］；B″項為采用Favre 平均方法而導致的可壓縮性耗散率。三大守恒方程在2 種情況下是相似的。

式中：P為Favre 平均的壓力；“～”表示Favre 平均；。

然而，SST 湍流模型是在不可壓縮條件下由近壁面湍流模型k-ω和自由流湍流模型k-ε組成，現在要使SST 湍流模型具備可壓縮效應的捕捉能力，那么按照上面的分析可知，可壓縮條件下SST 模型中的k-ω模型在Ma＜5 的條件下變化不大，具有不可壓的特性；在Ma＞5 時，應該能考慮邊界層流場結構的變化；而k-ε模型則應該很好地反映流場中各脈動量的可壓縮效應。除此之外，可壓縮修正后的SST 模型還應該能反映可壓縮下湍動能和熱能之間的傳遞行為。

基于以上這些分析，下面將主要從考慮可壓縮效應后模型方程中新增的項以及流場結構的變化等方面進行闡述，同時給出考慮這些可壓縮效應后的SST 湍流模型的主要變化，及其在預測能力上的改變。

2.2.1 湍動能耗散率修正

通過上述分析可知，在輸運方程k、ω以及ε等其中任意一方上的可壓縮改進在理論上都可以被借鑒并引入SST 中。Sarkar［59］和Zeman［60］通過對可壓縮流的DNS 分析指出可壓縮性對湍流流場的影響是耗散的。

這里忽略了一些高階項。再令

進一步變換得到

一般而言，

這一關系式在均勻湍流中是準確的，在高雷諾數、非均勻湍流中也是一個很好的近似。

無散度耗散率是由能量級串過程引起的，且在各向同性湍流中只與脈動渦量的平方有關，通常認為該項不受可壓縮性影響，它可以被認為是等效的“不可壓縮”耗散率，即。

而膨脹耗散率與脈動速度的散度有關，只在可壓縮湍流中出現。

Zeman［62］假設可壓縮湍流流場中存在渦旋激波，這些渦旋激波直接影響膨脹耗散率，而不影響無散度耗散率。再對照實驗和DNS 結果的分析，給出了表征可壓縮效應的無量綱參數，湍流馬赫數Mat為

式中：c為當地聲速。

湍流馬赫數表征湍流波動信息傳播速度與聲傳播速度的比值，這里湍動能反映了湍流波動傳遞信息的特征速度尺度。

基于湍流馬赫數對膨脹耗散率εd建模：

式中：γ為比熱比。

Sarkar［59］考慮了湍流波動在聲學時間尺度上的演化，表明可壓縮性的變化對耗散率的無散度分量的影響相對于對膨脹分量的影響可以忽略不計。還觀察到膨脹耗散率與無散度耗散率之比與湍流馬赫數的平方有關。基于對聲波時間尺度上漲落演化的分析，給出的膨脹耗散率模型為

Wilcox［31］指出上述膨脹可壓縮修正都能很好地預測混合層的增長速度，但都不能準確地預測壁面邊界層情況下表面摩擦系數的變化。這表明流場的可壓縮效應在不同的區域可能是不同的，即在流場中間或遠離壁面區域的可壓縮機制，與近壁面邊界層的可壓縮機制存在差異，而這種差異不能僅僅反映在湍流馬赫數數值的變化上。

El Baz 和Launder［63］沒有給出εd的具體表達式，但從對不可壓縮模型進行可壓縮修正的角度提出了一種修正，以解釋由于壓縮效應而產生的額外耗散率，并選擇ε輸運方程中耗散項的模型常數進行修改，以此來匹配觀測到的可壓縮各向同性湍流的衰減率。這個常數修改為

有了上述工作，Wilcox［64］根據耗散率ε與比耗散率ω之間的轉換關系ε=β*kω，對其變換后有

這表明可壓縮效應在k和ω輸運方程中是同時存在的。基于Sarkar［59］和Zeman［62］對膨脹壓縮性修正的工作，Wilcox［64］改進了輸運方程中耗散項的常數系數β和β*，使其隨湍流馬赫數變化：

通過上述可知，一是找出無散度耗散率εs和膨脹耗散率εd之間的關系，從而在湍流模型中納入膨脹耗散的影響；二是直接修正輸運方程中耗散項的系數來引入可壓縮膨脹耗散效應。雖然采用的方式不同，但最終體現在湍流模型方程上的修正方式卻是類似的，即在無散度耗散率項前乘以表征可壓縮膨脹耗散效應的函數，改變耗散項的表達，達到納入可壓縮膨脹耗散效應影響的目的。

Erdem 和Kontis［65］類比k-ω湍流模型與SST模型有相似的結構，直接將Wilcox［64］對膨脹耗散率的修正方法引入SST 模型中。可壓縮性參與了湍動能方程中的耗散項和比耗散率方程中的耗散項。引入膨脹耗散影響的SST 湍流模型為

結果表明，在較寬的壓力比范圍內，該方法與實驗數據吻合較好，具有一定的預測精度。

Wilcox［64］在函數F(Mat)中使用了Mat0，這是為了在湍流馬赫數較高的可壓縮自由剪切層中膨脹可壓縮修正生效，而在趨于湍流馬赫數較低的邊界層近壁面區域不生效。Brown［66］發現對于馬赫數＞5 的湍流邊界層，湍流馬赫數很容易超過Mat0值，這導致了高馬赫數湍流邊界層的表面摩擦和換熱顯著減小。為了對馬赫數＞5 的情況也能使用這種可壓縮性校正，重新定義湍流馬赫數為

通過這一修正，可以實現可壓縮膨脹率修正只應用在近壁面區域湍流邊界層的外部區域而無需考慮湍流馬赫數。Tu 等［67］評估了這種修正，并表明湍流馬赫數的修正使分離區域比標準SST 模型略小。

Suzen 和Hoffmann［68］將膨脹耗散的可壓縮效應同時引入SST 模型中，但同時也考慮了壓力膨脹的效應（式（9）中的F項），可壓縮效應主要在SST 模型中的k-ε方程上進行，然后通過混合函數F1將這些影響引入SST 模型中。

可壓縮修正后的SST 模型為

式（13）采用了Sarkar［59］提出的壓力膨脹耗散率模化方法：

修正后的SST 模型包括了可壓縮耗散和壓力膨脹的影響。Tu 等［67］指出同時考慮膨脹耗散和壓力膨脹修正會導致預測的分離區域比實驗測量的大，與標準SST 模型的預測結果對比表現出更差的預測精度。

康宏琳［69］也在標準SST 模型的框架上給出了結合式（9）中B″、E和F這3 項可壓縮修正的湍流模型，旨在準確模擬高超聲速湍流流動，在這種流動中基于不可壓縮條件發展的湍流模型已不再適用。

這些方法都旨在實現根據流場中局部湍流馬赫數信息來判斷在哪些區域引入膨脹可壓縮效應修正，從而改善湍流模型對流場結構捕捉精度的目的。

2.2.2 壓力膨脹項修正

式（9）中的E項為壓力膨脹項，是由于壓力波動而同時引起的體積波動所產生的功。它可以是正的，也可以是負的，為負數的情況下表示額外的耗散［59，62-63］。

Fujiwara 和Arakawa［70］對可壓縮各向同性和均勻剪切湍流的DNS 數據研究發現，壓力波動和膨脹兩者的相關性可以用湍流雷諾數和湍流動能產生與耗散率之比的影響來表征。Sarkar［59］對衰減的可壓縮湍流和均質剪切湍流中的壓力膨脹相關性演化進行了分析，建立了壓力波動的泊松方程，考慮壓力波動不可壓縮部分和可壓縮部分的演化，并將壓力波動分解為快速變化部分和緩慢變化部分，基于不可壓縮湍流中壓力-應變關系的建模思想，提出了對壓力膨脹項的修正：

Zeman［62］根據壓力波動方差的輸運方程的平衡，也給出了壓力膨脹項的模化公式：

式中：相關參數含義可參考文獻［62］。

El Baz［71］提出的修正主要是基于不可壓縮流動中壓力-應變相關項的模型，可壓縮性的變化是通過引入一個常數來實現的，這個常數被認為是可壓縮性的一個本征函數，在不可壓縮極限時其值為零。由此得到了壓力膨脹項的模型為

Shyy 和Krishnamurty［61］指出Sarkar［59］模型以及El Baz［71］的模型都是用于混合層的，當將其應用于邊界層時，它們會降低湍動能的水平，這是一個不希望出現的結果；Zeman［62］提出的模型改善了邊界層中對數層分布規律的預測。

壓力膨脹修正也表明，可壓縮效應在流場的不同區域表現出不同的物理行為，基于混合層發展的壓力膨脹修正模型應用于壁面邊界層時不能提高預測精度。然而目前的修正方案還無法根據修正公式嚴格地區分這些。

2.2.3 壓力做功項修正

雙方程模型在不可壓縮流體中成功的原因之一是，除了εs或ω輸運方程外，所有其他方程都是精確輸運方程的模型形式。對于可壓縮流動，湍動能方程經過Favre 變換后，除了上述2 處不同之外，還有式（9）中的F項，其是湍流質量通量與壓力梯度之間的相關項，這一項的未知量是湍流質量通量，表明可壓縮性的影響是通過密度變化來實現的。此外，湍流質量通量似乎也是非均勻可壓縮湍流的基礎，因為其表征平均密度梯度的影響，可以類比各向異性張量表征的是平均速度梯度的影響。

Ristorcelli［74］指出，除非存在較大的密度梯度，否則質量通量對常見的單向剪切流（如平板邊界層和各種自由剪切層）的貢獻不大。預計質量通量項在更復雜的流動中是重要的：這些流動包括由于高馬赫數或燃燒、分離或再附著（拐點）、冷壁面邊界條件、平均膨脹、沖擊、逆壓梯度或在斜坡型流動中發生的強流向流動。因此，提出了對湍流質量通量的可壓縮修正方法，試圖通過湍流質量通量模型來引入壓力做功項對湍流增強或減弱的影響。

Gaviglio 等［75］在實驗中觀察到的總焓不變是成立的。基于這一點，Krishnamurty 和Shyy［72］假定滯止焓是不變的，由此推導出了湍流質量通量的表達式為

式中：相關變量含義可參考文獻［75］。

Rubesin［76］特別引入了關于波動焓的假設，并要求規定一個多變常數，提出對質量通量的模化為

式中：相關變量含義可參考文獻［76］。

Ristorcelli［74］對質量通量的建模進行了回顧，通過推導湍流質量通量的演化方程，得到質量通量與平均密度梯度成正比的結論。Chassaing［77］在對可變密度湍流的回顧中給出了對質量通量的模型：

劉景源［78］研究了上述可壓縮修正的SST 模型與標準SST 模型在高超聲速繞流中的表現，表明可壓縮修正后的SST 模型具有更高的預測精度。甘文彪等［79］在分離流動中使用了可壓縮修正的SST 模型，表明適當的可壓縮修正能改善超聲速和高超聲速分離流動的預測。

2.2.4 其他可壓縮性修正

針對在可壓縮條件下湍動能輸運方程新增項的建模工作已經有很多，并取得了一定的成果，但將全部的可壓縮修正方案統一應用于流動計算中，并且取得較好結果的公開資料卻很少。基于不同物理假設發展起來的可壓縮修正模型耦合應用仍然需進一步探索和研究。2.2.1～2.2.3 節的內容闡述了在可壓縮條件下湍動能k方程中新增的膨脹耗散率部分、壓力膨脹部分和壓力做功部分，在理論上給出了精確的湍動能方程，并對其新增的部分給出了合適的建模方法，使得湍動能方程盡可能多地涵蓋了流場的信息。然而雙方程輸運模型以及其中的SST 湍流模型除了包含有湍動能方程外，還有比耗散率ω輸運方程或耗散率ε（ε=β*kω）輸運方程。通過Navier-Stokes 方程和湍動能方程可推導ε精確的輸運方程，并且研究表明，可壓縮下的ε方程與不可壓下的有所不同，這一點與湍動能方程是一致的，即也會出現類似湍動能方程一樣的可壓縮效應。

Krishnamurty 和Shyy［72］認為精確的耗散率輸運方程在考慮可壓縮效應后，會像湍動能方程一樣出現一些具有可壓縮特征的項，并將這與無散度耗散率輸運方程形式不同的項稱之為斜壓扭矩影響的項（Bε），這是由壓力梯度和密度梯度方向不同而產生的產生項。εs輸運方程通常遵循不可壓縮形式，從而忽略了斜壓扭矩的影響。而缺乏Bε的影響可能是造成計算不準確的原因之一，故對Bε進行了模化，并將其加入到無散度耗散率 輸運方程中以考慮這一影響。Bε的模化形式為

式中：Cε1=1.43，需要指出的是沒有實驗數據或DNS 數據來指導選擇這個常數。

除此之外，隨著馬赫數的增加，流場的結構也會有所變化。基于不可壓縮條件發展起來的可壓縮湍流模型認為流場結構的變化不大，并認為不需要特意考慮這一影響。正如Morkovin［53］指出的，在馬赫數＜5 的情況下，可壓縮湍流邊界層的結構與不可壓縮湍流邊界層的結構是相似的。但這也意味著馬赫數越大邊界層的流場結構存在改變的可能性，而自由流區域更有可能。為了提高預測精度，在湍流模型中引入結構變化的影響也是必不可少的。

Sarkar［80］較早地研究了可壓縮流動下流場結構是否會發生變化的問題，觀測表明可壓縮性會極大地減少湍動能的再分配行為。研究發現梯度馬赫數可以很好地作為一個無量綱參數來衡量可壓縮對流場結構的影響，梯度馬赫數為

式中：l為湍流長度尺度；c為聲速。

最初最具代表性的結構壓縮效應模型，是由Heinz［81］提出的，通過對的值與湍動能產生率和耗散率比值的研究，對k-ε模型中的常數Cμ進行了修正，使其隨梯度馬赫數進行變化來引入可壓縮對流場結構的影響，這也就是說常數Cμ可以表征為流場的結構參數：

而當梯度馬赫數為0 時，系數的值與不可壓下的常數值0.09 不一致，因此Niu 和Hou［82］將其改進為

Cμ和SST 模型中的系數β*是一致的，將上述修正應用到SST 模型當中去，只要進行替換。

韓省思［83］指出通過Cμ=0.09exp (-0.4Mag)表征的結構可壓縮修正來計算耦合的湍流渦黏性μt可能會產生較大的誤差甚至錯誤的結果，為解決這一問題，引入了Durbin［84］提出的渦黏性可實現性限定來保證其在正確的范圍，限定式為

此外，SST 模型中在近壁面區域內采用的是Bradshaw 的假設，即湍流邊界層中的主湍流應力與湍流動能成正比，由此引入了結構參數a1，并取值0.31，這是基于不可壓縮平衡邊界層數據。值得注意的是，可壓縮零壓力梯度邊界層的結構參數也表現出相似的值［85-86］。而對于非平衡可壓縮流，結構參數值需要增大才能獲得更好的預測結果。劉景源［87］指出SST 湍流模型引入的結構參數a1在高超聲速繞流中并不成立。一些研究者在使用標準SST 模型研究激波不穩定現象中也指出，Menter［2］校準的結構參數a1在預測激波誘導分離中有較大的影響。Georgiadis 和Yoder［88］在激波/湍流邊界層相互干擾（Shock Wave/Turbulent Boundary Layer Interaction， SWTBLI）的流動中研究了0.31 ≤a1≤0.4 范圍內結構參數a1的影響規律，表明渦黏系數限制器中結構參數在預測雷諾應力中確實存在重要影響，將a1提升到0.355 附近，可以顯著提高激波與湍流邊界層相互作用的分離流預測精度，如表1［88］所示實驗數據和SST 模型對分離程度的測量結果。Evans 和Lardeau［89］進一步指出將結構參數a1提高到0.355，它可以完全消除SST 模型中渦黏系數限制器本身的任何影響，但在許多復雜的流動配置中得到了很大的改善，在復雜的流動結構中，將a1增加到至少0.36 可得到更穩定的解。總體而言，標準SST 湍流模型中的結構參數a1在很大程度上高估了分離區域的湍流黏度比，同時也低估了回流區域的湍流黏度比，而通過改變結構參數的值可以實現更好的預測精度。

表1 在Ma=2.25 的UFAST SWTBLI 算例中實驗與不同a1值的SST 模型對分離程度的測量結果［88］Table 1 Measurement results of separation extent for experiment and SST model with different a1 in UFAST SWTBLI of Ma=2.25［88］

通過以上的研究可知，可壓縮效應的影響隨著馬赫數的增加而不斷增強，雖然應用不可壓縮條件發展的湍流模型能取得一定精度的計算結果，但完備的可壓縮模型在理論上是更完備的。針對可壓縮效應的脈動關聯項以及流場結構的變化等開展了工作，得出了一些有意義的結論，可壓縮性是區域性的，但單獨使用基于湍流馬赫數或梯度馬赫數發展的可壓縮機理還不能很好地表征可壓縮效應，直接耦合不同的可壓縮修正也難以取得更好的預測精度，這可能在于可壓縮下建模的脈動關聯項在本質上也是流動物理的產生行為、耗散行為和擴散行為中的一部分。

2. 3 激波不穩定性效應

無論是膨脹可壓縮性修正還是結構可壓縮性修正，均是在可壓縮混合層這一基本自由發展的湍流流動研究中發展來的，而本節的出發點旨在將激波/湍流邊界層相互作用這一基本物理現象對流場的影響納入湍流模型中。

過去幾十年通過壓縮角、膨脹壓縮角、正激波和斜激波等裝置［90-92］對SWTBLI 做了廣泛的研究，在高速環境中激波與湍流邊界層之間的耦合非常強，常伴隨著邊界層分離和激波低頻脈動現象。流動分離常常與逆壓梯度相統一，而對于產生激波低頻不穩定現象的機理仍沒有完全統一。在激波與均勻各向同性湍流、均勻剪切湍流、湍流射流、剪切層、湍流尾流等相互作用研究的回顧中可知［93-97］，激波區域中的湍流特征速度、時間和長度尺度發生了很大的變化，而這取決于激波的強度、方向、位置和形狀，以及流動幾何形狀和邊界條件，但速度波動的放大和長度尺度的實質性變化是激波/湍流邊界層相互作用最本質的結果。

張昊元等［98］研究了SST 模型中湍動能k忽略對RANS 方程的影響，指出部分湍動能項的忽略會改變有效平均壓力場，從而影響分離點附近的逆壓梯度，使得流動分離區范圍大幅度變化。Clemens 和Narayanaswamy［96］提出剪切層卷吸再補給機制來描述激波的低頻脈動，認為上游邊界層波動似乎是擾動的一個重要來源，且影響隨著分離流尺寸的增大而減小。此外，范孝華等［99］就激波低頻非定常性的幾種物理機制做了評述，指出不同的物理機制都在一定程度上提及了上游/下游機制的綜合作用，表明調和上游/下游機制之間的爭論，對于解決SWTBLI 低頻非定常性的驅動機制具有較大潛力。程劍銳等［100］構建了一種新的彎曲激波/邊界層干擾理論體系，將流場劃分為彎曲激波/膨脹波干擾區、彎曲激波/分離激波干擾區和邊界層流動分離區3 個典型流動區域。這些工作為更好地將激波/湍流邊界層干擾流動物理納入湍流模型中奠定了基礎。

2010 年AIAA 的SWTBLI 研討會報告指出，湍流模型對激波/湍流邊界層相互作用預測的影響與網格的影響一樣強烈［101］。Vieira 和Azevedo［102］比較了不同湍流模型的預測能力，指出相較于其他渦黏模型，SST 湍流模型在大多數SWTBLI 情況下顯示了更好的結果。EARSM和RSM 是可以改善結果的替代方案［103］。

盡管標準SST 湍流模型在預測激波/湍流邊界層的相互干擾中整體表現出較好的結果，但其計算的平均激波厚度比實驗中觀察到的更小，這在于激波不穩定性導致激波平均厚度遠遠大于穩態激波的平均厚度，而標準SST 模型并沒有考慮這一物理現象。此外，激波厚度還取決于計算的數值格式和激波附近網格的分辨率［101］。Sinha等［104］指出計算的激波變薄，會使得湍動能和無散度耗散率的放大量迅速增加，而這是由于產生項和壓力膨脹項與激波厚度倒數相關的非物理變化導致，通過對相關工作的歸納整理，認為原來的渦流黏度假設在通過激波的高度非平衡流中失效，但通過等式，將渦黏性μt設為0，能獲得更精確的湍動能k。進一步指出，非定常激波運動會抑制k在激波區域中的放大，并建議通過抑制激波區域內湍流動能產生項或渦黏系數從一定程度上衡量激波不穩定性效應。根據線性分析結果，提出了一個可行的激波不穩定性修正模型，要求在激波區域湍動能產生項的計算式為

式中：b′1為激波非穩態參數，表征由激波不穩定性和上游速度波動之間的耦合引起的阻尼效應，當M1n＜1 時，不應用激波不穩定性修正；u1為激波前的來流速度；c1為激波前的當地聲速。M1n是在相對于激波靜止的參考系中的測量值。

為將這一約定與原來的湍動能產生項公式耦合起來，故將湍動能產生項中的渦黏性μt替換為，故有

以此實現在激波區域內對k的捕捉［105］。

在k-ω模型中，fs和ξ的求解方式為

式中：激波區域根據比值Sii/Ss確定，在高可壓縮區域fs=1，在不可壓縮區域中fs=0。

激波不穩定性修正僅適用于k方程。激波不穩定模型改變了平均動能和湍流動能之間的傳遞，但不影響總能量的整體守恒。此外，使用激波不穩定修正獲得的解是穩態的，并且修正考慮的是沖擊不穩定的平均效應。采用這一修正可以準確預測激波/均勻湍流相互作用下湍動能k的放大。

后續工作中對C′μ和fs的求解方式為［106-108］

式中：U∞為自由流速度；δ0為入射邊界層厚度。Raje 和Sinha［109-110］進一步將激波/湍流邊界層相互干擾的物理納入SST 模型中，此外還納入了各向異性和流場結構變化的物理模型，類比Menter［2］的分析，湍動能產生項的等效形式為

即湍動能的產生項用等效雷諾應力τeq和平均膨脹Sii表示。根據近壁面邊界層附近雷諾應力正比于湍動能的關系，可得

式中：su為考慮激波不穩定效應的參數。

通過變換可以得到

將其寫成SST 模型中渦黏系數的表達形式：

需要指出的是，這里使用的是應變率張量的值S，而不是渦量張量的值Ω。對于弱激波，激波非定常模型參數su假定值為2 左右；對于M1n→∞，su的漸近線為1.29，這表明激波不穩定性修正后的結構參數取值在0.4 ≤≤0.62 范圍內。更大的產生較小的分離和相互作用區域。 此外激波強度也有影響。 Raje 和Sinha［109-110］選擇=0.4 作為激波區域結構參數的極限值，以滿足整個馬赫數范圍的約束，而且選取恒定的結構參數常數值使得模型方便實現。

最后通過對標準SST 模型中混合函數F2進行改進納入修正，改進后的混合函數為

混合函數F′2保證了只在邊界層中有效，然后通過比較，由fs識別出激波區域，它從激波區域外的0 值光滑地過渡到激波區域內的數值1。用到的一些其他關系為

式中：相關變量含義請參考文獻［109］。

圖4［110］展示了納入激波/湍流邊界層相互干擾現象的SST 模型與其他模型在壓縮拐角中的預測結果。通過對比可知，考慮了激波不穩定影響的SST 模型顯示出了更好的預測能力，明顯改善了對激波誘導分離點和再附著點的預測。

圖4 Ma=8 的SWTBLI 案例中不同斜坡角下不同湍流模型與實驗數據的壁面壓力結果比較［110］Fig. 4 Comparison of wall pressure profile from different turbulence models with experimental data under different slope angles in SWTBLI case of Ma=8［110］

激波區域內各種流動參數變化較劇烈，相應的梯度也較大，該區域內的流動是一個高度非平衡的流動，從廣義上說，結構可壓縮性和激波不穩定性均表征了高馬赫數湍流的非平衡特性，兩者之間存在統一，韓省思等［111］指出，開展激波不穩定性修正工作可以在一定程度上借鑒結構可壓縮修正的方法和思路。Niu 和Hou［82］也提出根據激波不穩定性會導致湍動能預測過大的現象，可直接在湍動能產生項上設置限定值來實現對激波不穩定性的修正。

上述對激波與湍流邊界層相互干擾對流場的影響進行了分析，并給出了一些提高預測精度的方案，然這些方法的主題都是針對流動經過激波區域后湍動能會增加這一現象來開展工作的，有的是直接限定湍動能的產生項，有的是將激波效應耦合在渦黏性表達式上，還有的是通過改進渦黏系數中的常數值來考慮激波/湍流邊界層的相互作用效應。然而，目前處理激波問題有效的手段是改進SST 湍流模型中結構參數的數值大小，將激波與湍流邊界層相互干擾的物理現象納入湍流模型中仍需進一步的研究。

2. 4 雷諾應力各向異性效應

在平均應變率突變的、流過曲面的、帶二次運動管道的、三維的和激波/湍流相互作用的流動中SST 湍流模型不能獲得較好的預測結果［112-113］。在這些流動中，雷諾應力均表現出強烈的各向異性，而SST 模型采用的是雷諾應力與平均應變率之間的線性關系，這使得SST 模型在本質上不能正確地反映這類流場現象。Pope［114］對Boussinesq 線性渦黏假設在具有各向異性的或強逆壓梯度的流場中的預測能力不足，提出了非線性渦黏性湍流模型理論，以使雷諾應力表達式具有表達各向異性的能力。非線性渦黏湍流模型基本思想是將一階應力-應變關系拓展到更高階，使雷諾應力張量不僅包含剪切應變張量的線性相關項，而且還包含剪切應變張量和旋轉應變張量的高階點積復雜相關項［115］，非線性雷諾應力可以表示為

式中：α′n為模型常數；為流場量的張量形式。

數學上嚴格推導出的各非線性項表達形式確定不變，但各項的系數不確定，由此可以構造不同的非線性湍流模型。對于SST 湍流模型，2 個輸運量仍通過求解常規的兩方程得到。

在工程實際應用中，常使用介于一般的線性雙方程模型和完全非線性模型之間的中間模型，這在一定程度上能實現各向異性的能力，也能較線性模型更好地預測一些流動現象，并且簡單、易于實現，計算量不大。其基本思想是在不引入更高階應力-應變關系的前提下，改進雷諾應力或渦黏性的表達式［116］。

例如，目前常用的雷諾應力關系：τij=，在i、j、k這3 個主流方向上，正應力引入了湍動能k的影響，但切應力仍采用與應變率的線性關系。又例如，SST 湍流模型使用的渦黏性系數的定義：νt=，在湍流邊界層中，采用了Bradshaw 提出的雷諾應力正比于湍動能的假設，渦黏性與渦量有關。

這些方法在本質上偏離了線性的應力-應變線性關系，在某些方向上、某些流場區域中表現出一定的非線性，從而表現了一定的各向異性，但不具有非線性渦黏的通用表達形式，故而稱其是弱非線性的。

為了更好地捕捉大流向梯度、流體分離、撞擊、流線彎曲/旋轉下的流動現象，Wilcox 和Rubesin［117］發展了二階應力-應變關系的WR 模型。Shih 等［118］也提出了典型的二階SZL 模型。除此之外，也發展出了一些三階應力-應變關系的模型：CLS 模型［119］和AL 模型［120］。但這些非線性模型較為復雜，應用不方便，沒有得到廣泛使用。

事實上，在翼身接合區角回流區流動和三維強激波誘導分離等典型航空分離流流動問題中雷諾應力模型較渦黏模型更有優勢［121］。然而，只要將線性的雷諾應力表達式拓展到應力-應變的二階關系式就能使雷諾應力具有各向異性，能更好地反映流場現象，滿足工程應用的需求。RSM輸運方程是雷諾應力的具體表達形式，完整地體現了雷諾應力的各向異性，是非線性渦黏模型建模工作很好的起點。基于RSM 發展起來的EARSM 不僅簡化了對雷諾應力各項的建模工作，而且為改進渦黏模型本構關系提供了適合的思路和方法。通過將雷諾應力輸運模型層面對部分高階物理過程的描述轉移到SST 湍流模型層面上，可解決SST 模型對各向異性預測能力不足的問題，達到拓寬SST 應用范圍和預測精度的目的。

Raje 和Sinha［109-110］在擴展標準SST 模型的適用性和有效性范圍的工作中，選擇了EARSM作為改進非線性關系的研究對象。根據Wallin和Johansson［122］指出的，雷諾應力與平均應變率和渦度張量之間的一般關系可以用有效湍流渦黏性和額外的各向異性項表示：

選擇在預測跨聲速分離流中取得成功的二次應力-應變關系［123］模化額外的各向異性項，其為局部平均應變率的函數：

式中：τ=1/(Cμω)為湍流時間尺度。各向異性參數的定義為

需要用到的一些其他關系為

式中：gc為Rung 等［123］采用的壓力膨脹模型形式的壓縮系數修正，模擬了壓力-應變關系的膨脹部分，這代表了湍流的重新分布和松弛的機制。

然后通過以下渦黏性關系，耦合到SST 模型中：

式中：F2′ 已在2.3 節中闡述；為實現結構可壓縮修正和激波不穩定修正而給出的相關修正函數［109-110］。圖5［110］給出了激波/湍流邊界層相互作用區域附近值的分布，可以看出改進后的SST模型（SUQ-SST）給出的計算結果與實驗得到的流場結構是一致的，在激波/湍流邊界層相互干擾的、具有雷諾應力各向異性的流動中給出了較好的預測，即納入應力-應變二次關系式增強了SST 模型在反映各向異性上的能力。

圖5 激波/湍流邊界層相互作用區域附近流場實驗數據與SUQ-SST 模擬結果對比［110］Fig. 5 Comparison of experimental data and SUQSST simulation results of flow field near shock/turbulent boundary layer interaction region［110］

為了改善Boussinesq 假設的局限性，研究者一直探究實現雷諾應力原本能力的方法，但多年來對Boussinesq 的使用，奠定了渦黏假設關系框架不變是改進研究的基礎。目前大多改善雷諾應力表達式的方法是通過增加額外的項或修正模型系數來完善雷諾應力表達式的表達能力，主要是采用流場中的應變率張量和渦量參數。這在一定程度上實現了雷諾應力的各向異性，而且需要較少的計算量，同時也沒有增加SST 湍流模型的復雜度。更好地復現雷諾應力的特征，EARSM 和RSM 是雷諾應力進一步改善的主要參考依據。

2. 5 應力-應變偏差效應

目前對k-ωSST 湍流模型已經做了許多改進工作，以解決其在旋轉/曲率、可壓縮性和各向異性流動中預測不準的問題。然而，這些解決方案在工業中并不普遍使用，因為它們經常被發現要么不可靠（在特定地區改善結果，在其他地區惡化結果），要么不夠穩健（難以實現完全融合），要么不完整。每個修復都會帶來一系列的問題。從RANS 的角度來看，Boussinesq 假設只使用了雷諾應力與應變率張量的一階線性關系，即使在非線性等修正中，試圖引入二階、三階、甚至更高階的關系，但總的來說，在應力-應變之間仍然存在偏差，而忽略偏差可能會導致過高估計湍流動能的產生，特別是在非平衡湍流中應力-應變偏差起著重要作用。

為衡量Boussinesq 近似關系引起的應力-應變偏差的影響，Revell 等［124］在傳統的線性渦黏模型上，研究了應變張量與應力張量主分量之間的不對齊，并稱其為滯后模型研究，而所謂的滯后模型是從RSM 模型一個潛在的解導出的，這避免了使用完整RSM 模型的復雜性，同時引入了應力-應變偏差的影響。從本質上說，在應力-應變偏差較大的區域，滯后會改變湍流動能的產生，從而改善湍流剪應力的預測。

一個偏差參數被定義為

通過以下輸運方程求解Cas：

將應力-應變偏差的影響引入到SST 公式中，使用Cas來降低發生錯位時的湍動能的產量，對渦黏性系數的修正為

式中：Cas的最大限制值為0.3，并使用max 函數確保了渦黏性系數仍然是正的，避免了可能導致的數值不穩定。

Cas輸運方程旨在提供與使用全雷諾應力輸運模型類似的對平均流動不穩定性的敏感性的描述，同時只求解3 個輸運方程，而不是7 個。新增的輸運方程改變了耦合SST 兩方程的行為，使它得到的結果與RSM 的結果接近。考慮了應力-應變偏差影響的SST 模型比標準SST 模型更能改善平均流場的預測，其預測結果與更復雜的RSM 和成本更高的DES-SST（Detached-Eddy Simulations SST）模型相似。

Lardeau 和Billard［125］擴展了Revell 等［124］的研究結果，建立了修正的橢圓混合滯后輸運方程，橢圓滯后的輸運參數定義為φ，以衡量應力-應變偏差對渦黏性的影響：

采用橢圓混合雷諾應力模型［126］推導φ的輸運方程：

式中：相關變量的含義可參考文獻［126］。

滯后方程允許φ(x)捕捉與壓力-速度相關性相關的效應，從而增強了預測能力。

模型的橢圓度由α公式建立，其滿足

Biswas 等［127］在其基礎上發展了“橢圓混合滯后k-ω模型”。盡管滯后模型的動機是表示應力和應變速率之間的不平衡，但它的一個非常重要的方面是對近壁面湍流行為的改進，對中度分離流的預測也有較好的精度。這里使用的橢圓滯后輸運參數為φ*，其表達式為

Shang 和Agarwal［128］總結了以上研究者的工作，借鑒其方法將橢圓混合滯后方程引入到SST湍流模型中，提出了橢圓混合滯后SST 模型。k-ω模型與SST 模型有很相似的情況，對Biswas等［127］提出的滯后方法做微調就可以用于求解滯后參數φ*，應用于SST 模型的滯后參數φ*的輸運方程為

一些其他項的關系為

引入應力-應變偏差效應的渦黏性系數為

其他相關變量的含義參考文獻［128］。

圖6［128］給出了駝峰表面壓力系數分布預測的結果對比，可知橢圓滯后SST（LAGSST）模型整體性能優于SST 模型，并與實驗取得很好的一致性。

圖6 二維駝峰上LAGSST 和SST 模型計算的壓力系數與實驗數據的比較［128］Fig. 6 Comparison of calculated pressure coefficient with LAGSST and SST models with experimental data for two-dimensional hump［128］

隨后，Shang 和Agarwal［129］在無壁距（WDF）SST 模型［130］的基礎上發展了無壁距橢圓滯后方法。

無壁距橢圓滯后SST 模型的實現主要在于對混合函數F1和F2進行修改：

式中：相關參數的含義可參考文獻［129］。

通過幾個標準的基準測試用例表明，橢圓滯后方法很好地修正了湍動能的產生，使用無壁距湍流模型的預測精度進一步提高。橢圓滯后混合SST 模型彌補了Boussinesq 近似渦黏性關系的局限性，抑制了湍動能過高的預測，但由于橢圓滯后輸運方程的加入，計算時間也相對增加，在未來的發展中尋找更簡化的滯后模型將是一個發展方向。雖然該方法通過滯后參數的定義推導而來，但其通過橢圓混合滯后方程納入了壁面緊鄰性。

標準SST 湍流模型采用的是一階應力-應變關系的渦黏關系式，其截斷了二階項、更高階項的影響，這在應變率張量值不大的區域是合理的近似，但對于流場梯度變化顯著的區域，截斷項的影響是不可忽略的。將雷諾應力擴展到二階項可以實現對旋轉/曲率的捕捉，這也在一定程度上表明二階項、更高階項的影響是預測不準的原因之一。雖然應力-應變率關系式在本質上存在偏差的影響，但橢圓滯后混合方法可以評估一定的截斷影響，而且修正后的橢圓滯后混合SST湍流模型在本質上更趨于完備。

2. 6 層流/湍流轉捩效應

除了改善SST 模型在湍流狀態中的預測精度外，另一個研究內容是層流-湍流轉捩過程對流場細節和整體性能的影響，然而轉捩過程可以由許多路徑觸發，如自然［131］、旁路［132］、分離誘導［133］等，這使得基于物理的方程框架很難對所有這些機制（或其中幾個）進行建模。還有就是傳統的雷諾平均程序消除了線性擾動增長的影響，然而在轉捩流中線性和非線性效應是相關的。工程上除了采用低雷諾數湍流模型外，還通過底層湍流模型的壁面阻尼函數觸發轉捩的開始。還有一種方法是使用實驗相關性，相關性的關系式通常是將自由流湍流強度與轉捩開始時的動量厚度雷諾數相關聯。為了避免在基于相關模型中需要用到的非局部信息，Menter 等［134-136］提出了基于局部相關性的過渡建模（Local Correlation-based Transition Modeling， LCTM）的統一概念來處理不同的轉捩機制，只使用局部信息來激活間歇方程中的產生項，利用渦度雷諾數將相關關系與間歇方程聯系起來。間歇因子用于開啟轉捩點下游湍動能的產生項。轉捩起始動量厚度雷諾數用來捕捉湍流強度的非局部影響，這里湍流強度的變化是由于自由流中的湍流動能的衰減，以及邊界層外自由流速度的變化。2 個輸運方程已經被建立起來：一個是湍流間歇輸運方程γ，另一個是轉捩動量厚度雷諾數的輸運方程，被稱為模型，模型方程為

將間歇公式與SST 湍流模型耦合實現對轉捩過程的預測，它是根據轉捩動量厚度與應變率雷諾數的關系來打開轉捩點下游湍動能的產生項。引入轉捩過程的SST 模型為

一些其他關系為

式中：γreff為有效間歇因子。

此外，需重新定義SST 湍流模型中的函數F1使其在層流邊界層中也可使用。方法為

式中：F1orig為標準SST 模型中的混合函數F1。

間歇因子γ對湍動能k方程有直接的影響，而過渡動量厚度雷諾數Reθt只對間歇因子有直接的影響。改進后的SST 模型能夠更加精確地預測自然、旁路和分離誘導的層流轉捩的位置。

后來，Menter 等［134-136］充分披露了γ-Reθ模型完整的相關性，以便繼續進一步驗證和可能的擴展或改進［137］。孟德虹等［138］指出在中等雷諾數范圍，層流區域和湍流區域有相同的量級，采用γ-Reθ模型才能更準確地模擬氣動力。

Hou 等［139］在γ-ReθSST 模型的基礎上耦合了基于等效沙粒方法［140］的表面粗糙度修正，幾種不同模型對轉捩過程預測的對比如圖7［139］所示。考慮粗糙度的修正模型也能很好地呈現層流-湍流轉捩過程的相應趨勢。γ-Reθ模型在和EARSM 模型結合的模擬中也取得了更好的結果，肯定了通過間歇性因子實現對轉捩過程捕捉研究的可行性［141］。

圖7 有粗糙度的T3A 平板表面摩擦阻力分布［139］Fig. 7 Surface frictional resistance distribution of T3A plate with roughness［139］

Barrouillet 等［142］也對這一模型進行了修改和重新校準，以更好地匹配實驗結果。一些改進如下：

1） 提高對沿表面的過渡起始點的預測，又不影響其他特征，改進了Fonset3，得到

2） 為了避免在一些情況下，在前緣位置處有非物理解，將FTu的計算式修改為

3） 采用的湍動能方程中耗散項的計算式為

4） 研究發現，不可微函數會引入不穩定性，阻礙收斂。Piotrowski 和Zingg［143］提出了相同的觀察結果，故對Fonset公式作出改進：

式中：相關變量可參考文獻［142］。

根據Durbin［144］和Ge 等［145］基于局部變量單個間歇輸運方程提出的轉捩模型，Menter 等［146］對γ-Reθ模型進行了改進，給出了只用間歇因子的輸運方程與SST 模型結合的模型。改進后的間歇因子輸運方程為

式中：Pγ為轉捩源項；Eγ為耗散項/再層流化源項。

這里間歇因子γ觸發層流邊界層向湍流邊界層的轉變。在自由流中，間歇因子被設置為1，在層流邊界層中，間歇因子向0 變小。

耦合了轉捩過程的SST 湍流模型為

需要指出的是，為了避免滯止區湍流強度過高，對湍動能產生項采用Pk=μtSΩ［147］計算（注意，當使用此公式時，標準SST 模型中產生項的限制器停用）。相比γ-Reθ模型，這里在k方程中還引入了一個額外的產生項，以確保在任意低（降至0）湍流強度水平下，在過渡點產生適當的k。該方法能很好地預測轉捩現象，包括起始位置和轉捩長度［148］。

一般工業CFD 基本上不考慮轉捩過程的影響，這不僅在于轉捩方式種類多，而且在平均流場中也難以實現對轉捩過程的捕捉。然而提出的LCTM 概念較好地解決了這些問題，并發展出了轉捩模型，而且對于基礎湍流模型而言，轉捩模型的間歇性概念是通用的，容易與SST 湍流模型相結合，其只需要通過間歇性因子控制湍動能方程中的產生項和耗散項，從而將轉捩過程對湍流發展的影響納入模型中。

2. 7 基于數據驅動技術的模型改進研究

基于理論模型框架建模雖然降低了湍流計算復雜性，但不可避免地引入了不確定性和誤差，而且需要研究者對物理過程有深刻的理解。近年來，Weatheritt 和Sandberg［149］指出，通過對高保真仿真/實驗數據進行機器學習可以促進對不確定性的理解并減小誤差。對此，學者們已開展了許多基于數據驅動技術對湍流模型改善以及更復雜機器學習方法應用的研究工作［150］。

鑒于Boussinesq 線性渦黏本構關系是導致湍流模型在非平衡、分離和激波/湍流邊界層干擾等流動中預測不確定性和誤差的主要來源［151］，Ling 等［152］指出預測的雷諾應力差異是基于數據驅動技術研究的合適目標，而且現有的非線性渦黏模型［114，119，122］因其可以在理論上彌補線性渦黏模型的缺陷，還可以通過平均流場的物理量來定量解釋高階非線性渦黏關系式與線性渦黏關系式之間的差異，是用于機器學習很好的先驗假設。Wang 等［153］進一步指出，這些差異可能是普遍的量，并且可以從一種流動外推到另一種流動，至少在具有相同特征的不同流動之間是這樣的，例如分離流。

Weatheritt 和Sandberg［149］選取BSL 模型作為機器學習的基準模型，根據經典EARSM 模型的雷諾應力本構關系，選擇以下4 個基函數和2 個標量不變量來構造非線性渦黏假設的各向異性部分：

采用M-GEP（Multidimensional Gene Expression Programming）算法在BFS（Backward Facing Step）和PH（Periodic Hills）流動算例中進行機器學習和訓練，分別得到了以下2 個函數：

式中：τI為湍流時間尺度。2 個函數都來自算法的2 次單獨運行，這意味著不同的初始種群和隨機常數產生了2 個語法相似的函數，同時也表明非確定性算法已經收斂到結構組成相似的表達式，這是令人興奮和鼓舞的。

圖8［149］顯示了基于機器學習方法改進的BSL 湍流模型在PH 算例下x/h=4.0 處的應力和速度曲線圖，其中M-GEP 樣本的置信區間的均值為99.9%，表面摩擦力系數和速度分布與實驗結果吻合，預測的雷諾應力也在趨勢上取得了更好的一致性，在一定程度上表明了基于機器學習方法研究湍流模型改進的可能性。米俊亦［154］對雷諾應力展開了研究，結果也表明數據驅動技術有助于重新構建雷諾應力的本構關系。孫亮［155］也探究了機器學習算法對湍流模型預測能力的改善。

圖8 PH 算例的統計結果［149］Fig. 8 Statistical results from PH Case［149］

近期，Banko 和Eaton［156］提出最佳張量基擴展的概念，通過最優擴展實現給定張量基與流場各點的真實各向異性張量的最佳擬合。葉舒然等［157］也指出卷積神經網絡強大的非線性映射能力以及分層提取信息特征的功能是當下流場特征研究不容忽視的工具。基于數據驅動發展流體力學多學科、多物理耦合建模以及流動智能自適應控制等方面是有益的［158］。

目前數據驅動技術主要是使用神經網絡、基因表達編程或隨機森林的機器學習方法在與要預測的流動具有相似特征的訓練流DNS（Direct Numerical Simulation）數據庫/高保真LES 數據庫中來學習和訓練，構建局部平均流場標量和張量與建模項之間的復雜函數［159-161］，其中建模項的主要對象是雷諾應力的各向異性部分和單方程的渦黏性。一些經此修正的湍流模型已在曲面壁流、方形管道二次流以及不對稱擴散器分離流中進行測試，計算精度得到一定改善。

雖然基于數據驅動技術改進湍流模型的研究取得了一定的成功，但是該方法也產生了新的問題，即用于數據驅動技術開展訓練的流場是特定的或是特定的參數范圍，由此得到的修正模型在推廣到更廣泛的流場或更通用的條件中仍需進一步工作。結合機器學習開展湍流模型改進研究大多是對k-ε、k-ω和S-A 湍流模型開展的，針對SST 湍流模型的研究少有報道。而SST 湍流模型在邊界層中使用了雷諾應力正比于湍動能的假設可能會是制約該研究工作的一個挑戰。此外，盡管基于機器學習的模型改進工作已經取得了一定的成功，但基于機器學習的改進是否受到選取張量基、輸入特征或算法等因素的限制尚不清楚。

3 結論與展望

SST 湍流模型面世以來，得到廣泛研究和應用，是目前使用最廣泛的模型，在很多問題上取得很好的預測效果，但是還存在預測精度不高、應用范圍局限以及改進模型難以拓展等問題，主要原因是：① Boussinesq 線性渦黏關系式；② 忽略了一些力或高階脈動關聯項的影響。

針對此，學者們開展了旋轉/曲率、可壓縮性、激波不穩定性、雷諾應力和層流/湍流轉捩等方面的改進，并取得了較好的研究成果。從基于局部信息來主動控制宏觀湍流量表達轉變為通過力的作用來影響湍流量的表達，能夠使SST 模型得到更好的改善。對現有的研究成果和研究內容進行整理，可以發現集成/耦合出更加完備的湍流模型是一個有前景的研究方向，目前耦合雷諾應力模型與SST 模型的工作以及合并雷諾應力各向異性、激波不穩定性和可壓縮性結構變化的工作證明了該方法的可行性。

然而，目前開展的這些工作還沒有完全解決問題。構造流場中剪切應變率張量、渦量、湍動能、當地聲速等物理量的函數關系式，然后將該函數結合到湍流模型方程中的某些項或模型常數上，從而改變這些項或常數的表達，實現對預測結果的修正，但是這種修正會因流場結構的不同而表現出不一樣的預測能力，存在預測性能的不確定性。針對這些物理量，采用不同的分析方法和組合方式可以得到解決不同物理問題的修正函數，但這些函數有可能是作用于同一項或同一模型常數，所以也很難判斷耦合多種修正策略的方法是改善預測還是破壞預測。

此外，現有的改進工作大多是對基于不可壓縮條件開發的SST 湍流模型開展的，對基于可壓縮條件下SST 的發展和改進仍然較少。學者們已經對膨脹耗散、壓力膨脹耗散和壓力做功展開了可壓縮效應研究，但大多是構建梯度馬赫數或湍流馬赫數與不可壓縮湍流模型中的產生項、耗散項等的函數關系式進行修正，而這種可壓縮效應修正策略與湍流模型納入其他物理現象的修正在實現方法上是基本一致的，最終均是改變某些項的系數的表達來納入相關效應的影響，所以可能由于相同的原因導致耦合可壓縮修正工作進展緩慢。

近年來基于數據驅動技術研究湍流模型為改善仿真計算提供了另外一種研究策略。基于數據驅動技術改進湍流模型能夠一定程度上提高復雜流場的預測準確性和時效性，并降低模型封閉或湍流相關變量建模的難度，這是有吸引力的，但是也面臨著亟需解決的新問題。目前的工作主要在于改進雷諾應力各向異性部分和渦黏性，然而改進是否會受到算法、輸入特征量等因素的影響還不清楚。選取SST 作為基準模型的機器學習研究也少見報道。

通過對SST 湍流模型改進研究的不斷深入探索和學習，對于進一步發展SST 湍流模型，有以下幾點值得注意：

1） 合理集成現有物理現象的研究成果仍是SST 湍流模型改進研究的可行方案之一。

2） 對耦合不同的修正方案存在預測性能不穩定以及實現自適應的問題，需進一步研究揭示耦合的內在機理。

3） 納入可壓縮效應修正的耦合研究有待加強。

4） 基于數據驅動技術開展SST 湍流模型改進研究是一個頗有前景的方向。