以終為始：結果導向型思維在數學教學中的應用研究

陳瑩

［摘 要］結果導向型思維方式是從最終的結果出發，反向分析過程或原因，尋找關鍵信息，找到解決問題的方法。在小學數學教學中培養學生的結果導向型思維，以終為始，有利于學生打破思維定式，提升解決問題的效率。結果導向型思維可以運用于運算、解決問題、幾何圖形等領域，改變學生的固有思維，拓寬學生的思維廣度。

［關鍵詞］結果導向型思維；解決問題；數學游戲

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）11-0074-04

一、現狀分析

自2013年起，筆者所在的數學團隊就開始實踐數學游戲教學。在多年的一線教學中筆者發現，大部分學生在解決數學游戲問題的過程中會選擇最容易想到的方式，而非最便捷的方式。

比如，解決人教版教材四年級上冊中的“漢諾塔”問題（如圖1）。

對于這個問題，筆者在不同學校給不同班級的學生講授，并統計了學生在第一次自主探究環節的探究結果（見表1）。

回答正確的學生認為第一次選擇對了桿，就比較節省時間，如果第一次選擇錯誤了，就要再一次嘗試。只有3個珠子時，移動的次數較少，一般通過一兩次嘗試都能成功，因此正確率相對較高。有4個珠子時，移動的次數多了，在移動的過程中，要選好桿，若選錯了，就得從頭再來，因此，有4個珠子時，正確率較低，耗費的時間較多。

又如，學生最開始接觸“算24點”時，大都用已知數進行加、減、乘、除，以湊出結果?！坝盟膭t運算去湊出結果”成了學生唯一的解決問題的方法，這樣的方式是耗時費力的。這樣看來，思維方式會直接影響解決問題的效率。

二、原因分析

1.思維定式

學生在解決問題的過程中，最常用的是正向思維，即根據已知條件，通過假設法、嘗試法等解決問題。這是學生慣用的思維方式，也是一種定式思維，定式思維一旦形成，若沒有新的思維方式介入，就難以改變。

2.目標離心

學生在解決問題的過程中，總會被一些因素干擾而忘了最終目標。目標一旦不夠明確，解決問題的道路就會又難又長。

三、結果導向型思維在課堂教學中的立論依據

1.以終為始，打破思維定式

結果導向型思維是一種逆向思維，即從最終的結果出發，反向分析過程或原因，尋找關鍵信息，找到解決問題的方法。用結果導向型思維思考問題，或許會使問題簡單化。

2.少走彎路，提高解題效率

運用結果導向型思維思考，探求有效的解題策略和方法，能夠提高解題效率。

3.全面剖析，提高解題正確率

運用結果導向型思維全面分析，是從結果倒推出解題步驟，是為尋找正確答案而做出的科學選擇，這樣的選擇是有正確性保障的。

四、結果導向型思維在“漢諾塔”游戲教學中的范式應用

一個人要新建一種思維方式是不易的，因此載體的選擇尤為重要。游戲是學生喜歡的娛樂項目，筆者認為，以數學游戲為載體建立結果導向型思維，不失為打開學生思維大門的好辦法。

筆者將課堂作為滲透結果導向型思維的主陣地，以數學游戲“漢諾塔”作為教學內容進行了嘗試教學。

1.充分試錯，體會優勢

在課堂教學中，學生是主體，教師應該扮演好組織者、引導者與合作者的角色。教師應做到“不憤不啟，不悱不發”，只有在學生充分體驗和嘗試后仍無法解決問題時，再進行引導，才能讓學生充分理解和接受所學知識。

要讓學生體會結果導向型思維的優勢，就先讓學生感受固有思維方式的不足。在玩“漢諾塔”游戲的過程中，學生經過多次嘗試，逐漸發現從一開始就要考慮第一個珠子往哪個桿移，運用嘗試法非常耗時費力。在教師的引導下，學生感悟到，原來從結果出發，倒過來思考第一步，能少走很多彎路，就好像玩“走迷宮”游戲時，從出口倒著尋找路線會快一些。經過對比，學生充分感受到了結果導向型思維的優勢。

【教學片段】

活動：3個珠子的移動。

合作要求：（1）兩人合作玩“漢諾塔”游戲，探究3個珠子最少需要移動幾次；（2）達成一致后，一人移動珠子，一人將過程畫在探究單（如圖2）上；（3）合作時間為6分鐘，完成后，可以再玩一玩“漢諾塔”游戲。

師（展示一張已完成的探究單，圖略）：這張探究單上的內容有錯嗎？錯在哪里？

生1：第一步就錯了。

師：如何確定第一步？

生2：假設第一步像這位同學一樣，先把最小的珠子移到②號桿，那中間有重復的移動過程，這樣步數不是最少的。因此，第一步要先把最小的珠子移到③號桿，然后把中間的珠子移到②號桿，再把最小的珠子也移到②號桿，這樣③號桿就空出來了，最大的珠子就可以移到③號桿了。

師：如果第一次嘗試失敗了，是不是就會耗費很多時間呢？你們靜下心來想一想，有沒有別的辦法，不用嘗試，就可以直接判斷最小的珠子先往哪根桿移動呢？

生3：假如……

（學生依舊采用嘗試法，只是這次是在腦子里想移動過程）

師：要使步數最少，你們覺得哪個珠子要盡快移到③號桿，才會最節省步數？

生4：最下面的珠子。

師：這樣我們的目標就非常明確了，就是要讓最下面的珠子盡快移到③號桿?，F在該如何確定最小的珠子移到哪號桿呢？

生5：可以倒著想，目的是把最下面的珠子移到③號桿，那中間的珠子就要先移到②號桿，最小的珠子就要先移到③號桿。

師：這種倒過來想的思維叫結果導向型思維。

2.難度升級，鞏固方法

要鞏固新的思維方式，就要選擇相關活動讓學生在實踐中充分體驗感知，收獲成功經驗。由于移動4個珠子的思考方法與移動3個珠子的一致，難度升級的幅度也靠近學生的最近發展區，因此選擇移動4個珠子來幫助學生鞏固結果導向型思維較為恰當。

【教學片段】

活動：4個珠子的移動。

師：這次要先考慮哪個珠子呢？

生：最下面的珠子。把最下面的珠子盡快移到③號桿，就要把從下往上數的第二個珠子移到②號桿，把從下往上數的第三個珠子移到③號桿，把最上面的珠子移到②號桿。

師：看來，你們已經會用結果導向型思維來玩“漢諾塔”游戲了，大家都動手試一試吧。

不過，要讓學生內化結果導向型思維，并將其熟練運用于“漢諾塔”游戲中，僅移動4個珠子是不夠的。因此，還要安排移動5個珠子的活動環節。學生要對“漢諾塔”游戲有興趣，并在課后對更多個珠子的移動進行實踐和探索，才能將結果導向型思維深植于腦海。筆者多次教學后發現，學生會把“漢諾塔”當成日常游戲，課余時間，會三五成群地玩“漢諾塔”游戲。這樣，在不知不覺中，結果導向型思維也就深入學生心中。

3.拓展延伸，用于生活

在課堂小結的環節，強調結果導向型思維不但適用于“漢諾塔”游戲，也適用于其他數學游戲和其他數學問題、生活問題，從而讓學生樹立運用結果導向型思維解決問題的意識，在學習、生活中能夠主動去運用，很多問題就能迎刃而解。

【教學片段】

師：在哪些方面能用到結果導向型思維呢？

生1：在算“24點”時，我們也是從最終目標“24”出發，去思考如何將數字進行組合的。

生2：在玩“走迷宮”游戲時，從出口倒著尋找入口，更容易找到正確的路線。

師：在生活中會用到嗎？

生3：開學時，老師都會讓我們制定學習目標，然后我們就會從目標出發，為實現目標而不懈努力。

師：結果導向型思維不但可以運用于數學學習，還可以用來解決生活中的問題呢。

五、舉一反三，靈活運用結果導向型思維

1.結果導向型思維在計算中的應用

在運算中，結果導向型思維是最為常見且被普遍運用的思維。比如，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，學生最開始接觸減法和除法的時候，就是“想加算減”或“想乘算除”，如算15-7=（? ? ），就會想（? ? ）+7=15；算63÷9=（? ? ），就會想（? ? ）×9=63。

通過逆運算得到答案，這就是運用了結果導向型思維，只是專業術語“想加算減”“想乘算除”“逆運算”等掩蓋了結果導向型思維的本質。在計算教學中，教師可以讓學生體驗“想加算減”“想乘算除”是用結果導向型思維思考，以一法得通法。

2.結果導向型思維在解決問題中的應用

一般解決問題時會采用分析法，用分析法解決問題的思路分為以下幾個步驟。

第一步，讀題、收集數學信息。第二步，明確要解決什么問題。第三步，解決這個問題需要知道哪幾個信息？它們之間有什么聯系，為什么？第四步，接下來又要解決什么問題？需要知道哪幾個信息？它們之間有什么聯系？為什么？第五步，這樣往下分析，直到把問題解決為止。

在解決問題的這些步驟中，最重要的就是“要解決這個問題需要知道哪幾個信息？”這一思考過程，也就是從要解決的問題出發，倒過去找有用的信息，這樣看，分析法的核心是結果導向型思維。這種解決問題的思路可以快速排除無關信息，有利于提高解決問題的效率。

3.結果導向型思維在圖形與幾何中的應用

圖3是人教版教材二年級下冊的“圖形的運動（一）”第32頁例4。該內容屬于圖形與幾何領域，教材提供了嘗試法解題思路。剪1個紙人：先對折，再畫出半個圖案。剪2個紙人：對折1次可以剪出1個紙人，對折2次就可以剪出2個。

筆者認為教學時可以不使用例題所呈現的方式，特別是要剪出4個手拉手的紙人，如果采用例題所給的方法，就比較復雜了。教師可以引導學生從最終要得到的4個手拉手的紙人出發，在腦海中想象把4個紙人的剪紙作品進行對折，對折1次可以剪出1個紙人，對折2次可以剪出2個紙人，因為紙人是左右對稱的，所以需要再對折1次，也就是一共對折3次。于是，可以將一張長方形紙對折3次，然后在折痕處畫上半個小人，為防止剪斷，一定要將手腳朝向開口的地方，畫的時候要“頂天立地”，這樣就能剪出4個手拉手的紙人了。相比于例題所給出的方法，用結果導向型思維，顯然節省了不少時間。

結果導向型思維在數學學習中廣泛應用，對于很多數學問題，換一個角度思考，以終為始，可能會找到快捷的解決方法。但結果導向型思維往往與學生的一般思維方式相反，有些學生理解和接受起來有一定難度，要將其內化為自身的思維方式更有難度。這就需要教師在課堂教學中不斷滲透，學生只有反復學習、鞏固、運用，才能接受結果導向型思維，從而用它來解決更多數學問題。

另外，結果導向型思維不僅是在數學學習中非常有價值的思維方式，更是學生面向未來生活所需要的思維方式，因為結果導向型思維能讓問題變得簡單、明朗。一種思維方式的習得，不是簡單的獲取知識，而是獲得一項技能，惠及終身，培養學生的結果導向型思維是面向未來的教學，是很有價值的！

［ 參 考 文 獻 ］

[1］ 張奠宙，孔子坤，任敏龍，張園，殷文娣.小學數學教材中的大道理：核心概念的理解與呈現[M].上海：上海教育出版社，2018.

[2］ 余文森.核心素養導向的課堂教學[M].上海：上海教育出版社，2017.

[3］ 曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標注”核心詞的解讀與實踐研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[4］ 史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5］ 錢守旺.教好小學數學并不難[M].北京：北京大學出版社，2012.

（責編 黃 露）