復合材料中的偏微分方程理論研究

李海剛 徐龍娟

摘 要：在過去的50年，復合材料的發展無疑是現代技術中的一個重要且成功的領域.復合材料通常由基體材料和夾雜材料復合而成. 高對比度復合材料在使用過程中，當夾雜彼此靠得很近時，往往會產生電場、磁場或應力場等物理場的集中現象，這是數學物理領域中的一個重要課題. 將著重介紹在過去的二十多年彈性復合材料應力集中問題在偏微分方程理論方面取得的一些重要進展和一些待解決的關鍵問題.

關鍵詞：復合材料;拉梅方程組;梯度估計;爆破速度;漸近展示

中圖分類號：O175.23;O175.25文獻標志碼：A

現代科技的飛速發展離不開材料科學的發展，如新型納米結構材料以及器件的設計與研制、周期納米結構與等效模量等材料聲學參數的構效關系等復合材料問題的研究，這些在航空航天、深海探測等高端科技領域有著極為迫切的需求.先進復合材料的研制與應用已成為21世紀科技發展的主要方向之一，其核心技術的突破遇到了大量的數學挑戰，涉及偏微分方程、變分法、幾何測度論、隨機分析、非線性分析等領域，因此材料科學的持續長遠發展需要大量基礎數學研究人才的加入.

復合材料通常是由兩種或兩種以上的金屬、陶瓷或高分子等材料經過復合工藝而制備成的一種多相材料， 其中基體材料與夾雜材料在某一特性方面的對比度往往比較高.在高對比度復合材料中，當夾雜靠得很近時會產生物理場的集中現象，如電場、電磁場、應力場等.隨著新型復合材料數目的不斷增加和新的材料不斷被開發，美國科學院院士FRIEDMAN A在《對數學未來的思考》中認為：人類迄今在材料科學的數學研究方面所取得的成就，可以說僅僅是一個開始，還遠遠不能滿足實際應用的需求，甚至對已經研究了很多年的標準材料也仍然面臨著大量的數學挑戰.例如，當一個均勻的彈性體在承受高壓時會破裂.那么，破裂從何時開始，怎么開始？ 它們又將如何擴展，何時會分裂成許多裂片，以至于材料最終徹底失效.

自20世紀60年代以來，工業上的巨大發展促進了復合材料背后數學理論的發展，新的數學工具出現也帶動其他領域的發展.如均勻化、變分法、有限元方法、夾雜形狀優化、補償緊方法、擬共形映照等.這些理論的發展與完善既需要數學家、物理學家、力學家以及工程師們之間的相互交流與互動，也需要理論數學家與計算數學家之間更深層次的通力合作.由于玻璃纖維和輕質碳纖維復合材料在航空航天工業和體育器材等領域都有廣泛的應用，1999 年，自適應有限元創始人BABUKA IVO（美國工程院院士） 與瑞典航空研究所的兩名工程師合作研究纖維增強復合材料中裂紋與破壞的計算分析［1］.在復合材料中往往會有大量的纖維相互接觸或幾乎接觸，而纖維之間的相互位置會嚴重影響復合材料能承受的最大應力.由于在碳纖維增強復合材料中，小形變就會產生大應力，甚至產生裂紋，所以研究線性彈力方程組——拉梅（Lamé）方程組μΔu+（λ+μ）（·u）=0（1）

能夠精確地達到目的，其中（λ，μ）在基體材料與纖維材料中取不同的值.為了理解這個問題，研究對應的標量方程

·（au）=0（2）

也頗有價值，其中a在基體與纖維中也取不同常數.關于相互接觸纖維之間應力的有界性，以及如何刻畫纖維靠近時應力的集中行為，都是數值仿真過程中需要解決的關鍵問題［1］.該問題也被稱為Babuka問題.

在過去的二十多年間，Babuka問題得到了眾多數學家與應用數學家的關注，如 阿貝爾獎得主NIRENBERG L（美國科學院院士） ，國際數學家大會報告人LI Y（李巖巖），KANG H，MILTON G，以及AMMARI H（歐洲科學院院士），VOGELIUS M等，取得了一系列重要進展.由應力-應變關系，應力的集中問題對應著偏微分方程解的梯度估計問題，本文將從以下3個方面介紹這方面的進展：（1）對比度有限情形梯度的一致有界估計;（2）高對比度的極限情形梯度的最佳爆破估計與漸近展示;（3）雙參數情形梯度的統一估計，并介紹在此過程中發展的多種偏微分方程方法，如層位勢方法、Neumann-Poincaré算子的譜方法、能量方法和Green函數方法等.

參 考 文 獻

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On study for the theory of partial differential equations in composite materials

Li Haigang1， Xu Longjuan2

（1. School of Mathematical Sciences; Key Laboratory of Mathematics and Complex Systems， Ministry of Education， Beijing Normal University，

Beijing 100875， China; 2. Academy for Multidisciplinary Studies， Capital Normal University， Beijing 100048， China）

Abstract： In the past 50 years， the improvement of composite materials is undoubtedly an important and successful field in modern technology. It is composed of the matrix and inclusions. In high contrast composite materials， a high concentration of physical fields such as electric field， magnetic field or stress field will occur when the inclusions are close to each other， which is an important subject in the field of mathematical physics. In this paper， we will focus on the important advances in the theory of partial differential equations and some key open problems for the stress concentration of elastic composite materials in the past 20 years.

Keywords： composite materials; Lamé systems; gradient estimates; blow-up rates; asymptotics

［責任編校 陳留院 趙曉華］

收稿日期：2022-10-28;修回日期：2022-12-22.

基金項目：國家自然科學基金 （11971061）.

作者簡介（通信作者）：

李海剛（1981-），男，河南安陽人，北京師范大學教授，博士生導師，教育部青年長江學者，主要從事材料科學中的偏微分方程理論研究，E-mail：hgli@bnu.edu.cn.